Stosunek pól figur podobnych

Wiemy, że stosunek odpowiednich odcinków figur podobnych jest równy skali podobieństwa.
Zastanowimy się teraz, jaka jest zależność między polami takich figur.

Przykład 1

Przyjmijmy, że pole niebieskiego kwadratu jest równe 1. Kwadrat ten jest podobny do każdego z pozostałych kwadratów. Pod rysunkami zapisana jest skala podobieństwa danego kwadratu do kwadratu niebieskiego. Zapisane są też pola tych figur. Co zauważasz?

Odpowiedź. Pole kwadratu jest równe kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 2

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 4 dm6 dm. Każdą z przyprostokątnych zmniejszamy dwukrotnie. Oblicz stosunek pola pomniejszonego trójkąta do pola danego trójkąta.
Każdy z boków trójkąta zmniejszono dwukrotnie. Zatem skala podobieństwa trójkąta otrzymanego do trójkąta danego jest równa 12. Wynika z tego, że przyprostokątne trójkąta pomniejszonego mają długości 2 dm3 dm.
Oznaczmy:

  • P – pole danego trójkąta,

  •  P1 – pole trójkąta pomniejszonego.

P=462=12
P= 12dm2
 P1=232=3
 P1 = 3dm2
P1P=312=14

Stosunek pól tych trójkątów jest równy 14, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 3

Prostokątna kartka w notesie ma wymiary 10 cm8 cm. Kartka w książce ma wymiary 30 cm24 cm. Ile razy pole powierzchni kartki w książce jest większe od pola powierzchni kartki w notesie?
Zauważmy, że prostokąty, w kształcie których są kartki, są podobne. Skala podobieństwa prostokąta w kształcie którego jest kartka w książce do prostokąta, w kształcie którego jest kartka w notesie, jest równa

3010=248=3

Obliczamy stosunek pól tych prostokątów.

30cm24cm10cm8cm=9

Stosunek pól powierzchni kartek jest równy 9, czyli jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Na podstawie powyższych przykładów możemy wnioskować, że jeśli figura F jest podobna do figury G w skali k, to stosunek pól tych figur jest równy k2.
Sprawdźmy nasze przypuszczenia jeszcze na kilku przykładach.

Ważne!

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład 4

Pięciokąt M jest podobny do pięciokąta K w skali 1 : 8. Pole pięciokąta M jest równe 2. Oblicz pole pięciokąta K.
Korzystamy z tego, że stosunek pól wielokątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Stąd

2P=182
2P=164
P=128

Pole pięciokąta K jest równe 128.

Przykład 5

Jedną z największych atrakcji turystycznych Gdańska jest Bazylika Mariacka, na której znajduje się największy w Polsce zegar. Został on zbudowany w 1637 r.
Pole powierzchni tarczy tego zegara jest równe około 16 m2. Średnica tarczy zegarka na rękę jest równa około 16cm2. Określ skalę podobieństwa tych tarcz.
Zapisujemy oba pola w tej samej jednostce pola.

16 m2 = 16100100cm2 = 160 000cm2

Dzielimy pole powierzchni większej tarczy przez pole powierzchni mniejszej tarczy. Obliczamy w ten sposób kwadrat skali podobieństwa tarcz.

k2=16000016=10000

Obliczamy teraz skalę podobieństwa.

k=10000=100

Skala podobieństwa tarczy gdańskiego zegara do tarczy zegarka na rękę wynosi 100.

Obliczanie pól figur podobnych

Zauważmy, że jeżeli figura F jest podobna do figury G w skali k, pole figury F jest równe P, a pole figury G jest równe P1, to P=k2P1 oraz P1=1k2P . Wykorzystamy teraz podane równości w zadaniach.

Przykład 6

Figury F i G są podobne. Pole figury G jest równe 7. Oblicz pole figury F.

Określamy najpierw skalę podobieństwa figur. W tym celu zaznaczamy w obu figurach odpowiadające sobie odcinki. Skala podobieństwa figury F do figury G jest równa stosunkowi długości tych odcinków.

Jeżeli przyjmiemy, że długość małej kratki jest równa a, to

k=12a3a=4

Zatem PF=k2PG, gdzie
PF – pole figury F
PG – pole figury G
Stąd

PF=427=167=112

Pole figury F jest równe 112.

Przykład 7

Pole rombu F jest równe 125. Romb ten jest podobny do rombu G, którego przekątne mają długości 25. Znajdź sumę długości przekątnych rombu F.
Oznaczmy:

  • PF – pole rombu F,

  • PG - pole rombu G,

  • k- skala podobieństwa rombu F do rombu G.

Wtedy

PF=k2PG
125=k21225
k2=25
k=25=5

bo

k>0

Skala podobieństwa rombów jest równa 5. Oznacza to, że każda z przekątnych rombu F jest 5 razy dłuższa od odpowiedniej przekątnej rombu G.
Zatem długości przekątnych rombu F są równe 1025.
Suma długości tych przekątnych jest równa 35.

Przykład 8

Dwa wielokąty są podobne. Obwód pierwszego z nich jest równy 12, a pole 14. Obwód drugiego wielokąta jest równy 2. Oblicz pole drugiego wielokąta.
Obliczamy skalę k podobieństwa wielokątów.

k=122=6

Obliczamy pole P2 drugiego wielokąta.

P2=16214
P2=1436=718

Pole drugiego wielokąta jest równe 718.

Przykład 9

Skala podobieństwa dwóch kwadratów jest równa 0,5. Oblicz długość boku mniejszego kwadratu, jeżeli różnica pól tych kwadratów wynosi 27.
Niech P oznacza pole mniejszego kwadratu. Wtedy pole większego kwadratu PW to

PW=10,52P

Zatem

PW=1122P=22P=4P

Korzystamy z tego, że różnica pól tych kwadratów jest równa 27 i wyznaczamy pole mniejszego kwadratu i długość a jego boku.

PW-P=27
4P-P=27
3P=27
P=9
a2=9
a=3

bo

a>0

Długość boku mniejszego kwadratu jest równa 3.

Przykład 10

Podstawy trapezu równoramiennego ABCD mają długości 10 cm18 cm. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie E. Wysokość trójkąta DEC jest równa 4 cm. Oblicz pole trapezu.

Zauważmy, że trójkąty AEBDEC mają równe kąty: kąty AEBDEC to kąty wierzchołkowe, mają więc równe miary, kąty EDCEBA to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych, podobnie kąty EAB i DCA. Na podstawie cechy kkk stwierdzamy, że trójkąty AEBDEC są podobne.
Skala podobieństwa k tych trójkątów jest równa stosunkowi długości ich podstaw.

k=1810=95

Stosunek wysokości tych trójkątów jest równy skali podobieństwa.

Hh=k
H4=95
5H=36/:5
H=7,2 cm

Wysokość trapezu jest równa sumie wysokości trójkątów AEBDEC.

H+h=7,2+4
+ h=11,2 cm

Obliczamy pole trapezu.

P=1218+107,2
P=147,2
P=100,8 cm2

Pole trapezu jest równe 100,8 cm2.

Przykład 11

Jezioro Śniardwy to największe jezioro w Polsce. Powierzchnia tego jeziora jest równa około 113,4 km2. Na mapie powierzchnia ta jest równa 0,126cm2. W jakiej skali wykonana jest mapa?
Zapisujemy najpierw powierzchnię jeziora w cm2.

1 km = 1000 m= 1000100 cm= 100000 cm = 105 cm 
1 km2 = 105105cm2 = 1010 cm2
113,4 km2 =113,41010 cm2

Obliczamy kwadrat skali podobieństwa figury, w kształcie której jest jezioro na mapie, i figury, w kształcie której jest powierzchnia jeziora w rzeczywistości.

k2=0,126113,41010=19001010=191012

Obliczamy skalę podobieństwa tych figur.

k=19000000000000=13000000

Skala mapy jest równa obliczonej skali podobieństwa.
Mapa wykonana jest więc w skali 1 : 3 000 000.

Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie 4

Pole powierzchni kwadratowej działki pani A jest 25 razy większe od pola kwadratowej działki pani B. Ile razy więcej siatki trzeba kupić na odgrodzenie działki pani A niż działki pani B?

Ćwiczenie 5
Ćwiczenie 6

Płytka terakoty jest w kształcie sześciokąta foremnego. Płytka glazury ma również kształt sześciokąta foremnego.

W sześciokątach tych dłuższe przekątne są odpowiednio równe 10 cm8 cm. Ile razy większe jest pole powierzchni płytki terakoty od pola powierzchni płytki glazury?

Ćwiczenie 7
Ćwiczenie 8

Trójkąt ABC o bokach długości 15 cm, 17 cm, 8 cm jest podobny do trójkąta EFG. Pole trójkąta EFG jest równe 15 cm2. Oblicz długości boków trójkąta EFG.

Ćwiczenie 9
Ćwiczenie 10

Prostokąt A’B’C’D’ jest podobny w skali k do prostokąta ABCD, którego pole wynosi 144 cm2. Oblicz pole prostokąta A’B’C’D’ dla:

  1. k=2

  2. k=14

  3. k=0,1

  4. k=2

Ćwiczenie 11

Równoległobok A’B’C’D’ jest podobny do równoległoboku ABCD w skali 32. Jaki jest stosunek pól tych równoległoboków?

Ćwiczenie 12
Ćwiczenie 13

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną długości c na dwa odcinki , z których jeden ma długość x. Oblicz pole trójkąta.

Ćwiczenie 14

Prostokątną fotografię o wymiarach 12 cm na 18 cm powiększono na kserografie tak, że jej szerokość jest równa 21 cm. Jakie pole ma powiększona fotografia?

Ćwiczenie 15

Wycinek W koła o promieniu 6 cm ma pole równe 6π cm2. Wycinek M koła o promieniu 8 cm ma pole równe 32/3 π cm2. Czy wycinki te są podobne? Jeśli tak, podaj ich skalę podobieństwa.

Ćwiczenie 16

Koło K1 jest podobne do koła K2 w skali k=3. Oblicz pole koła K2, jeśli wiadomo, że wycinkowi koła K1 o polu 6π odpowiada kąt środkowy o mierze 60°.

Ćwiczenie 17

Dwa sześciokąty foremne mają pola równe 36 cm2 oraz 18 cm2. Oblicz długości boków tych sześciokątów oraz określ skalę podobieństwa promieni okręgów wpisanych w te sześciokąty.

Ćwiczenie 18

Podstawami trapezu ABCD są odcinki ABCD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta ASB jest równe 25, pole trójkąta DSC jest równe 9. Oblicz pole trapezu.