Podobieństwo trójkątów prostokątnych

Tales w swoich obliczeniach wykorzystał własności trójkątów prostokątnych podobnych.
Zauważmy, że jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę równą jednemu z kątów ostrych drugiego trójkąta prostokątnego, to miary wszystkich kątów w tych trójkątach są równe.
Można też wykazać, że jeżeli miary wszystkich kątów w dwóch trójkątach prostokątnych są równe, to odpowiednie boki tych trójkątów są proporcjonalne.
Zatem, aby określić podobieństwo trójkątów prostokątnych, wystarczy stwierdzić, że trójkąty te mają równy jeden z kątów ostrych bądź stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy (z twierdzenia Pitagorasa wynika, że znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego, można obliczyć długość trzeciego boku).

Ważne!

Dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy stosunek dwóch ich odpowiednich boków jest równy.

Przykład 1

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego ABC są równe 3677. Przeciwprostokątna w trójkącie EFG jest równa 17, a jedna z przyprostokątnych 7,2. Sprawdź, czy trójkąty te są podobne.

Obliczymy długość przyprostokątnej FD trójkąta DEF, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

d2+7,22=172
d2=289-51,84
d2=237,16
d=15,4

bo

d>0

Znajdujemy stosunek dłuższych przyprostokątnych trójkątów ABC i DEF, a następnie krótszych.

7715,4=5
367,2=5

Znalezione stosunki są równe, zatem trójkąty są podobne. Skala podobieństwa jest równa 5.

Przykład 2

W trójkącie prostokątnym EWA podobnym do trójkąta BUT kąty pozostają w stosunku 1:2:3.
Przeciwprostokątna trójkąta BUT ma długość 6 cm. Oblicz pole trójkąta BUT.
Obliczamy miary kątów ostrych trójkąta EWA.

x+2x+3x=180°

gdzie

x>0
6x=180°
x=30°
2x=60°

Kąty ostre trójkąta EWA mają miary 30°60°.
Z podobieństwa trójkątów wynika, że miary kątów trójkąta BUT są równe miarom kątów trójkąta EWA.

Oznaczmy u, t – długości przyprostokątnych trójkąta BUT. Z własności trójkąta prostokątnego o kątach 30°60° wynika, że t=3 cm, u=33 cm.
Możemy więc obliczyć pole trójkąta BUT.

P=12333=4,53

Pole trójkąta BUT jest równe 4,53 cm2

Zastosowanie podobieństwa trójkątów prostokątnych

Przykład 3

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku w punkcie D. Kąt ACB ma miarę 45°. Trójkąt EFG jest podobny do trójkąta ABD w skali 5:1. Najdłuższy bok trójkąta EFG ma długość 80. Oblicz długość okręgu o środku w punkcie D i promieniu DA.
Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg, zatem punkty A, B, C leżą na okręgu.

Kąt ADB jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt ACB. Ma zatem miarę dwa razy od niego większą .

ADB=2ACB
ADB=245°=90°

Kąt ADB jest prosty, więc trójkąt ADB jest prostokątny.
Ponieważ AD=BD, zatem trójkąt ADB jest równoramienny.
Trójkąt EFG jest podobny do trójkąta ADB, jest więc też trójkątem prostokątnym równoramiennym. Najdłuższy jego bok to przeciwprostokątna. Z podobieństwa trójkątów wynika, że przeciwprostokątna trójkąta ADB jest pięciokrotnie krótsza od przeciwprostokątnej trójkąta EFG.

AB=80:5=16

Odcinek DA to przyprostokątna trójkąta ABD. Obliczamy długość tego odcinka.

AB=DA2
DA=162=82

Obliczamy długość okręgu.

L=2π82=16π2

Długość okręgu o środku w punkcie D i promieniu DA jest równa 16π2.

Przykład 4

Na placu Świątecznym stoi choinka, która rzuca cień długości 10 m. W tym samym czasie stojący pod drzewem Mikołaj o wzroście 180 cm rzuca cień długości 1,2 m. Oblicz wysokość choinki.
Oznaczamy przez x wysokość choinki.
Zapisujemy wzrost Mikołaja w metrach.

 180 cm = 1,8 m

Korzystając z podobieństwa trójkątów prostokątnych ACEBCD, zapisujemy odpowiednią proporcję, z której wyznaczamy x.

x1,8=101,2
1,2x=18x=15

Wysokość choinki jest równa 15 m.

Przykład 5

Aby określić przybliżoną odległość statku od brzegu, można wykorzystać sposób podany przez Talesa.
Na brzegu należy wbić cztery patyki. Pierwszy w punkcie A – leżącym najbliżej statku. Drugi w punkcie B, znajdującym się w określonej odległości od punktu A (np. w odległości 60 kroków). Trzeci w punkcie C, znajdującym się w określonej odległości od B (np. 30 kroków) i leżącym na prostej AB. Teraz należy znaleźć taki punkt D, leżący na prostej prostopadłej do prostej AC, że patyki wbite w punkcie B oraz D i statek S znajdują się na jednej linii.
Załóżmy, że odległość z punktu C do punktu D wynosi 90 kroków. Trójkąty ASBBCD są trójkątami prostokątnymi podobnymi – miary ich kątów są równe. Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy długość odcinka AS, czyli odległość statku od brzegu.

|AB||AS|=|BC||CD|
60|AS|=3090
30AS=6090
AS=180

Przyjmując, że długość kroku człowieka wynosi około 0,7 m, stwierdzamy, że odległość statku od brzegu wynosi około 0,7 m180 126 m.

Przykład 6

W trapezie prostokątnym ABCD, w którym kąt ADC jest prosty, przedłużono ramiona do przecięcia w punkcie E. Podstawy trapezu ABCD mają długości 46. Wysokość trapezu jest równa 10. Oblicz długość odcinka BE.

Trójkąt CDE otrzymany po przedłużeniu ramion ADBC trapezu, jest trójkątem prostokątnym. Odcinki ABCD są równoległe, zatem kąty trójkąta CDE są równe kątom trójkąta prostokątnego AEB. Trójkąty te są podobne, zatem stosunki ich odpowiednich boków są równe.
Korzystając z tego, obliczymy długość x boku ED trójkąta CDE.

EDDC=EAAB
x4=x+106
6x=4x+40
2x=40
x=20

Trójkąt AEB jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości x+10 i 6, czyli 306.
Odcinek BE jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Jego długość obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

BE2=302+62
BE2=936
BE=936=626

Długość odcinka BE jest równa 626.

Przykład 7

W trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD z wierzchołka kąta prostego. Punkt D podzielił przeciwprostokątną AB na odcinki AD=xDB=y. Wykaż, że CD2=xy.
Oznaczmy: α,β - miary kątów ostrych w trójkącie ABC.

Odcinek CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty prostokątne ADCCDB.
Kąty ostre w trójkącie ADC mają miary α90°-α. Kąty ostre w trójkącie CDB mają miary β i 90°-β.
Ponieważ α+β=90°, więc β=90°-αα=90°-β. Zatem trójkąty ADCCDB mają równe kąty, są więc podobne.

Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy CD2.

CDAD=DBCD
CDx=yCD
CD2=xy
Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2

Sprawdź, czy romby o przekątnych długości 9 dm4 dm oraz 5 dm11,25 dm są podobne.

Ćwiczenie 3

Wykaż, że trójkąty ABDBCD są podobne.

Ćwiczenie 4

Wskaż parę wielokątów podobnych. Uzasadnij, że są one podobne.

Ćwiczenie 5

W trójkąt prostokątny ABC wpisano kwadrat ADEF o boku długości 4 cm tak, jak na rysunku.
Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że przyprostokątna AC ma długość 9 cm.

Ćwiczenie 6

W trójkącie prostokątnym poprowadzono z wierzchołka kąta prostego wysokość. Wykaż, że utworzone w ten sposób trójkąty są podobne.

Ćwiczenie 7

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną na odcinki długości 25 dm9 dm. Oblicz pole trójkąta.

Ćwiczenie 8

W okrąg o promieniu długości 2,5 cm wpisano trójkąt A’B’C’ podobny do trójkąta prostokątnego ABC o bokach długości 9 cm, 12 cm15 cm. Jaki obwód ma trójkąt A’B’C’?

Ćwiczenie 9

W trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych jest równy 75.
Trójkąt A’B’C’ jest podobny do trójkąta ABC. Krótsza przyprostokątna trójkąta A’B’C’ ma długość
10 cm. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Ćwiczenie 10

W trójkącie prostokątnym ABC stosunek długości przyprostokątnych jest równy 43.
W trójkącie A’B’C’ długości boków wynoszą 15 cm, 12 cm, 9 cm. Czy ten trójkąt jest podobny do trójkąta ABC?

Ćwiczenie 11

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 cm10 cm. Oblicz długość tej wysokości.

Ćwiczenie 12

Trójkąt prostokątny ABC ma przyprostokątne, długości 43. Znajdź długość wysokości opuszczonej z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną.

Ćwiczenie 13

Trójkąt prostokątny ABC ma przyprostokątne długości 43. Znajdź długości odcinków na które wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną.

Ćwiczenie 14

Udowodnij, że długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną iloczynu długości odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną.

Ćwiczenie 15

Przekątna trapezu prostokątnego podzieliła go na dwa trójkąty prostokątne podobne. Krótsze ramię trapezu ma długość 6, a krótsza podstawa 8. Oblicz obwód trapezu.

Ćwiczenie 16

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną długości 30 na dwa odcinki, z których jeden ma długość x. Oblicz pole trójkąta.

Ćwiczenie 17

Dwa okręgi styczne zewnętrznie zostały wpisane w kąt (każdy z nich jest styczny do ramion kąta). Odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio 2030. Oblicz obwody okręgów.

Ćwiczenie 18

Podstawy trapezu mają długości 1612, a wysokość trapezu ma długość 9,6. Znajdź odległości punktu przecięcia się przedłużeń ramion boków nierównoległych tego trapezu od obu podstaw.