Pompa dostarcza kolejne porcje betonu do zalania stropu między piętrami wieżowca. Trwa to przez pewien czas. Czy można obliczyć pracę, jaką musi wykonać ta pompa, aby zalać cały strop?

Ciało podniesione na pewną wysokość i zrzucone z niej wykona pracę, uderzając o podłoże. Intuicyjnie wiemy, że wartość tej pracy zależy od wysokości ciała i jego ciężaru, ale jak wygląda to z punktu widzenia fizyki? Jakim rodzajem energii dysponuje przedmiot, który uniesiono na wysokość np. metra?
Już wiesz
  • podać definicję energii jako wielkości fizycznej opisującej stan ciała lub układu ciał, wyrażającej jego zdolność do wykonania pracy;

  • stwierdzić, że energia mechaniczna jest sumą energii potencjalnej i kinetycznej;

  • podać definicję jednostki energii;

  • stwierdzić, że ciała mające masę przyciągają się wzajemnie siłami grawitacji;

  • podać definicję siły sprężystości jako siły dążącej do przywrócenia pierwotnego kształtu lub objętości ciału, które uległo odkształceniu;

  • obliczać wartość energii kinetycznej.

Nauczysz się
  • podawać definicję energii potencjalnej;

  • obliczać energię potencjalną grawitacji;

  • obliczać energię potencjalną sprężystości;

  • analizować zmiany energii potencjalnej w różnych zjawiskach.

W rozdziale poświęconym energii mechanicznej dowiedziałeś się, że można ją podzielić na dwa rodzaje: energię potencjalną i energię kinetyczną. Teraz zajmiemy się tą pierwszą kategorią.

energia potencjalna

– jedna z form energii mechanicznej, którą ma układ oddziałujących ze sobą ciał (przyciągających się lub odpychających), a jej wartość zależy od położenia tych ciał względem siebie. Jest to zatem energia układu ciał.

W nazwie energii potencjalnej występuje jeszcze dodatkowe określenie – mówiące o rodzaju oddziaływania, którego skutkiem jest ta energia. Jeśli między ciałami działa siła elektryczna – mówimy o energii potencjalnej elektrycznej. Jeśli jest to siła grawitacji – o energii potencjalnej grawitacji, jeśli zaś siła sprężystości – o energii potencjalnej sprężystości itd. W przypadku energii potencjalnej sprężystości ciałami, o których mowa, są cząsteczki danego ciała. Zmiana odległości między nimi powoduje powstanie sił dążących do przywrócenia poprzednich rozmiarow lub kształtu ciała.

Te dwa ostatnie rodzaje energii potencjalnej będą przedmiotem naszych dalszych rozważań.

1. Energia potencjalna grawitacji

energia potencjalna grawitacji

– energia układu ciał oddziałujących siłami grawitacyjnymi. Wartość tej energii zależy od masy ciał oraz od odległości między nimi. Rośnie, gdy zwiększa się odległość między oddziałującymi ciałami, oraz jest większa w przypadku ciał o większej masie.

Ćwiczenie 1

Czy ciało leżące na stole ma energię potencjalną? Czy może spaść i wykonać pracę?
Ile energii zyska ciało o masie m po podniesieniu go np. na wysokość h nad powierzchnię stołu?

Pamiętamy, że:

  • praca to iloczyn siły i przesunięcia W=F·s;

  • podniesienie ciała do góry wymaga użycia siły równej ciężarowi ciała, czyli: F=m·g;

  • przesunięcie s jest równe wysokości h.

Po uwzględnieniu tych informacji widzimy, że energia potencjalna grawitacji ciała wzrosła o pracę wykonaną podczas podnoszenia tego ciała:

Epot. grawit.=m·g·h

Jeżeli teraz to ciało spadnie o 1 m w dół, to może wykonać pracę o tej właśnie wartości. Powiemy, że względem powierzchni stołu energia potencjalna jest równa E=m·g·h, gdzie h jest wysokością ciała nad stołem.
Gdy h=0, czyli kiedy ciało leży na stole, to jego energia potencjalna jest równa zero. Czy jednak na pewno tak jest? Gdyby otworzyła się zapadnia i ciało to spadłoby na podłogę, to również mogłoby wykonać jakąś pracę. Oznacza to, że choć energia potencjalna ciała liczona względem powierzchni stołu była równa zero, to energia potencjalna liczona względem podłogi już nie była równa zero. Pojęcie energii potencjalnej zawsze związane jest z poziomem odniesienia, względem którego ją rozpatrujemy i obliczamy.

W lepszym zrozumieniu tego zagadnienia pomoże nam analiza poniższego przykładu.

Przykład 1

Książka o masie 1 kg leży na półce, która znajduje się 30 cm nad blatem biurka. Blat znajduje się 80 cm nad podłogą pokoju, pokój zaś jest na drugim piętrze budynku. Podłoga pokoju znajduje się na wysokości 6 metrów nad poziomem ulicy. Sytuację przedstawiono na rysunku.

Oblicz energię potencjalną grawitacji książki.
Rozwiązanie:
Przed przystąpieniem do obliczeń należy określić, względem jakiego poziomu chcemy znać wartość energii potencjalnej.
Energia potencjalna książki względem blatu biurka wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hb=1 kg·10 Nkg·0,3 m=3 J 
Energia potencjalna książki względem podłogi pokoju wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hp=1 kg·10 Nkg·0,3+0,8 m=11 J

Energia potencjalna książki względem ulicy wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hu=1 kg·10 Nkg·0,3+0,8+6 m=71 J

Odpowiedź:
W zależności od wyboru poziomu odniesienia wartość energii potencjalnej książki wynosi: 3 J względem blatu biurka, 11 J względem podłogi lub 71 J względem ulicy.

Zapamiętaj!

Wartość energii potencjalnej grawitacji zależy od wyboru poziomu, względem którego ją obliczamy.

Przykład 2

O ile wzrośnie energia potencjalna książki z poprzedniego przykładu, jeśli z pierwszej półki nad biurkiem przeniesiemy ją na drugą, wiszącą na wysokości 70 cm nad biurkiem? Obliczenia przeprowadź dla wszystkich trzech poziomów odniesienia.
Rozwiązanie:

A. Energia potencjalna grawitacji względem blatu biurka
Nowa wartość energii wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hb=1 kg·10 Nkg·0,7 m=7 J,

zatem przyrost energii wynosi: Epot.grawit.=7 J-3 J=4  J.

B. Energia potencjalna grawitacji względem podłogi
Nowa wartość energii wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hp=1 kg·10 Nkg·0,7+0,8m=15 J

zatem przyrost energii wynosi:
Epot.grawit.=15 J-11 J=4 J

C. Energia potencjalna grawitacji względem ulicy
Nowa wartość energii wynosi:

Epot.grawit.=m·g·hu=1 kg·10 Nkg·(0,7+0,8+6) m=75 J
zatem przyrost energii wynosi:
Epot.grawit.=75 J-71 J=4 J

Odpowiedź:
Niezależnie od wyboru poziomu odniesienia przyrost energii potencjalnej grawitacji wynosi 4 J.

Zapamiętaj!

Przyrost energii potencjalnej grawitacji nie zależy od wyboru poziomu odniesienia i jest wprost proporcjonalny do masy ciała i zmiany wysokości.

Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie 4

A teraz, kiedy umiesz już obliczać energię potencjalną grawitacyjną, zastanów się, po co wprowadziliśmy to pojęcie, skoro można było rozwiązać pokazane wyżej przykłady, stosując po prostu wzór na pracę?

Otóż najważniejszą cechą energii potencjalnej jest to, że zależy ona tylko od początkowego i końcowego położenia ciała, nie zależy zaś od sposobu, w jaki ta zmiana nastąpiła. Innymi słowy – praca, którą może wykonać cegła spadająca z dachu, nie zależy od tego, w jaki sposób ta cegła została tam przetransportowana.

Obliczając wartość pracy, musisz cały czas mieć na uwadze, czy siła jest stała i czy jest równoległa do przemieszczenia ciała. W przypadku niektórych zjawisk zweryfikowanie tych dwóch kwestii bywa trudne.

W celu lepszego zrozumienia tego problemu posłużmy się przykładem.

Załóżmy, że strop naszego wieżowca znajduje się na wysokości 100 metrów nad ziemią, ma grubość l=20 cm i powierzchnię P=500 m2. W tablicach stałych fizycznych możemy odczytać, że gęstość betonu wynosi 2 200kgm3.

Gdybyś chciał obliczyć pracę pompy, wykorzystując w tym celu definicję pracy, musiałbyś znać co najmniej siłę parcia, jaką pompa wywiera na beton, i kąt nachylenia rury transportującej beton (zwróć uwagę, że jest on zmienny). Trudności w takim liczeniu jest wiele i znacznie przekraczają one umiejętności oczekiwane od ucznia. Jednak w tym momencie z pomocą przychodzi nam pojęcie energii i związane z nim prawa. Pompa musi wykonać co najmniej tyle pracy, ile wynosi przyrost energii potencjalnej betonu dostarczanego na wysokość 100 metrów, a to potrafisz już obliczyć.

Wystarczy znajomość wysokości i przetransportowanej masy. Nie dysponujesz wprawdzie masą betonu, ale możesz ją obliczyć, wykorzystując w tym celu definicje gęstości substancji, podaną gęstość betonu oraz powierzchnię i grubość wylewanego stropu:

m=d·V=d·P·l=2 200 kgm3·500 m2·0,2 m=220 000 kg

Teraz można już obliczyć energię potencjalną, a właściwie jej przyrost:

Epot. grawit.=m·g·h=220 000 kg·10Nkg·100 m=220 000 000 J=220 MJ

Zalewając strop, pompa musiała wykonać pracę co najmniej 220 milionów dżuli. W rzeczywistości praca ta musi być trochę większa ze względu na opory ruchu płynnej masy betonowej w rurach doprowadzających.

2. Energia potencjalna sprężystości

Zapoznaj się z zamieszczoną poniżej animacją.

Odkształcony pręt sprężysty też ma energię, ponieważ jest zdolny wykonać pracę. Ten rodzaj energii nazywamy energią potencjalną sprężystości. Skoro jest to energia potencjalna, powinna zależeć od wzajemnego położenia ciał, które się przyciągają lub odpychają. W tym przypadku chodzi o oddziaływanie cząsteczek bądź atomów, z których zbudowana jest nasza sprężyna. Gdy zmieniamy kształt sprężyny, zmianie ulegają odległości między cząsteczkami lub atomami tworzącymi sprężynę. Jak to się dzieje, pokazano na animacji zamieszczonej poniżej.

Spróbuj ustalić, od czego zależy wartość energii sprężystości, wykonując następujące doświadczenie.

Doświadczenie 1

Ustalenie, od czego zależy energia potencjalna sprężystości.

Co będzie potrzebne
  • gumka recepturka lub podobna;

  • ławka szkolna;

  • moneta, najlepiej dwuzłotowa;

  • linijka;

  • miękki ołówek albo łatwo zmywalny mazak;

  • ściereczka lub nawilżona chusteczka do zmywania śladów ołówka lub flamastra.

Instrukcja
  1. W odległości około 10 cm od krótszego brzegu ławki nałóż (naciągnij) na nią gumkę recepturkę. Zadbaj, aby gumka nie była skręcona i miała kierunek prostopadły do dłuższej krawędzi ławki.

  2. Zaznacz ołówkiem lub flamastrem początkowe położenie gumki.

  3. Na środku ławki narysuj linię prostopadłą do krótszej krawędzi i zaznacz na niej punkt 0 (punkt przecięcia linii i położenia początkowego gumki) oraz odcinki o długości 1, 2 i 3 cm, licząc od początkowego położenia gumki w stronę bliższej krótszej krawędzi ławki. Na rysunku pokazano, jak przygotować zestaw doświadczalny.

  1. Połóż monetę na ławce tak, aby jej krawędź przylegająca do gumki znalazła się w punkcie 0 i przyciskając ją do powierzchni ławki, naciągnij gumkę o 1 cm. Krawędź monety przylegająca do gumki powinna znaleźć się na linii oznaczonej 1 cm.

  2. Puść monetę, pozwalając napiętej gumce ją popchnąć. Istotne jest, aby puszczając monetę, nie popchnąć jej po ławce. Palec trzeba zdecydowanym ruchem podnieść w górę, a moneta powinna zostać wprawiona w ruch tylko siłą sprężystości.

  3. Zaznacz położenie monety po zatrzymaniu i zmierz odległość, na jaką się przesunęła. Powinieneś mierzyć od punktu 0 do miejsca położenia tej krawędzi monety, która jest bliżej punktu 0.

  4. Pomiar powtórz około 5–6 razy. Odrzuć te wyniki, przy których zdarzyło ci się palcem popchnąć monetę po ławce. Pozostałe wpisz do tabeli wyników.

  5. Zetrzyj ślady wskazujące położenia końcowe monety.

  6. Powtórz czynności od pkt. 4. do 7., zwiększając odkształcenie gumki do 2 cm.

  7. Zanotuj wynik w tabeli 1 i zetrzyj ślady na ławce.

  8. Jeśli długość ławki na to pozwala, powtórz doświadczenie dla odkształcenia równego 3 cm.

    Tabela do doświadczenia
    Odkształcenie [cm] Przesunięcie monety [cm] Średnie przesunięcie monety [cm]
    1   s1
     
     
     
     
     
    2   s2
     
     
     
     
     
    3   s3
     
     
     
     
     
Podsumowanie
  1. Jeśli wyniki w trzeciej kolumnie tabeli rosną, oznacza to, że praca wykonana przez odkształconą sprężyście gumkę była coraz większa. Ponieważ praca ta była wykonywana kosztem energii sprężystości, możemy wnioskować, że wielkość energii sprężystości zależy od wielkości odkształcenia: im większe odkształcenie, tym większa energia.

  2. W tabeli powyżej wartości średnich przesunięć monety oznaczono symbolicznie s1, s2, s3. W twojej tabeli będę to konkretne liczby. Iloraz s1s2 mówi nam, ile razy energia odpowiadająca odkształceniu o 2 cm jest większa od energii przy odkształceniu o 1 cm. Liczba ta powinna w przybliżeniu wynosić 4. Oznacza to, że dwa razy większe odkształcenie powoduje zgromadzenie cztery razy większej energii.

    1. Jeśli udało ci się wykonać trzeci pomiar, to iloraz s3s1 mówi nam, ile razy energia odpowiadająca odkształceniu o 3 cm jest większa od energii przy odkształceniu o 1 cm. Jeżeli liczba ta wynosi około 9, oznacza to, że trzy razy większe odkształcenie odpowiada dziewięciokrotnemu wzrostowi energii sprężystości.

  3. Z obliczeń w punktach 2. i 3. wynika, że energia potencjalna sprężystości jest wprost proporcjonalna do kwadratu odkształcenia.

  4. Jeśli twoje wyniki znacząco różnią się od podanych wyżej, zastanów się, co mogło być tego przyczyną. Może warto powtórzyć pomiary, a może odkryłeś nowe prawo?

  5. Porównaj swoje pomiary z pomiarami innych osób w klasie. Zastanów się, dlaczego wartości przesunięć monety w pomiarach kolegów i koleżanek są różne mimo takich samych odkształceń.

energia potencjalna sprężystości

– jedna z form energii mechanicznej. Mają ją ciała odkształcone sprężyście. Odkształcone to znaczy rozciągnięte, ściśnięte, wygięte lub skręcone. Wartość tej energii jest wprost proporcjonalna do kwadratu odkształcenia oraz zależy od własności sprężystych odkształcanego ciała. Zawsze jest równa pracy, jaką trzeba włożyć, aby odkształcić ciało.

* Ile wynosi wartość energii potencjalnej?

Ćwiczenie 5

Podsumowanie

  • Energia potencjalna jest jedną z form energii mechanicznej. Mają ją ciała, które przyciągają się lub odpychają, a jej wartość zależy od położenia tych ciał względem siebie. Jeśli między ciałami działa siła grawitacji – mówimy o energii potencjalnej grawitacji, jeśli siła sprężystości – to energia nazywa się potencjalną sprężystości.

  • Energia potencjalna grawitacji to energia układu ciał oddziałujących siłami grawitacyjnymi. Wartość tej energii zależy od masy ciał oraz od odległości między nimi; rośnie, gdy zwiększa się odległość między oddziałującymi ciałami, oraz jest większa dla ciał o większej masie.

  • Wartość energii potencjalnej grawitacji dla ciała o masie m znajdującego się w pobliżu powierzchni ziemi obliczamy ze wzoru:
    Epot.grawit.=m·g·h,

    gdzie h oznacza wysokość ponad pewien umownie przyjęty poziom.

  • Wartość energii potencjalnej grawitacji zależy od wyboru poziomu, względem którego ją obliczamy. Przyjmuje się, że na tym umownym poziomie energia potencjalna jest równa zero.

  • Przyrost energii potencjalnej grawitacji nie zależy od wyboru poziomu odniesienia i jest wprost proporcjonalny do masy ciała i zmiany wysokości.

  • Energia potencjalna sprężystości to energia zgromadzona w ciałach odkształconych sprężyście, czyli rozciągniętych, ściśniętych, wygiętych lub skręconych. Wartość tej energii jest wprost proporcjonalna do kwadratu odkształcenia oraz zależy oraz od własności sprężystych odkształcanego ciała. Zawsze jest równa pracy, jaką trzeba włożyć, aby odkształcić ciało.

Zadania podsumowujące lekcję

Polecenie 1

Oblicz energię potencjalną grawitacji samolotu lecącego na wysokości 6000 m nad powierzchnią ziemi. Masa samolotu wynosi 200 ton.

Polecenie 2

Oblicz, ile pracy może wykonać 20 litrów wody spadającej z wysokości 10 m. Gęstość wody wynosi 1 kg/litr.

Polecenie 3

Naciągając strunę gitary, muzyk wykonał pracę 2 J. Oblicz, ile energii potencjalnej sprężystości zostało zgromadzone w tej strunie.

Polecenie 4

Energia potencjalna sroki lecącej na wysokości 10 m nad powierzchnią morza ma wartość 200 J względem tej powierzchni. Oblicz, ile wynosi masa tego ptaka.

Polecenie 5

Energia potencjalna grawitacji jednej cegły znajdującej się na dachu budynku względem biegnącego u jego podnóża chodnika wynosi 80 J. Oblicz wartość tej energii dla pięciu takich cegieł leżących obok siebie na tym samym dachu.

Ćwiczenie 6
Ćwiczenie 7