Przykład 1

Twierdzenie

Jeżeli trójkąt prostokątny jest równoramienny, to jego kąty ostre mają równe miary.

Twierdzenie odwrotne

Jeżeli kąty ostre w trójkącie prostokątnym mają równe miary, to trójkąt ten jest równoramienny.

Równoważność

Trójkąt prostokątny jest równoramienny wtedy i tylko wtedy, gdy jego kąty ostre mają równe miary.

Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe i twierdzenie do niego odwrotne też jest prawdziwe, to utworzona z nich równoważność jest również prawdziwa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Wiemy już, że zamiana założenia z tezą nie zawsze prowadzi do twierdzenia prawdziwego.
W przypadku twierdzenia Pitagorasa twierdzenie odwrotne jest też prawdziwe.

Twierdzenie: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

W zastosowaniach praktycznych posługujemy się poniższą wersją twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

Ważne!

Jeżeli liczby $a, b, c$ będące długościami boków trójkąta (gdzie $c$ – długość najdłuższego z boków) spełniają warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2},

to trójkąt ten jest prostokątny.

Znając długości boków trójkąta i wykorzystując twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, można stwierdzić, czy trójkąt jest prostokątny.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości $15, 17, 8$ jest prostokątny.
Ustalamy, że najdłuższy bok trójkąta ma długość $17$ .

Obliczamy kwadrat liczby $17$ .

17^{2} = 289

Obliczamy sumę kwadratów długości dwóch krótszych boków.

1 5^{2} + 8^{2} = 225 + 64 = 289

Porównujemy znalezione liczby.

289 = 289

Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt o bokach długości $15, 17$ i $8$ jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 3

Sprawdzimy, czy trójkąt o bokach długości $2, 3, 2 \sqrt{3}$ jest trójkątem prostokątnym.

Oznaczmy

$a = 2$
$b = 3$
$c = 2 \sqrt{3}$ - długość najdłuższego boku

Sprawdzimy, czy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Obliczamy sumę kwadratów długości krótszych boków i kwadrat długości najdłuższego boku.

a^{2} + b^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13

c^{2} = {(2 \sqrt{3^{}})}^{2} = 4 \cdot 3 = 12

Porównujemy znalezione liczby.

13 \neq 12,

czyli

a^{2} + b^{2} \neq c^{2}

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym (gdyby był prostokątny, to musiałaby być prawdziwa równość $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ).

Trójki pitagorejskie

Starożytni Egipcjanie wyznaczali kąt prosty, wykorzystując trójkąt prostokątny o bokach długości $3, 4, 5$ , nazywany obecnie trójkątem egipskim.
Hindusi posługiwali się trójkątem o bokach długości: $5, 12, 13$ .
W obu przypadkach długości boków trójkątów wyrażały się liczbami naturalnymi.
Trójki liczb naturalnych $a, b, c$ , które wyrażają długości boków trójkąta prostokątnego, nazwano trójkami pitagorejskimi. Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa można stwierdzić, że poszukiwanie ich sprowadza się do rozwiązania równania

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Odkrycie ogólnej metody znajdowania tych liczb przypisuje się matematykowi greckiemu Diofantosowi, żyjącemu w $III$ wieku n.e. w Aleksandrii. Wyznaczał on trójki pitagorejskie według wzoru

a = m^{2} - n^{2}

b = 2 mn

c = m^{2} + n^{2},

gdzie $m, n$ dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie nieparzyste i takie, że $m > n$ .
Na przykład.
Niech $m = 3, n = 2$

a = 3^{2} - 2^{2} = 9 - 4 = 5

b = 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12

c = 3^{2} + 2^{2} = 9 + 4 = 13

Trójkę pitagorejską tworzą liczby: $5, 12, 13$ .
Niektóre trójki pitagorejskie

Tabela. Dane
$a$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$15$
$b$	$4$	$12$	$24$	$40$	$60$	$8$
$c$	$5$	$13$	$25$	$41$	$61$	$17$

Ćwiczenie 1

Zapisz dowolną trójkę pitagorejską.

Pomnóż każdą z zapisanych liczb przez tę samą dowolną liczbę naturalną większą od $1$ .
Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?
Pomnóż każdą z zapisanych liczb przez tę samą, dowolną liczbę dodatnią.
Sprawdź, czy utworzone w ten sposób liczby tworzą trójkę pitagorejską. Co zauważasz?

Na przykład trójkę pitagorejską tworzą liczby: $5,12,13$ .
Mnożąc każdą z nich przez dwa, otrzymujemy liczby: $a = 10, b = 24, c = 26$ .
Sprawdzamy, że spełniają one warunek

a^{2} + b^{2} = c^{2}

1 0^{2} + 2 4^{2} = 2 6^{2}

100 + 576 = 676

676 = 676

istTiT5cXv_d5e378

Określanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt ten jest prostokątny.

Zastanowimy się teraz, czy można określić rodzaj trójkąta, wiedząc, że suma pół kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza (albo większa ) od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

Ćwiczenie 2

RB79OeABx3QwR1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D41QdBS0k

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Na bokach trójkąta $ABC$ skonstruowane są kwadraty.
Zmień czterokrotnie położenie wierzchołków trójkąta $ABC$ , tak aby w każdym przypadku bok $AC$ był najdłuższym bokiem i aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach $AB$ i $BC$ była większa od pola kwadratu zbudowanego na boku $AC$ . Określ w każdym przypadku rodzaj otrzymanego trójkąta (prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny). Zapisz twierdzenie, które możesz sformułować na podstawie obserwacji.

Sformułuj też twierdzenie odwrotne i sprawdź na $3$ przykładach, czy jest prawdziwe.
Powtórz ten sam eksperyment , tak zmieniając położenie wierzchołków trójkąta $ABC$ , aby suma pól kwadratów zbudowanych na bokach $AB$ i $BC$ była mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na boku $AC$ .
Sformułuj odpowiednie twierdzenie i twierdzenie do niego odwrotne.

Ważne!

Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów możemy sformułować dwie pary twierdzeń:

Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest ostrokątny.
Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.
Jeżeli suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest rozwartokątny.
Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

Twierdzenia sformułowaliśmy na podstawie obserwacji, ale można udowodnić, że twierdzenia te są prawdziwe.

Rodzaje trójkątów a długości boków

Twierdzenie: Rodzaje trójkątów a długości boków

Niech liczby $a, b, c$ , gdzie $c > a$ i $c > b$ będą długościami boków trójkąta.

Trójkąt ten jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} > c^{2} .$
Trójkąt ten jest rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Przykład 4

Trójkąt o bokach długości $6, 7, 8$ jest ostrokątny, bo

6^{2} + 7^{2} = 85 > 64 = 8^{2} .

Trójkąt o bokach długości $4, 4, 7$ jest rozwartokątny, bo

4^{2} + 4^{2} = 32 < 49 = 7^{2} .

Ćwiczenie 3

Sformułuj twierdzenie odwrotne do podanego twierdzenia. Czy twierdzenie to jest prawdziwe, czy fałszywe?

Jeżeli dwa trójkąty są przystające, to odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają równe długości.
Jeżeli kąty $x$ i $y$ są kątami przyległymi, to ich suma jest równa kątowi półpełnemu.
Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest punktem wspólnym trzech wysokości tego trójkąta.

Jeżeli odpowiednie boki dwóch trójkątów mają równe długości, to trójkąty te są przystające .
Twierdzenie prawdziwe.
Jeżeli suma dwóch kątów $x, y$ jest równa kątowi półpełnemu, to kąty te są kątami przyległymi.
Twierdzenie fałszywe.
Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem wspólnym trzech wysokości tego trójkąta, to trójkąt ten jest równoboczny.
Twierdzenie prawdziwe.

classicmobile

Ćwiczenie 4

Czy trójkąt o bokach długości $k, d, c$ jest prostokątny?

RgrEoOZdAuw07

$k = 2 cm, d = 3 cm, c = 4 cm$
$k = 3 dm, d = \sqrt{10} dm, c = 1 dm$
$k = \sqrt{29} mm, d = 5 mm, c = 2 mm$
$k = \sqrt{3} m, d = \sqrt{13} m, d = 4 m$

static

Ćwiczenie 4

Czy trójkąt o bokach długości $k, d, c$ jest prostokątny?

RX7sOR735urWO

$k = 2 cm, d = 3 cm, c = 4 cm$
$k = 3 dm, d = \sqrt{10} dm, c = 1 dm$
$k = \sqrt{29} mm, d = 5 mm, c = 2 mm$
$k = \sqrt{3} m, d = \sqrt{13} m, d = 4 m$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

RlFKzoMl2DpXD

$3 cm, 5 cm, 6 cm$
$7 cm, 1 cm, 5 \sqrt{2} cm$
$2 cm, 4 cm, 3 \sqrt{5} cm$
$7 cm, 11 cm, 13 cm$

static

Ćwiczenie 5

Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

RKXe5OS3TRPt2

$3 cm, 5 cm, 6 cm$
$7 cm, 1 cm, 5 \sqrt{2} cm$
$2 cm, 4 cm, 3 \sqrt{5} cm$
$7 cm, 11 cm, 13 cm$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Liczba $n$ jest liczbą naturalną dodatnią. Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

R1SixSgU4iqKW

$2 n, 2 n, 3 n$
$5 n, 2 n, 4 n$
$n, 2 n, n \sqrt{3}$
$n, 2 n, n \sqrt{7}$

static

Ćwiczenie 6

Liczba $n$ jest liczbą naturalną dodatnią. Trójkątem prostokątnym jest trójkąt o bokach długości

R3T7dGr1qtgmZ

$2 n, 2 n, 3 n$
$5 n, 2 n, 4 n$
$n, 2 n, n \sqrt{3}$
$n, 2 n, n \sqrt{7}$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Liczba $a$ jest dodatnia i większa od $1$ . Czy trójkąt o bokach podanej długości jest prostokątny?

R1ZZSajhUtO9U

$8 a, 6 a, 3 a$
$a^{2}, a - 1, 3 a$
$3 a, a, a \sqrt{10}$

static

Ćwiczenie 7

Liczba $a$ jest dodatnia i większa od $1$ . Czy trójkąt o bokach podanej długości jest prostokątny?

RXIzI5yLpfJu3

$8 a, 6 a, 3 a$
$a^{2}, a - 1, 3 a$
$3 a, a, a \sqrt{10}$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Boki trójkąta prostokątnego mają długości $a$ , $11, 61$ , gdy

R1VAI9Np9EtWO

$a = 60$
$a = 55$
$a = 63$
$a = 59$

static

Ćwiczenie 8

Boki trójkąta prostokątnego mają długości $a$ , $11, 61$ , gdy

Rkg7kr1nWRVRC

$a = 60$
$a = 55$
$a = 63$
$a = 59$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Czy trójkąt o podanym stosunku długości boków jest prostokątny?

R18Nm6fJUMpKw

$2 : 3 : 2$
$5 : 4 : 3$
$24 : 7 : 25$
$17 : 15 : 8$

static

Ćwiczenie 9

Czy trójkąt o podanym stosunku długości boków jest prostokątny?

R16Lev3ifzzXb

$2 : 3 : 2$
$5 : 4 : 3$
$24 : 7 : 25$
$17 : 15 : 8$

Ćwiczenie 10

Trawnik ma kształt trójkąta, którego boki pozostają w stosunku $25 : 24 : 7$ . Na ogrodzenie trawnika zużyto $224 m$ płotka. Sprawdź, czy trawnik ma kształt trójkąta prostokątnego.

$25 x + 24 x + 7 x = 224$
$56 x = 224$
$x = 4$
$100 m, 96 m, 28 m$ długości boków trawnika
$9 6^{2} + 2 8^{2} = 9216 + 784 = 10000 = 10 0^{2}$
Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trawnik ma kształt trójkąta prostokątnego.

Ćwiczenie 11

Znajdź sumę długości przekątnych $p$ i $d$ prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ .

$a = 9 cm, b = 12 cm$
$p + d = \dots cm$
$a = 2 cm, b = \sqrt{5} cm$
$p + d = \dots cm$
$a = 3 cm, b = 3 \sqrt{3} cm$
$p + d = \dots cm$
$a = 9 dm, b = 40 dm$
$p + d = \dots cm$

$30 cm$
$6 cm$
$12 cm$
$82 cm$

Ćwiczenie 12

Podaj przykłady pary liczb naturalnych, które mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość $100$ .

np. $60$ i $80$

istTiT5cXv_d5e869

Ćwiczenie 13

W trójkącie prostokątnym jeden z boków ma długość $2 cm$ , a drugi jest o $1 cm$ dłuższy. Oblicz pole trójkąta. Rozpatrz wszystkie możliwości.

$I$ przypadek
$2 cm, 3 cm$ – długości przyprostokątnych

P = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 (c m^{2})

$II$ przypadek
$2 cm$ – długość przyprostokątnej
$3 cm$ – długość przeciwprostokątnej

a^{2} = 3^{2} - 2^{2}

$a = \sqrt{5} cm$ – długość drugiej przyprostokątnej

P = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} (c m^{2})

Ćwiczenie 14

Boki trójkąta pitagorejskiego mają długości: $n, \frac{n^{2} - 1}{2}, \frac{n^{2} + 1}{2}$ , gdzie $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą, większą od $1$ .
Znajdź obwód i pole tego trójkąta, gdy

$n = 3$
$n = 9$
$n = 11$

$3, 4, 5$ – długości boków
$L = 12, P = 6$
$9,40,41$ – długości boków
$L = 90, P = 180$
$11, 60, 61$ – długości boków
$L = 132, P = 330$

Ćwiczenie 15

Wykaż, że liczby $a, b, c$ postaci
$a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2},$ gdzie $m, n$ to dowolne liczby naturalne względnie pierwsze, które nie są jednocześnie
liczbami nieparzystymi i takie, że $m > n$ , są długościami boków trójkąta prostokątnego.
Wykaż, że mnożąc przez tę samą liczbę dodatnią, każdą z liczb

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2},

tworzących trójkę pitagorejską, otrzymujemy również trójkę pitagorejską.

$a^{2} + b^{2} = {(m^{2} - n^{2})}^{2} + {(2 mn)}^{2}$
$a^{2} + b^{2} = m^{4} - 2 m^{2} n^{2} + n^{4} + 4 m^{2} n^{2} = m^{4} + 2 m^{2} n^{2} + n^{4}$
$c^{2} = {(m^{2} + n^{2})}^{2} = (m^{2} + n^{2}) (m^{2} + n^{2}) = m^{4} + 2 m^{2} n^{2} + m^{4}$
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Wskazówka
Niech $t$ będzie liczbą przez którą mnożymy. Należy wykazać, że

{(ta)}^{2} + {(tb)}^{2} = {(tc)}^{2} .

Ćwiczenie 16

Sprawdź dla trzech dowolnych liczb naturalnych $n > 1$ , czy liczby postaci

2 n + 1, 2 n^{2} + 2 n, 2 n^{2} + 2 n + 1

mogą być długościami boków trójkąta prostokątnego.

Ćwiczenie 17

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są równe $m + 1$ i $4$ , gdzie $m$ jest liczbą dodatnią. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $m + 3$ . Znajdź liczbę $m$ .

${(m + 1)}^{2} + 4^{2} = {(m + 3)}^{2}$
$(m + 1) (m + 1) + 4^{2} = (m + 3) (m + 3)$
$m^{2} + 2 m + 1 + 16 = m^{2} + 6 m + 9$
$m = 2$

Ćwiczenie 18

Znajdź liczbę $m < 16$ , dla której liczby $m - 5, m - 4, m - 3$ są długościami boków trójkąta prostokątnego.
Rozwiąż zadanie algebraicznie i graficznie.

R1KgACskdlhma1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D41QdBS0k

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

$m = 8$

classicmobile

Ćwiczenie 19

Czy równoległobok o bokach długości

R2Eu5i7Akl8Oy

$3, 4$ oraz przekątnej długości $5$ jest prostokątem?
$5, 5$ oraz przekątnej długości $5 \sqrt 2$ jest prostokątem?
$2, 6$ oraz przekątnej długości $5$ jest prostokątem?

static

Ćwiczenie 19

Czy równoległobok o bokach długości

RboPB17Rir14s

$3, 4$ oraz przekątnej długości $5$ jest prostokątem?
$5, 5$ oraz przekątnej długości $5 \sqrt 2$ jest prostokątem?
$2, 6$ oraz przekątnej długości $5$ jest prostokątem?

Ćwiczenie 20

Sprawdź czy istnieje romb o boku długości $13$ oraz przekątnych długości $10$ i $24$ .

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym.
Spełniony więc musi być warunek $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ .
$L = 25 + 144 = 169$
$P = 169$
$L = P$ – romb o podanych własnościach istnieje

Ćwiczenie 21

Na podstawie $AB$ trójkąta $ABC$ obrano punkt $D$ . Odcinek $AC$ ma długość $5$ , odcinek $CD$ ma długość $3$ , natomiast $AD$ ma długość $4$ . Wykaż, że $CD$ jest wysokością trójkąta $ABC$ .

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa można stwierdzić, że trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Przy czym kąt $CDA$ jest kątem prostym. Oznacza to, że odcinek $CD$ jest prostopadły do boku $AB$ , jest więc wysokością trójkąta $ABC$ .

Ćwiczenie 22

W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$ . Wykaż, że odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta.

Niech długość boku trójkąta $ABC$ wynosi $2 a$ , gdzie a jest pewną liczbą dodatnią.
Odcinek $CD$ jest środkową boku trójkąta równobocznego, ma więc długość $\frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .
Sprawdzamy, że trójkąt $ADC$ , czyli trójkąt o bokach długości $2 a, a, a \sqrt{3}$ jest prostokątny. Korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

a^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} = 4 a^{2} = {(2 a)}^{2}

Zatem odcinek $CD$ jest prostopadły do boku $AB$ , jest więc wysokością trójkąta.

Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym

Szczególne trójkąty prostokątne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Trójki pitagorejskie

Określanie rodzaju trójkąta z wykorzystaniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa