Definicja: definicja ogólna prawdopodobieństwa

W doświadczeniu losowym określimy zbiór zdarzeń elementarnych

Ω=w1,w2,w3,...,wn,

a zdarzeniom elementarnym w1,w2,w3,...,wn przypiszemy takie liczby nieujemne odpowiednio p1,p2,p3,...,pn, że p1+p2+p3+...+pn=1. Wówczas prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia AΩ nazywamy liczbę PA, która jest sumą prawdopodobieństw przypisanych do zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.

Przykład 1

Pokażemy, że w poprzednim przykładzie, w drugim sposobie rozwiązania postępowaliśmy zgodnie z ogólną definicją prawdopodobieństwa.
Przyjęliśmy, że doświadczenie może skończyć się jednym z czterech możliwych wyników:
w1 – zdarzenie, że wylosujemy zadanie kodowane rozwiązane pierwszego dnia,
w2 – zdarzenie, że wylosujemy zadanie testowe rozwiązane pierwszego dnia,
w3 – zdarzenie, że wylosujemy zadanie kodowane rozwiązane drugiego dnia,
w4 – zdarzenie, że wylosujemy zadanie testowe rozwiązane drugiego dnia.
Rozpatrując te wyniki jako zdarzenia elementarne, otrzymujemy zbiór zdarzeń elementarnych

Ω=w1,w2,w3,w4.

Każdemu ze zdarzeń elementarnych przypisaliśmy prawdopodobieństwo takie , jak w poniższej tabeli:

Tabela. Dane
Zdarzenie
elementarne
w1
w2
w3
w4
prawdopodobieństwo
p1=3512=310
p2=3512=310
p3=2515=225
p4=2545=825

Ponieważ spełniony jest warunek p1+p2+p3+p4=1, więc jeżeli przez A oznaczymy zdarzenie, że wylosowano zadanie kodowane, to A=w1,w3 i prawdopodobieństwo p zdarzenia A jest równe

p=p1+p3=1950.

Otrzymany wynik jest, oczywiście, zgodny z wynikiem otrzymanym w pierwszym sposobie rozwiązania (według schematu klasycznego).

Pokażemy formalnie, że definicja ogólna jest zgodna z definicją klasyczną prawdopodobieństwa.

Przykład 2

Rozpatrzmy doświadczenie losowe, w którym zbiór zdarzeń elementarnych to

Ω=w1,w2,w3,...,wn,

przy czym zdarzeniom elementarnym w1,w2,w3,...,wn są przypisane takie liczby nieujemne, odpowiednio

p1,p2,p3,...,pn,

że

p1+p2+p3+...+pn=1.

Jeżeli przyjmiemy, że zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne

p1=p2=p3=...=pn,

to każdemu zdarzeniu elementarnemu przypisane jest prawdopodobieństwo równe 1n.
Ponieważ zbiór zdarzeń elementarnych liczy n elementów, więc Ω=n. Ponadto dowolnemu zdarzeniu AΩ sprzyja A zdarzeń elementarnych, co oznacza, że PA jest sumą A liczb równych 1n.
Stąd PA=A1n=An=AΩ. To właśnie mieliśmy udowodnić.