Zadania

classicmobile

Ćwiczenie 1

Za trzy kostki masła trzeba zapłacić $12,60 zł$ . Wynika z tego, że

RiVW7s6HI8aiD

za $4$ kostki zapłacimy $16,80 z ł$
za $1$ kostkę zapłacimy $6,30 z ł$
za $6$ kostek zapłacimy więcej niż $20 z ł$

static

Ćwiczenie 1

Za trzy kostki masła trzeba zapłacić $12,60 zł$ . Wynika z tego, że

RNLfXPUij2Cno

za $4$ kostki zapłacimy $16,80 z ł$
za $1$ kostkę zapłacimy $6,30 z ł$
za $6$ kostek zapłacimy więcej niż $20 z ł$

Ćwiczenie 2

W poniższej tabeli prezentowane są wprost proporcjonalne wielkości $x$ i $y$ .

Funkcja liniowa. Tabela 01
$x$	$x_{1} = 1$	$x_{2} = 2$	$x_{3}$	$x_{4} = 10$
$y$	$y_{1}$	$y_{2} = 3$	$y_{3} = 9$	$y_{4}$

Wówczas

R1RvdgP4TMLDH

$y_{1} = 2$
$x_{3} = 3$
$y_{4} = 15$
$\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$

Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości x_2 i y_1
a=y_2/x_2 =3/2.
Wynika stąd, że:
y_1=a∙x_1=3/2∙1=3/2
y_3=a∙x_3=3/2∙x_3
skąd
9=3/2∙x_3
czyli
x_3=9∙2/3=6
y_4=a∙x_4=3/2∙10=15 $.$

Ćwiczenie 3

Które spośród poniższych par wielkości są wprost proporcjonalne?

RKJFPaqgQFydR

obwód i średnica koła
krawędź sześcianu i jego objętość
bok trójkąta równobocznego i promień koła wpisanego w ten trójkąt
pole kwadratu i pole koła na nim opisanego

Ćwiczenie 4

Samochód jedzie ze stałą prędkością $70 \frac{km}{h}$ . Wówczas

R148AV7qzMTfQ

w ciągu $2$ godzin przejedzie $140 km$
w ciągu $30$ minut przejedzie $30 km$
w ciągu $10$ minut przejedzie $7 km$
w ciągu $5$ minut przejedzie więcej niż $5 km$

Ćwiczenie 5

Wykres funkcji $f (x) = \sqrt{2} x + 2$

RvRBvuqpK9FUs

jest równoległy do prostej o równaniu $y = 2$
przechodzi przez punkt $(\sqrt{2}, 4)$
przecina wykres funkcji $g (x) = - 3 x + 2$ w punkcie leżącym na osi $Oy$

Ćwiczenie 6

Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.

$y = 3 x + 2$
$y = - 3 x + 2$
$y = 3 x - 2$
$y = - 3 x - 2$

R1MZu29zrfiTL1
R1EEu0yIUVvRE1
RcCoAz7QhFaD41
RsXAnwbZ6i4r61

Wykres funkcji $y = 3 x + 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $3$ – jej wykres jest na rysunku II.
Wykres funkcji $y = - 3 x + 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $(- 3)$ – jej wykres jest na rysunku III.
Wykres funkcji $y = 3 x - 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $3$ – jej wykres jest na rysunku I.
Prosta na rysunku IV przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $(- 3)$ – jest to więc funkcja liniowa określona wzorem $y = - 3 x - 2$ .

Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na wykresie tej samej funkcji liniowej.

RhmM6Z7gZX2cG

$A = <mfenced separators="|"> 0, 2$ , $B = <mfenced separators="|"> 20, 2$ , $C = <mfenced separators="|"> - 20, 2$
$A = <mfenced separators="|"> 0, 1$ , $B = <mfenced separators="|"> 1, 11$ , $C = <mfenced separators="|"> 2, 21$
$A = <mfenced separators="|"> 0, - 1$ , $B = <mfenced separators="|"> - 1, - 3$ , $C = <mfenced separators="|"> - 2, - 5$
$A = <mfenced separators="|"> 0, 1$ , $B = <mfenced separators="|"> 1, 2$ , $C = <mfenced separators="|"> 2, 4$

Ćwiczenie 8

Wskaż punkt, który leży na wykresie funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \sqrt{3} x$ .

Ru6pcw9Hd27Qp

$(- \sqrt{3}, 0)$
$(- \sqrt{3}, 1)$
$(- \sqrt{3}, - 1)$
$(- \sqrt{3}, - 3)$

Ćwiczenie 9

Na wykresie funkcji $f (x) = ax$ leży punkt $A = (1, 3)$ . Wtedy liczba $f (- 2)$ jest równa

RldNlK4c4PKFX

$0$
$- 3$
$- 6$
$- 9$

Ćwiczenie 10

Jeżeli za $3$ takie same zeszyty w kratkę trzeba zapłacić w szkolnym sklepiku $7 zł 20 gr$ , to za $7$ takich zeszytów zapłacimy

RMEkHWFfpSNds

$24 zł$
$16 zł 80 gr$
$14 zł 20 gr$
$11 zł 20 gr$

Ćwiczenie 11

Przedstawiona na rysunku prosta jest wykresem funkcji $f$ .

Rp33zuzweveHz1

Wykres funkcji liniowej przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 0) i (2, 5).

Funkcja ta określona jest wzorem

R18mssjXajoaZ

$f (x) = 2 x$
$f (x) = 5 x$
$f (x) = \frac{5}{2} x$
$f (x) = \frac{2}{5} x$

Ćwiczenie 12

Do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - 2 x + 3$ należy punkt

R1PYMPLSSk8di

$(\frac{1}{2}, 2)$
$(\frac{1}{2}, 3)$
$(\frac{1}{2}, 1 \frac{1}{2})$
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Ćwiczenie 13

Wykres funkcji liniowej $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i przechodzi przez punkt $(- 1, 3)$ . Funkcja ta określona jest wzorem

RJAnLz2zQrBYA

$f (x) = 3 x - 2$
$f (x) = - 3 x - 2$
$f (x) = 5 x - 2$
$f (x) = - 5 x - 2$

Ćwiczenie 14

Wykres funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f (x) = 2 x$ przesunięto o $3$ jednostki w prawo, wzdłuż osi $Ox .$ Otrzymana prosta jest wykresem funkcji $g$ danej wzorem

RPUMn0SIRgjqq

$g (x) = 2 x - 3$
$g (x) = 2 x + 3$
$g (x) = 2 x - 6$
$g (x) = 2 x + 6$

Ćwiczenie 15

Wskaż liczbę $m$ , dla której wykres funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f (x) = (m - 2) x + 3$ przecina oś $Ox$ w punkcie $(- 1, 0)$ .

R2vssYNR6GMlp

$m = 5$
$m = 3$
$m = - 3$
$m = - 2$

Ćwiczenie 16

Uzupełnij tabelę, wiedząc, że $x$ jest argumentem funkcji $f (x) = ax$ , natomiast $y$ odpowiadającą mu wartością.

Funkcja liniowa. Tabela 02
$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$	$15$	$33$
$y$	$10$

Funkcja liniowa. Tabela‑rozwiazanie 02
$x$	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$	$15$	$33$
$y$	$10$	$5$	$\frac{10}{3}$	$\frac{5}{3}$	$0$	$- \frac{5}{3}$	$- \frac{10}{3}$	$- 5$	$- 10$	$- 25$	$- 55$

Odczytujemy współczynnik proporcjonalności na podstawie proporcji wielkości $x$ i $y$

a = \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{10}{- 6} = \frac{5}{- 3} .

Wynika stąd, że:
$y_{1} = a ∙ x_{1} = - \frac{5}{3} ∙ (- 6) = 10$ , $y_{2} = a ∙ x_{2} = - \frac{5}{3} ∙ (- 3) = 5$
$y_{3} = a ∙ x_{3} = - \frac{5}{3} ∙ (- 2) = \frac{10}{3}$ , $y_{4} = a ∙ x_{4} = - \frac{5}{3} ∙ (- 1) = \frac{5}{3}$
$y_{5} = a ∙ x_{5} = - \frac{5}{3} ∙ 0 = 0$ , $y_{6} = a ∙ x_{6} = - \frac{5}{3} ∙ 1 = \frac{- 5}{3}$
$y_{7} = a ∙ x_{7} = - \frac{5}{3} ∙ 2 = - \frac{10}{3}$ , $y_{8} = a ∙ x_{8} = - \frac{5}{3} ∙ 3 = - 5$
$y_{9} = a ∙ x_{9} = - \frac{5}{3} ∙ 6 = \frac{10}{3}$ , $y_{10} = a ∙ x_{10} = - \frac{5}{3} ∙ 15 = - 25$
$y_{11} = a ∙ x_{11} = - \frac{5}{3} ∙ 33 = - 55$

Ćwiczenie 17

Każda z prostych prezentowanych na rysunkach określona jest równaniem $y = ax$ . Wyznacz $a$ .

R117lBjSwy3nA1
Rrkz8oCwNEIpr1
R1JftBivDEATV1
RF41pgZXMAJOA1

$a = 3$
$a = - 2$
$a = \frac{3}{4}$
$a = - \frac{5}{4}$

Zauważmy, że $f (1) = 3$ , czyli $a ∙ 1 = 3$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $3$ .
Zauważmy, że $f (- 1) = 2$ , czyli $a ∙ (- 1) = 2$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $- 2$ .
Zauważmy, że $f (4) = 3$ , czyli $a ∙ 4 = 3$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $\frac{3}{4}$ .
Zauważmy, że $f (- 4) = 5$ , czyli $a ∙ (- 4) = 5$ . Zatem współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy $- \frac{5}{4} .$

Ćwiczenie 18

Wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki, wzdłuż osi $Ox$ . Podaj równanie otrzymanej prostej.

$y = - \frac{1}{3} x + 1$

Po przesunięciu w prawo o $3$ jednostki wzdłuż osi $Ox$ wykresu funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ otrzymujemy prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt $(3, 0)$ . Zatem prosta ta ma równanie

y = - \frac{1}{3} x + b .

Ponieważ $f (3) = 0$ , to $0 = - \frac{1}{3} ∙ 3 + b$ , zatem $b = 1$ . Stąd równanie prostej to

y = - \frac{1}{3} x + 1 .

Ćwiczenie 19

Wykres funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki, wzdłuż osi $Oy$ . Podaj równanie otrzymanej prostej.

$y = - \frac{1}{3} x + 3$

Po przesunięciu o $3$ jednostki wzdłuż osi $Oy$ wykresu funkcji $f (x) = - \frac{1}{3} x$ otrzymujemy prostą do niej równoległą i przechodzącą przez punkt $(0, 3)$ . Zatem prosta ta ma równanie

y = - \frac{1}{3} x + b .

Ponieważ $f (0) = 3$ , to $3 = - \frac{1}{3} ∙ 0 + b$ , zatem $b = 3$ . Stąd równanie prostej to

y = - \frac{1}{3} x + 3 .

Ćwiczenie 20

Na rysunku prezentowany jest wykres funkcji liniowej $f$ . Uzupełnij tabelę.

RlTYB0cHNoKgJ1

Wykres funkcji liniowej przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 2) i (2, 0).

Funkcja liniowa. Tabela 03
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f (x)$

Funkcja liniowa. Tabela - rozwiazanie 03
$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f (x)$	$6$	$5$	$4$	$- 2$	$- 3$	$- 4$	$- 5$

Zauważmy, że punkty $(0,2)$ , $(2,0)$ należą do wykresu funkcji. Zatem $f (0) = 2$ , czyli $2 = a ∙ 0 + b$ , stąd $b = 2$ . Biorąc pod uwagę punkt $(2,0)$ , otrzymujemy $f (2) = 0$ , czyli $0 = a ∙ 2 + 2$ , stąd $a = - 1$ . Zatem funkcja ma postać:

f (x) = - x + 2 .

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f (- 4) = - (- 4) + 2 = 6

f (- 3) = - (- 3) + 2 = 5

f (- 2) = - (- 2) + 2 = 4

f (4) = - 4 + 2 = - 2

f (5) = - 5 + 2 = - 3

f (6) = - 6 + 2 = - 4

f (7) = - 7 + 2 = - 5

Ćwiczenie 21

Uzupełnij tabelę, wiedząc, że funkcja $f$ jest liniowa.

Funkcja liniowa. Tabela 04
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$			$2$	$- 1$

Funkcja liniowa. Tabela‑rozwiazanie 04
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$8$	$5$	$2$	$- 1$	$- 4$	$- 7$	$- 10$

Zauważmy, że punkty $(0,2)$ , $(1, - 1)$ należą do wykresu funkcji liniowej. Zatem $f (0) = 2$ , czyli $2 = a ∙ 0 + b$ , stąd $b = 2$ . Biorąc pod uwagę punkt $(1, - 1)$ , otrzymujemy $f (1) = - 1$ , czyli $- 1 = a ∙ 1 + 2$ , stąd $a = - 3$ . Zatem funkcja ma postać:

f (x) = - 3 x + 2 .

Obliczamy wartości funkcji dla poszczególnych argumentów:

f (- 2) = - 3 (- 2) + 2 = 8

f (- 1) = - 3 (- 1) + 2 = 5

f (2) = - 3 ∙ 2 + 2 = - 4

f (3) = - 3 ∙ 3 + 2 = - 7

f (4) = - 3 ∙ 4 + 2 = - 10

Ćwiczenie 22

Przyporządkuj podane wzory funkcji liniowych do odpowiednich wykresów.

$y = x - 2$
$y = - \frac{1}{2} x - 2$
$y = 2 x - 1$
$y = \frac{1}{2} x - 1$

RBnFcQJ6wPyRA1
RYvzILwEs6nog1
R17NtRjt2MreI1
ReGRKpjuxZ1u61

Wykres funkcji $y = x - 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $1$ – jej wykres jest na rysunku II.
Wykres funkcji $y = - \frac{1}{2} x - 2$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i ma współczynnik kierunkowy $(- \frac{1}{2})$ – jej wykres jest na rysunku IV.
Wykres funkcji $y = 2 x - 1$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 1)$ i ma współczynnik kierunkowy $2$ – jej wykres jest na rysunku I.
Wykres funkcji $y = \frac{1}{2} x - 1$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 1)$ i ma współczynnik kierunkowy $\frac{1}{2}$ – jej wykres jest na rysunku III.

Ćwiczenie 23

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f (x) = ax + b .$

R1b3qylJNx26s1

Wykres funkcji liniowej przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 3) i (2, -1).

Oceń, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe.

R1Foh9JLNY4dM

$a > 2$
$a < 0$
$b = 3$
punkt $(- 1, 5)$ należy do wykresu funkcji $f$

Ćwiczenie 24

Dane są funkcje $f (x) = 2 x$ , $g (x) = 2 x + 3$ , $h (x) = - 2 x + 3$ . Oceń, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe.

RVakFAcligLJ3

Wykresy funkcji $f$ i $g$ przecinają się w punkcie $(0, 0)$ .
Wykresy funkcji $g$ i $h$ przecinają się w punkcie $(0, 3)$ .
Wykresy funkcji $f$ i $h$ są prostymi równoległymi.

Definicja funkcji liniowej

Zadania generatorowe