Wzór na objętość stożka

Przykład 1

Walec i stożek mają taki sam promień podstawy i taką samą wysokość.
Zaobserwuj, jak zmienia się stosunek objętości stożka do objętości walca wraz ze zmianą wysokości brył.

Ważne!

Objętość stożka o wysokości H i promieniu podstawy r wyraża się wzorem

V=13πr2H
Przykład 2

Oblicz objętość stożka, którego wysokość jest równa 36 cm, a promień podstawy 4 cm.
Do wzoru na objętość stożka

V=13πr2H

podstawiamy:

H=36 cm,= 4 cm.
V=13π4236
V=192π cm2

Objętość stożka jest równa 192π cm2.

Przykład 3

Ile porcji lodów można otrzymać z 1 l masy lodowej?

Obliczymy objętość masy lodowej potrzebnej do wykonania jednej porcji lodów, czyli objętość dwóch stożków o wspólnej podstawie. Wysokość jednego z tych stożków jest równa 10 cm, a drugiego 8 cm. Promień podstawy każdego ze stożków jest równy 6 cm: 2= 3 cm.

V=13π3210+13π328
V=30π+24π=54π
V543,14=169,56
V169,56 cm3

Na wykonanie jednej porcji lodów potrzeba około 169,56 cm3 masy lodowej.
Obliczamy teraz, ile lodów można otrzymać z 1 l masy lodowej.
Ponieważ 1 l =1000 ml, a 1 ml = 1 cm3, zatem 1= 1000 cm3.

1000:169,565,89

1 l masy lodowej można wykonać 5 lodów.

Obliczanie objętości stożka

Przykład 4

Świeca wykonana z wosku o gęstości 0,9 g/cm3 ma masę 0,231 kg. Świeca ma kształt stożka o średnicy podstawy równej 70 mm. W czasie godziny wysokość palącej się świecy zmniejsza się przeciętnie o 1 cm. Świecę zapalono o godzinie 20.00. O której godzinie zgaśnie ta świeca?
Przyjmij π=227.
Gęstość wosku podana jest w g/cm3. Średnicę świecy zapiszemy więc w centymetrach, a jej masę w gramach, aby ujednolicić jednostki.

70 mm = 7 cm
0,231 kg = 231 g

Oznaczmy:
H – wysokość świecy.
Objętość V stożka, w kształcie którego jest świeca, jest równa

V=13π722H

Stąd

V=13227494H=776H
V=776Hcm3

Zapisujemy równość wynikającą z tego, że masa substancji to iloczyn zajmowanej przez nią objętości przez gęstość tej substancji.

0,9776H=231

Z zapisanej równości wyznaczamy wysokość świecy.

910776H=231
23120H=231/:23120
H=20 cm

W czasie godziny wysokość świecy zmniejsza się o 1 cm, czyli świeca będzie paliła się 20 godzin.
Świecę zapalono o godzinie 20.00, do północy paliła się więc 4 godziny i 16 godzin po północy.
Świeca zgaśnie o godzinie 16.00 następnego dnia.

Przykład 5

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt, którego tworząca jest równa 12 dm. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 48π5 dm2. Oblicz objętość stożka.

Aby obliczyć objętość stożka, należy najpierw znaleźć wysokość stożka i promień jego podstawy.
Promień r podstawy stożka znajdujemy, korzystając z tego, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe 48π5 dm2.

πr12=48π5
r=45 dm

Zauważmy, że wysokość stożka jest zarazem wysokością jego przekroju osiowego. Zatem trójkąt, którego boki mają długości H,r,12 (jak na rysunku), jest prostokątny.
Zapisujemy dla tego trójkąta równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy wysokość stożka.

H2+r2=122
H2+452=144
H2+80=144
H2=144-80
H=64
H=8 dm

Obliczamy objętość stożka.

V=13π8452
V=13π880
V=21313π cm3

Objętość stożka jest równa 21313π cm3.

Przykład 6

Element ma kształt walca, na którym umieszczony jest stożek.
Przekrojem osiowym tego walca jest kwadrat o polu 9 m2. Objętość całej bryły wynosi 25,905 m2. Oblicz, ile puszek farby należy zakupić, aby pomalować cały element, jeżeli zawartość jednej puszki wystarcza na pomalowanie 5m2 powierzchni. Przyjmij π=3,14.
Oznaczmy

  • r - promień podstawy walca,

  • H - wysokość walca,

  • h – wysokość stożka,

  • l- długość tworzącej stożka.

  • Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o polu 9 m2. Wynika z tego, że długość boku tego kwadratu jest równa 9 cm, czyli 3 cm. Wysokość walca H jest więc równa 3 m, a promień jego podstawy = 3 m : 2 = 1,5 m. Objętość elementu jest równa sumie objętości walca i stożka.

πr2H+13πr2h=25,905
  • Dla ułatwienia obliczeń wyłączamy z obu składników wspólne czynniki poza nawias.

πr2H+13h=25,905
3,141,523+13h=25,905
7,0653+13h=25,905/ : 3,14
2,259+h3=8,25
0,759+h=8,25/: 0,75
9+h=11
h=2 m
  • Teraz , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość tworzącej stożka.

l2=h2+r2
l=22+1,52=6,25=2,5
l=2,5 cm
  • Obliczamy pole P powierzchni całkowitej elementu, czyli sumę pola koła (podstawy bryły), pola powierzchni bocznej walca i pola powierzchni bocznej stożka.

P=πr2+2πrH+πrl
P=πrr+2H+l
P=3,141,51,5+23+2,5
P=4,7110=47,1
P=47,1 m2
  • Jedna puszka farby wystarcza na pomalowanie 5 m2 powierzchni. Ponieważ 47,1:5=9,42 , zatem należy kupić 10 puszek farby.

Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3

Karnisz składa się z trzech elementów. Dwa elementy są jednakowe i każdy z nich ma kształt stożka o średnicy podstawy 120 mm i wysokości 8 cm. Trzeci element ma kształt walca o wysokości 2 m i średnicy podstawy 60 mm. Oblicz, ile cm3 aluminium zużyto na wykonanie karnisza. Przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 4

Powierzchnia boczna elementu składającego się ze stożka i walca (jak na rysunku) jest równa 135π. Promień podstawy walca jest równy 5, a tworząca stożka 13. Oblicz objętość elementu.

Ćwiczenie 5
Ćwiczenie 6

Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy, dzieląc wysokość stożka w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka. Wysokość stożka wynosi 15 cm, a jego objętość 45π cm3.
Oblicz objętość większej z tak otrzymanych brył (czyli stożka ściętego).
Oblicz pole powierzchni mniejszej z tak otrzymanych brył.

Ćwiczenie 7

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 4 cm3 cm , jeden wokół krótszej przyprostokątnej, a drugi wokół dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętości otrzymanych stożków. Jaki jest ich stosunek?

Ćwiczenie 8

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości a cmb cm.  Jeden wokół jednej przyprostokątnej, a drugi wokół drugiej przyprostokątnej. Oblicz stosunek objętości otrzymanych stożków.

Ćwiczenie 9

Obracamy dwa przystające trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 2 cm .  Pierwszy wokół jednej przyprostokątnej, a drugi wokół drugiej przyprostokątnej. Otrzymane w ten sposób bryły mają równe objętości. Oblicz długości przyprostokątnych tych trójkątów.

Ćwiczenie 10

Dwa stożki są podobne w skali k. Oblicz stosunek objętości tych stożków.

Ćwiczenie 11

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 23.
Oblicz objętość stożka powstałego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół jego wysokości.

Ćwiczenie 12

Oblicz objętość stożka powstałego w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego o podstawie długości 6 cm i ramieniu długości 5 cm wokół jego wysokości poprowadzonej do podstawy.

Ćwiczenie 13

Jak zmieni się objętość stożka, gdy jego wysokość zwiększymy dwukrotnie, a promień zmniejszymy dwukrotnie?

Ćwiczenie 14

Tworząca stożka długości 5 cm jest nachylona do podstawy stożka pod kątem 45°. Oblicz objętość tego stożka.

Ćwiczenie 15

Tworząca stożka ma długość 10 cm, a kąt rozwarcia stożka ma miarę 60°. Oblicz objętość tego stożka.

Ćwiczenie 16

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu

  1. trójkąta równoramiennego wokół jego podstawy

  2. kwadratu wokół jego przekątnej

Ćwiczenie 17

Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu rombu o przekątnych 12 cm16 cm wokół jego krótszej przekątnej.

Ćwiczenie 18
Ćwiczenie 19

Przyprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego ma długość 2 cm.
Oblicz objętość stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

Ćwiczenie 20

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie ma kształt wycinka kołowego o promieniu 4 cm, opartego na kącie środkowym o mierze 120°. Oblicz objętość tego stożka.