W naszym otoczeniu często spotykamy duże liczby. Ceny niektórych produktów zapisane są za pomocą liczb wielocyfrowych – rower kosztuje ponad 400 zł, a komputer około 4000 zł. Podróżując, pokonujemy duże odległości. Z Warszawy do Paryża jest 1400 km, a do Nowego Jorku 6900 km. Dzięki umiejętności liczenia na dużych liczbach wiemy, że komputer jest droższy od roweru 10 razy, a Paryż jest o 5500 km bliżej Warszawy niż Nowy Jork.

Do rachunków na takich liczbach nie zawsze potrzebujemy kalkulatora, niektóre można wykonać w pamięci. Jeśli umiemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić pamięciowo małe liczby, to powinniśmy poradzić sobie także z działaniami na niektórych większych liczbach.

Przykład 1
Przykład 2

Jeśli wiemy, że 2+ 7=9, to dodawanie liczb 2070 sprowadza się do dodania 27 oraz dopisania do wyniku, czyli 9, zera.

Analogicznie dodajemy 200700. Znów dodajemy 27 i dopisujemy do wyniku, czyli 9, dwa zera. Dodając 2 0007 000 postępujemy tak samo. Dodajemy 27, a do wyniku dopisujemy trzy zera.
Większe liczby dodajemy podobnie.

Przykład 3

Podobnie jak w poprzednim przykładzie dodajemy większe liczby.

Przykład 4
Przykład 5
Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3
Ciekawostka

Wiadomo, że

12+21=33=3 11
123+321=444=4 111
234+432=666=6 111
123456+654321=777777=7111111

Zastanów się, jakich liczb dotyczy ta zależność. Czy wszystkich? A może składniki sum coś łączy? Podaj kilka kolejnych przykładów.

Jeśli potrafimy mnożyć w pamięci liczby w zakresie 100, to poradzimy sobie również z mnożeniem niektórych dużych liczb.
Najłatwiej mnożyć liczby przez 10, 100, 1000, 10 000 itd.

Ćwiczenie 4

Wykonaj wskazane w tabeli mnożenia, używając kalkulatora i wpisz wyniki do tabeli.

Tabela. Dane
3
7
13
45
72
105
238
10
             
100
             
1000
             
Zapamiętaj!
  • Aby pomnożyć liczbę przez 10, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu jedno zero.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 100, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu dwa zera.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 1000, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu trzy zera.

  • Aby pomnożyć liczbę przez 10000, wystarczy do tej liczby dopisać na jej końcu cztery zera.

Przykład 6

Jak pomnożyć daną liczbę przez 20, 30, 40, 50, … lub przez 200, 300, 400, 500, … ? Czy jest to równie proste?

Przykład 7
Ważne!

Jeśli mnożymy liczby, które są zakończone zerami, to

  • mnożymy liczby, które zostaną po odrzuceniu zer,

  • do otrzymanego wyniku dopisujemy tyle zer, ile łącznie odrzuciliśmy.

Ćwiczenie 5
Przykład 8

Dzielenie i mnożenie są działaniami wzajemnie odwrotnymi, stąd

  • 13 · 10 = 130, zatem 130 : 10 = 13

  • 50 · 10 = 500, zatem 500 : 10 = 50

  • 2700 · 10 = 27 000, zatem 2 7000 : 10 = 2700

  • 4000 · 10 = 40 000, zatem 40 000 : 10 = 4000

Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym różnią się zapisy tych liczb?

Ważne!

Jeżeli dzielimy przez 10 liczbę zakończoną zerem (lub zerami), to jako wynik zapisujemy dzielną bez jednego zera na końcu.

Przykład 9

Dzielenie przez 100 możemy zastąpić dwukrotnym dzieleniem przez 10.

  • 4500 : 100 = 4500 : 10 : 10=450 : 10 = 45, czyli 4500 : 100 = 45

  • 6000 : 100 = 6000 : 10 : 10=600 : 10 = 60, czyli 6000 : 100 = 60

  • 970 000 : 100 = 970 000 : 10 : 10= 970000 : 10 = 9700, czyli 970 000 : 100 = 9700

Porównaj zapis dzielnej i ilorazu. Czym teraz różnią się zapisy tych liczb?

Ważne!
  • Jeżeli dzielimy przez 100 liczbę zakończoną zerami, to jako wynik zapisujemy dzielną z opuszczonymi na końcu dwoma zerami.

  • Podobnie zapisujemy wynik dzielenia przez 1000, 10000, 100000 …. Wynikiem jest odpowiednio dzielna bez trzech, czterech, pięciu, … zer na końcu.

Przykład 10
Przykład 11

Przyjrzyj się poniższym przykładom, w których pokazano, jak można ułatwić dzieleniem, gdy w dzielnej i dzielniku jest inna liczba zer.

  • 2400 : 8 = 300

  • 1800 : 20 = 180 : 2 = 90

  • 5 600 000 : 28 000 = 5600 : 28 = 200

Ćwiczenie 6
Ćwiczenie 7
Ćwiczenie 8
Ćwiczenie 9
Ćwiczenie 10
Ćwiczenie 11
Ciekawostka

Łatwo możemy pomnożyć w pamięci dwie liczby dwucyfrowe trochę mniejsze od 100, na przykład 9695.
Aby wykonać takie działanie, musimy najpierw znaleźć liczby, które są dopełnieniami czynników do 100, czyli w przypadku 96 jest to 4 (tyle brakuje do 100), a w przypadku 95 jest to 5 (tyle brakuje do 100).
Mamy następującą sytuację:

964 955=

Zaczynamy zapisywać wynik tego mnożenia.

  • Odejmujemy od dowolnego czynnika liczbę, która jest dopełnieniem drugiego czynnika. Otrzymujemy liczbę 91(96  5 lub 95  4), która jest początkiem wyniku mnożenia.

  • Następnie do tej liczby dopisujemy iloczyn liczb, które są dopełnieniami, czyli 204 5. Gdy iloczyn dopełnień jest liczbą jednocyfrową , poprzedzamy go cyfrą 0.

964 955=9120

W ten sposób można wprawdzie mnożyć dowolne liczby dwucyfrowe, ale gdy są one znacznie mniejsze niż 100, to rachunki pamięciowe są uciążliwe.
Spróbuj pomnożyć w ten sposób inne liczby.