Przykład 1

Zaobserwuj, jaką bryłę otrzymujemy w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. W kształcie jakiej figury jest podstawa bryły? Ile ma wierzchołków?

W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych, otrzymujemy bryłę, zwaną stożkiem.

Prosta ta jest osią obrotu stożka. Jest to również oś symetrii stożka. Podstawą stożka jest koło. Wysokość H stożka jest równa przyprostokątnej, wokół której obracaliśmy trójkąt, a promień r podstawy jest równy drugiej z przyprostokątnych. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny, na której leży podstawa stożka, a więc i do każdego z promieni podstawy.
Wierzchołek obracanego trójkąta nieleżący na podstawie to wierzchołek stożka.
Przeciwprostokątna obracanego trójkąta zakreśliła powierzchnię boczną stożka. Jest ona tworzącą stożka. Tworzącą stożka jest zatem każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem leżącym na okręgu będącym brzegiem podstawy.

Przykład 2

Na oklejenie kartonowej czapeczki w kształcie stożka zużyto 44 cm niebieskiej taśmy.
Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od średnicy podstawy. Oblicz tę wysokość. Przyjmij

π=227

Z treści zadania wynika, że obwód okręgu, będącego brzegiem podstawy stożka, w kształcie którego jest czapeczka, jest równy 44 cm.
Obliczmy promień r tego okręgu.

2πr=44
2227r=44
r=7 cm

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia, czyli wynosi

37 cm = 21 cm
Przykład 3

W trójkącie równoramiennym ABC kąt ACB między ramionami ma miarę 120°, a ramię BC ma długość 10 dm.
Trójkąt ten obrócono wokół prostej, na której leży wysokość CD. Oblicz średnicę podstawy tak utworzonego stożka i jego wysokość.

Kąt BCD jest połową kąta ACB, ma zatem miarę 60°.
Trójkąt BCD jest więc trójkątem prostokątnym, w którym jeden z kątów ostrych ma miarę 60°. Z własności takiego trójkąta wynika, że

CD=12BC=1210=5
BD=12103=53

Zatem wysokość stożka jest równa 5 dm, a średnica podstawy ma długość

253 dm=103 dm

Przekroje stożka

Przykład 4

Przyjrzyj się przekrojom stożka. Jaki kształt ma przekrój osiowy? Jaki kształt ma przekrój poprzeczny?
Dowiedz się, jak nazywa się figura otrzymana w wyniku przekroju stożka płaszczyzną, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do podstawy.

Ważne!

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Podstawa tego trójkąta jest równa średnicy podstawy stożka, ramię jest równe tworzącej, a wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest równa wysokości stożka.

Ważne!

Przekrój poprzeczny stożka jest kołem. Promień tego koła jest nie większy od promienia podstawy stożka.

Przykład 5

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym jeden z kątów ma miarę 160°. Znajdź miary pozostałych kątów tego trójkąta.
Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoramienny. Kąt o mierze 160° jest kątem rozwartym, zatem jest kątem między ramionami tego trójkąta. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary.
Każdy z nich jest więc równy

1800-16002=10°

Pozostałe kąty trójkąta są równe 10°, 10°.

Przykład 6

Wysokość stożka jest równa 12, a średnica podstawy ma długość 7. W odległości 5 od wierzchołka przecięto stożek płaszczyzną prostopadłą do wysokości. Oblicz pole tak utworzonego przekroju.

Oznaczmy:

  • B- wierzchołek stożka,

  • C- środek przekroju poprzecznego,

  • CD=x - promień przekroju poprzecznego,

  • SA=r - promień podstawy stożka,

  • H- wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty BCDBSA są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt‑kąt‑kąt. Istotnie: oba trójkąty są prostokątne, kąt SBA jest kątem wspólnym obu trójkątów i CDB=BSA - jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.
Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczamy promień przekroju poprzecznego.

5x=Hr
5x=1272
12x=352
x=352112
x=3524

Obliczamy pole przekroju.

P=πx2
P=35242π
P=1225π276=4121276π

Pole przekroju stożka jest równe 4121276π.

Siatka stożka

Przykład 7

Wytnij z papieru trzy koła.
Pierwsze koło przetnij na pół. Drugie przetnij wzdłuż średnic na 4 równe części. Z trzeciego wytnij dowolny wycinek koła. Zwiń wycięte figury tak, aby otrzymać „czapeczkę”.
Jaki ma kształt każda z otrzymanych „czapeczek”?

Przykład 8

Wytnij z papieru koło. Oznacz jego środek S, a promień r. Przetnij koło wzdłuż promienia i zwiń tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Zepnij tak otrzymaną powierzchnię boczną stożka.

  1. Jaka jest długość tworzącej ?

  2. Jak obliczyć promień podstawy?

  3. Który z punktów koła jest wierzchołkiem stożka?

  4. W jakim kształcie jest powierzchnia boczna stożka?

  5. Z jakich figur składa się powierzchnia całkowita stożka?

Przykład 9

Zaobserwuj, jak zmienia się powierzchnia boczna stożka, gdy zmieniamy jego wysokość.
Jaka jest długość promienia podstawy stożka, a jaka tworzącej, gdy powierzchnia boczna jest półkolem?

Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem kołowym.
Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

Ważne!

Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka .
Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła, będący powierzchnią boczną.

Przykład 10

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem, którego promień jest równy 8. Oblicz wysokość stożka.
Obliczamy najpierw promień r podstawy stożka.
Długość półokręgu jest równa połowie obwodu koła o promieniu 8. Długość ta jest zarazem równa obwodowi podstawy.

2πr=2π82
r=4

Aby obliczyć wysokość H stożka, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego boki mają długości H, r, l.

H2+r2=l2
H2+42=82
H2=64-16
H2=48
H=48=163=43

Wysokość stożka jest równa 43.

Przykład 11

Podstawą stożka jest koło o promieniu r=16 cm. Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu 18. Oblicz miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.
Obliczamy obwód podstawy stożka.

L=2πr
L=2π16
L=32π cm

Oznaczmy: α - miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.
Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

LW=α36002π18
LW=α100π cm

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy α.

32π=α100π
α=320°

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa 320°.

Pole powierzchni stożka

Przykład 12

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, która po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu l. Promień podstawy tego stożka jest równy r.
Pole powierzchni bocznej Pb obliczymy jako pole wycinka koła. Niech α będzie kątem środkowym tego wycinka. Wtedy

Pb=α3600πl2

Zapisujemy i przekształcamy równość wynikającą z tego, że długość łuku okręgu wyznaczonego przez wycinek jest równa obwodowi podstawy stożka.

α36002πl=2πr
α3600l=r
α3600=rl

Stąd

Pb=α3600πl2=rlπl2=πrl

Pole powierzchni bocznej jest równe πrl.

Ważne!
Ważne!
Ważne!

Pole powierzchni całkowitej Pc stożka o promieniu podstawy r i tworzącej l jest równe

Pc=Pb+Pp

gdzie Pb - pole powierzchni bocznej, Pp - pole podstawy.
Ponieważ Pb=πrl, Pp=πr2, stąd

Pc=πrl+πr2
Przykład 13

Oblicz, ile dm2 szkła zużyto na wykonanie klosza do lampy, który ma kształt stożka o wysokości 400 mm i promieniu podstawy 90 mm.

Aby obliczyć ile dm2 szkła użyto, obliczymy pole ;powierzchni bocznej stożka, w kształcie którego jest klosz.
Pb=πrl, gdzie r=90 mm
Najpierw jednak , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długość tworzącej odpowiedniego stożka.

l2=4002+902
l2=160000+8100
l2=168100
l=410 mm

Zapisujemy wymiary stożka w decymetrach.

r=90 mm = 0,9 dm
l=410 mm = 4,1 dm

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

P=π0,94,1
P=3,69 dm2

Na wykonanie klosza potrzeba 3,69 dm2 szkła.

Przykład 14

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości 4,2 cm i promieniu podstawy 2 cm.
Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy jako sumę pola powierzchni bocznej i pola podstawy.

Pc=Pb+Pp
Pc=π24,2+π22
Pc=8,4π+4π
Pc=12,4π cm2

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 12,4 cm2.

Przykład 15

Pole przekroju osiowego stożka jest równe 660. Pole podstawy wynosi 121π. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Pole podstawy stożka wynosi 121π, zatem promień podstawy stożka jest równy 121=11.

Pole przekroju osiowego to połowa iloczynu wysokości stożka i średnicy jego podstawy. Wiedząc, że pole to jest równe 660, a średnica 211=22, można obliczyć wysokość stożka.

H=60

Teraz musimy jeszcze wyznaczyć długość tworzącej – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

l2=H2+r2
l2=602+112
l2=3721
l=61

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

Pb=πrl
Pb=π1161
Pb=671

Pole powierzchni bocznej stożka jest równy 671.

Przykład 16

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym 72°C i promieniu 15 dm.
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka, jako pole wycinka koła .

Pb=7203600π152
Pb=15π225
Pb=45π

Teraz wyznaczamy promień r podstawy stożka.

2πr=72036002π15
r=1515
r=3 dm

Obliczamy pole podstawy.

Pp=π32=9π

Dodajemy wyznaczone wartości , obliczając pole powierzchni całkowitej stożka.

Pc=Pb+Pp
Pc=45π+9π=54π

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 54π dm2.

Przykład 17

Trójkąt prostokątny o bokach długości 5, 12, 13 obracamy wokół przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni tak powstałej bryły.
W wyniku obrotu trójkąta wokół przeciwprostokątnej powstała bryła składająca się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Tworzące stożków są równe przyprostokątnym trójkąta. Większy stożek ma tworzącą długości 12, a mniejszy ma tworzącą długości 5. Promienie podstaw obu stożków są równe.
Zauważmy, że promień r jest wysokością obracanego trójkąta. Jego długość obliczymy, porównując pole trójkąta obliczone dwoma sposobami.

1213r=12125
13r=60/:13
r=6013

Obliczamy pole powierzchni bryły jako sumę pól powierzchni bocznych dwóch stożków.

P=π601312+π60135
P=720π13+300π13
P=102013π
P=78613π

Pole powierzchni bryły jest równe 78613π.

Ćwiczenie 1

Podaj promień r podstawy i wysokość H stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół krótszej przyprostokątnej. W trójkącie tym

  1. długość jednej z przyprostokątnych jest równa 24, a przeciwprostokątna ma długość 25

  2. pole jest równe 60, a jedna z przyprostokątnych ma długość 15

  3. jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 9

Ćwiczenie 2

Oblicz pole powierzchni stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta

  1. równobocznego o boku długości 6 wokół prostej, na której leży jedna z wysokości trójkąta

  2. równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta między ramionami. Wysokość ta jest równa 8, a miara jednego z kątów 120°.

  3. prostokątnego równoramiennego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe 100π .

Ćwiczenie 3

Uzupełnij.
Pole powierzchni bocznej stożka, którego wysokość jest równa 12,

  1. a pole podstawy jest równe 256π, wynosi …

  2. a tworząca ma długość 13, wynosi …

  3. a przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, wynosi …

Ćwiczenie 4

Oblicz, ile dm2 srebrnego kartonu użyto na wykonanie 4 dekoracyjnych jednakowych choinek . Każda choinka ma kształt stożka o wysokości 0,5 m i promieniu podstawy 1,5 dm. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 dm2.

Ćwiczenie 5

Oblicz, ile cm2 szkła użyto na wykonanie szklanego klosza do lampki nocnej. Klosz ma kształt stożka o promieniu podstawy 3 cm i wysokości 10 cm.

Ćwiczenie 6
Ćwiczenie 7

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątna ma długość 2.
Pole podstawy stożka Wysokość stożka Długość tworzącej Pole powierzchni bocznej
Ćwiczenie 8

Średnica podstawy stożka jest równa 175, a jego wysokość 70. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy.
Średnica tak otrzymanego przekroju poprzecznego ma długość 70.
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, który otrzymano w wyniku przekroju.

Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym

  1. o polu 163 cm2

  2. o obwodzie 15 cm

Ćwiczenie 10

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 3864π, a pole podstawy 3136π. Oblicz wysokość stożka.

Ćwiczenie 11

Kąt rozwarcia stożka jest równy 120°, a tworząca jest równa 8. Oblicz obwód podstawy i wysokość stożka.

Ćwiczenie 12

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła przedstawionym na rysunku. Oblicz pole podstawy stożka.

Ćwiczenie 13

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Ćwiczenie 14

Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 100π cm. Promień podstawy stożka ma długość 5 cm. Oblicz długość tworzącej tego stożka.

Ćwiczenie 15
Ćwiczenie 16

Oceń prawdziwość zdania.
Istnieje stożek, którego pole powierzchni bocznej jest równe polu powierzchni jego podstawy. Odpowiedź uzasadnij.

Ćwiczenie 17

Oblicz pole całkowite powierzchni stożka, którego powierzchnię boczną utworzono z półkola o promieniu długości a.

Ćwiczenie 18

Koło o promieniu długości 10 cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze 60°. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków.

Ćwiczenie 19

Koło o promieniu długości a cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze α°. Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków.

Ćwiczenie 20

Tworząca stożka ma długość 20 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

Ćwiczenie 21

Kąt między tworzącą i wysokością stożka ma miarę 45°. Promień podstawy stożka ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Ćwiczenie 22

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół jego dłuższej podstawy. Oblicz powierzchnię całkowitą otrzymanej bryły, jeśli podstawy trapezu mają długości 5 cm8 cm, a wysokość trapezu ma długość 4 cm.