Podobieństwo wielokątów

Przykład 1

Rysunki przedstawiają wielokąty. W każdej parze oba wielokąty mają tę samą liczbę boków.
Określ, które z rysunków nie przedstawiają wielokątów podobnych i dlaczego.

Jeśli dwa wielokąty o tej samej liczbie boków wyraźnie różnią się kształtem, od razu możemy powiedzieć, że nie są podobne. W przeciwnym wypadku, trudno od razu stwierdzić lub wykluczyć ich podobieństwo.

Przykład 2

Zaobserwuj, jakie cechy wspólne mają wielokąty podobne.

Odpowiedź: Wielokąty podobne mają odpowiednie kąty równe.

Przykład 3

Czworokąty na rysunku są podobne.

Najdłuższy bok czworokąta ABCD to BC, a najkrótszy to DC. Najdłuższy bok wielokąta AFGH to EF, a najkrótszy to FG.
Obliczmy w obu wielokątach stosunek boku najdłuższego do najkrótszego.

BCCD=62=3
EFFG=31=3

Zauważmy, że stosunki te są równe. Obliczmy jeszcze odpowiadające sobie stosunki pozostałych boków.

ABAD=54=1,25
EHHG=2,52=1,25

W każdym przypadku stosunek dwóch boków w jednym wielokącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków w drugim wielokącie.
Zauważmy, że wielokąt EFGH jest obrazem wielokąta ABCD w skali 1: 2, zatem miary odpowiednich kątów tych wielokątów są równe.

Ważne!

W wielokątach podobnych odpowiednie boki są proporcjonalne. Odpowiednie kąty w tych wielokątach są równe.

Przykład 4

Trzy kąty czworokąta F są równe: 20°, 80°, 120°. Trzy kąty czworokąta W są równe: 120°, 80°, 130°.
Wykaż, że czworokąty te nie są podobne.
Korzystając z tego, że suma kątów czworokąta jest równa 360°, obliczymy miarę czwartego z kątów w czworokącie F i miarę czwartego kąta w czworokącie W.

360°-20°+80°+120°=140°
360°-120°+80°+130°=30°

Kąty czworokąta F są więc równe: 20°, 80°, 120°, 140°, a kąty czworokąta W: 120°, 80°, 130°, 30°.
Czworokąty mają dwa kąty o różnych miarach, nie są więc wielokątami podobnymi.

Przykład 5

Trapez prostokątny ABCD jest podobny do trapezu EFGH. Podstawy trapezu ABCD mają długości 20 cm29 cm. Wysokość tego trapezu jest równa 40 cm. Wysokość trapezu EFGH jest równa 25 cm. Oblicz obwód trapezu EFGH.

Aby obliczyć obwód trapezu EFGH, trzeba znać długości jego wszystkich boków.
Obliczmy najpierw długość x ramienia CB trapezu ABCD. Niech CM będzie wysokością trapezu ABCD poprowadzoną z wierzchołka M.
Trójkąt CMB jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

x2=402+92
x2=1681
x=1681=41

bo

x>0

Wysokość trapezu ABCD jest równa 40 cm, a trapezu EFGH jest równa 25 cm. Zatem trapez EFGH jest podobny do trapezu ABCD w skali

k=2540=58

Niech EF, FG, GH, HE będą bokami trapezu EFGH odpowiadającymi odpowiednio bokom AB, BC, CD, DA trapezu ABCD.
Obliczamy długości boków trapezu EFGH.

EF=k29
EF=5829=18,125
FG=k41
FG=5841=25,625
GH=k20
GH=5820=12,5
HE=k40
HE=5840=25

Obliczamy obwód trapezu.

L=18,125+25,625+12,5+25=81,25

Obwód trapezu jest równy 81,25 cm.

Przykład 6

Miary kątów czworokąta W są równe miarom kątów wielokąta K. Boki wielokąta W mają długości
5 cm, 15 cm, 6 cm10 cm. Boki wielokąta K mają długości 19 cm, 14 cm, 6 cm, 5 cm.
Podobieństwo czworokątów sprawdzimy dwoma sposobami.

  • sposób I

Sprawdzimy, czy stosunki długości boków w czworokącie W są równe stosunkom odpowiadających im długości boków w wielokącie K.
Zapiszmy długości boków obu wielokątów w kolejności rosnącej , uzyskamy w ten sposób w kolumnach pary odpowiadających sobie boków .

Tabela. Dane
Wielokąt W
 5 cm
 6 cm
10 cm 
15 cm
Wielokąt K
 5 cm
6 cm 
14 cm 
 19 cm 

Badamy równość odpowiednich stosunków.

65=65
15101914
106146

Nie wszystkie z zapisanych stosunków są równe, zatem choć miary ich kątów są równe, wielokąty nie są podobne.

  • sposób II

Sprawdzamy, czy boki obu czworokątów są proporcjonalne.

55=6610141519

Boki nie są proporcjonalne – czworokąty nie są podobne.

Podobieństwo wielokątów foremnych

Rysując przekątne pięciokąta foremnego, otrzymujemy wielokąt gwiaździsty, zwany pentagramem. Pentagram uważany był przez pitagorejczyków za symbol doskonałości.

Ciekawostka

Z pentagramu można otrzymać gwiazdę pięcioramienną, która występuje na flagach wielu państw.

Zastanówmy się, czy pięciokąt, w który jest wpisany pentagram, i pięciokąt, na którym zbudowane są ramiona pentagramu, to wielokąty podobne.

W każdym z tych pięciokątów miara kąta wewnętrznego wynosi 108°.
Pięciokąty te mają więc równe kąty.
Ponieważ wszystkie boki pięciokąta foremnego są równe, zatem boki większego z pięciokątów i mniejszego są proporcjonalne.
Stwierdzamy zatem, że wielokąty te są podobne.
Zauważmy, że w podobny sposób można uzasadnić podobieństwo wielokątów foremnych o tej samej liczbie boków.

Ważne!

Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.

Przykład 7

Obwód sześciokąta foremnego G jest równy 120 mm. Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta G w skali 1: 5. Oblicz długość dłuższej przekątnej sześciokąta K.
W sześciokącie G wszystkie boki są równe. Zatem długość jednego boku wynosi

120 mm : 6 = 20 mm

Sześciokąt K jest podobny do sześciokąta foremnego, jest więc również sześciokątem foremnym.
Długość jego boku wynosi

20 mm : 5= 4 mm

Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego przecinając się, tworzą trójkąty równoboczne. Przekątna zatem jest dwa razy dłuższa od boku sześciokąta .

24 mm = 8 mm

Dłuższa przekątna sześciokąta K ma długość 8 mm.

Podobieństwo prostokątów

Wiemy już, że dwa wielokąty są podobne, gdy mają równe kąty i odpowiednie ich boki są proporcjonalne.
W prostokącie każdy kąt ma miarę 90°, więc dla każdych dwóch prostokątów zawsze jest spełniony pierwszy z warunków podobieństwa.
Zatem do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarczy zbadanie proporcjonalności ich odpowiednich boków.

Przykład 8

Sprawdzimy, czy koperty o standardowych rozmiarach 114 mm na 152 mm, 110 mm na 220 mm162 mm na 229 mm są w kształcie prostokątów podobnych.

  • sposób I

Badamy, czy boki odpowiednich prostokątów są proporcjonalne.
C6DL: 114110=1,03636...,152220=0,69090...,114110152220 - prostokąty nie są podobne
C6C5: 114162=0,7037...0,7,162229=0,7074..0,7,114162162229 - można przyjąć, że prostokąty są podobne
DL i C5: 110162=0,6790...220229=0,9606....110162220229 - prostokąty nie są podobne

  • sposób II

Obliczymy w każdym z prostokątów, odpowiadających kopertom, stosunek szerokości do długości.

C6:114162=0,7037...0,7
DL:110220=0,5
C5:162229=0,7074....0,7

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń możemy przyjąć, że jedynie koperty o symbolach C6C5 są w kształcie prostokątów podobnych.

Przykład 9

Wykaż, że jeżeli dwa prostokąty są podobne w skali k, to stosunek ich obwodów jest równy k.
Rozważmy prostokąt ABCD o bokach długości ab oraz prostokąt EFGH podobny do niego w skali k.
Wówczas prostokąt EFGH ma boki długości kakb.

Obliczamy obwody prostokątów.

LABCD=2a+b
LEFGH=2ka+kb=2ka+b

Obliczamy stosunek obwodów prostokątów EFGHABCD.

LEFGHLABCD=2ka+b2a+b=k

Stosunek obwodów prostokątów jest równy skali podobieństwa k, co należało wykazać.

Ciekawostka

Narysujmy prostokąt o bokach a, b. Do dłuższego boku dobudujmy kwadrat.

Powstał w ten sposób prostokąt o bokach a+b, b.
Jeżeli dla boków tego prostokąta spełniony jest warunek

ab=ba+b

to taki prostokąt nazywamy złotym prostokątem.

Złoty prostokąt wykorzystywany był często w architekturze antycznej, romańskiej oraz sztuce renesansu i klasycyzmu.

Ćwiczenie 1

Pięciokąt W o bokach długości 2, 6, 10,16, 20 jest podobny do wielokąta F w skali k=23.
Uzupełnij zdania.

  1. Najdłuższy bok wielokąta F jest dłuższy od boku najkrótszego o  cm.

  2. Wielokąt F ma boków.

  3. Wielokąt ma obwód większy od obwodu wielokąta

  4. Obwód wielokąta F jest równy  cm.

Ćwiczenie 2

Czworokąty ZW są podobne. Trzy kąty czworokąta Z są równe 50°, 110°, 160°. Kąty czworokąta W są zatem równe

Ćwiczenie 3

W trapezie równoramiennym ABCD podstawy mają długości 10 dm20 dm. Obwód trapezu jest równy 56 dm. Trapez ABCD zmniejszono, otrzymując trapez EFGH o wysokości 10 dm. Jaka jest skala podobieństwa trapezu EFGH do trapezu ABCD?

Ćwiczenie 4

Określ współrzędne wierzchołków wielokąta podobnego w skali 1 do wielokąta ABCD, gdy
A=0,0 
B=-3,2 
C=5,6 
D=8,0

Ćwiczenie 5

Przekątne rombu E są równe 3016. Romb M jest podobny do rombu E w skali 1: 34. Obwód rombu M jest równy

Ćwiczenie 6

Kąt wielokąta foremnego Z ma miarę 135°. Obwód wielokąta jest równy 20. Długość boku wielokąta podobnego w skali 3 do wielokąta Z jest równa

Ćwiczenie 7

Do stwierdzenia podobieństwa prostokątów wystarcza równość ich

Ćwiczenie 8

Prostokąty podobne to prostokąty o wymiarach

Ćwiczenie 9

Prostokąt A jest podobny do prostokąta B w skali 1: 4. Długość dłuższego boku A jest równa 7. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta B.

Ćwiczenie 10

Prostokąty MG są podobne. Obwód prostokąta M jest równy 27 cm. Długość prostokąta G jest równa 5 cm, a szerokość 4 cm. Oblicz skalę podobieństwa prostokąta M do prostokąta G.

Ćwiczenie 11

Prostokątną fotografię o wymiarach 12 cm na 18 cm powiększono tak, że jej szerokość jest równa 21 cm. W jakiej skali powiększono fotografię?

Ćwiczenie 12

W prostokącie F przekątne przecinają się pod kątem ostrym o mierze 40°. Prostokąt E jest podobny do prostokąta F. Jaki kąt tworzy przekątna prostokąta E z dłuższym bokiem?

Ćwiczenie 13

Wskaż pary prostokątów podobnych.

Ćwiczenie 14

Wykaż, że podobne są prostokąty, w których

  1. Kąty, pod jakimi przecinają się ich przekątne, mają równe miary

  2. odpowiadające sobie kąty pomiędzy przekątnymi a bokami mają równe miary.

Ćwiczenie 15

Długości boków prostokąta ABCD są równe ab.
Oblicz obwód prostokąta EFGH podobnego do prostokąta ABCD w skali k, gdy

  1. k=25, a=2, b=10

  2. k=2,  a:b=3, a=5

  3. k=112, a+b=8 

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Prostokąty KM są podobne w skali 0,2.

Ćwiczenie 17

Sprawdź, czy romby o przekątnych długości 9 dm4 dm oraz 5 dm11,25 dm są podobne.

Ćwiczenie 18

Prostokąt ABCD ma boki o długościach 1 dm oraz 2 dm.
Oblicz wymiary prostokąta A’B’C’D’ podobnego do prostokąta ABCD w skali 5.

Ćwiczenie 19

Prostokąt ABCD ma boki o długościach 1 dm oraz 2 cm.
Jaki obwód ma prostokąt podobny do prostokąta ABCD w skali 74?

Ćwiczenie 20

W jakiej skali kwadrat o boku długości 10,5 cm jest podobny do kwadratu o boku długości 13,5 cm?

Ćwiczenie 21

Prostokąty ABCDA’B’C’D’ są podobne. Prostokąt ABCD ma jeden bok długości 5 cm i przekątną długości 13 cm. Dłuższy bok prostokąta A’B’C’D’ ma długość 24 cm. Oblicz obwód prostokąta A’B’C’D’.

Ćwiczenie 22

Narysuj czworokąt A’B’C’D’ podobny w skali k=2 do czworokąta ABCD o wierzchołkach: A=(0,0), B=(-3,2), C=(5,6), D=(8,0).

Ćwiczenie 23

Narysuj czworokąt ABCD o wierzchołkach: A=(0,0), B=(-3,2), C=(5,6), D=(8,0) oraz czworokąt A’B’C’D’ o wierzchołkach: A=(1,1), B=(-2,3), C=(6,7), D=(9,1). Sprawdź, czy są one podobne.

Ćwiczenie 24

W prostokącie ABCD symetralna jednego z jego boków dzieli go na dwa prostokąty podobne do ABCD. Jaki jest stosunek długości dłuższego boku prostokąta ABCD do jego krótszego boku?

Ćwiczenie 25

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na cztery jednakowe prostokąty podobne do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?

Ćwiczenie 26

Pewien prostokąt ma tę własność, że można go rozciąć na (n>2 ) jednakowych prostokątów podobnych do niego. W jakiej skali prostokąt ten jest podobny do każdego z mniejszych prostokątów? Jaki jest stosunek długości dłuższego boku do krótszego w każdym z tych prostokątów?

Ćwiczenie 27

Półokrąg P’ jest podobny do półokręgu P w skali 2. W półokrąg P wpisano trapez ABCD o podstawach AB=10, |CD| =6. Podstawa AB jest średnicą półokręgu P. W półokrąg P’ wpisano trapez o podstawach A'B'C'D'. Podstawa A’B’ jest średnicą półokręgu P’, a trapez A’B’C’D’ jest podobny do trapezu ABCD w skali 2. Oblicz pole trapezu A’B’C’D’.