Cecha podzielności przez dwa

R1ahb9Ah4Pf5U1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

RB2uyPyaQhSqw1

Przeciągnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

123 453, 90 098, 123 452, 3 782 368 725, 145 216 547, 12 220 003, 76 767 676, 100 002, 193 782 720, 767 676 761, 1 265 688, 4 521 654, 1 222 000, 12 656 881, 546 537 376, 1 000 027, 5 465 283 763, 900 989, 10 000, 10 000 001

liczby podzielne przez 2
liczby niepodzielne przez 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Liczba jest podzielna przez $2$ wtedy i tylko wtedy, jeśli w rzędzie jedności ma jedną z cyfr: $0, 2, 4, 6$ lub $8 .$ Można to udowodnić dla wszystkich liczb naturalnych.

R18QbKCSoHESG

Ćwiczenie 2

Przeciągnij i upuść.

Liczby podzielne przez $2$ mogą mieć rząd jedności
Liczby niepodzielne przez $2$ mogą mieć rząd jedności

Ćwiczenie 3

Wypisz pięć kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez $2$ , większych od $676$ , a mniejszych od $690$ , aby ich suma była największa.

$680, 682, 684, 686, 688$

Ćwiczenie 4

Z cyfr $1, 3, 6, 4$ ułóż pięć trzycyfrowych liczb podzielnych przez $2$ i pięć trzycyfrowych liczb niepodzielnych przez $2$ . Cyfry w liczbach nie mogą się powtarzać. Zapisz te liczby.

podzielne przez $2$ : $134,136, 146, 164, 314, 316, 346, 364, 416, 436, 614, 634,$
niepodzielne przez $2$ : $143, 163, 341, 361, 413, 431, 461, 463, 613, 631, 641, 643$

imEkmbyaFX_d5e182

Cecha podzielności przez pięć

Ćwiczenie 5

Mając do dyspozycji wyłącznie monety o nominale $5 zł$ , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę. Czy zawsze możesz uzyskać podaną kwotę?

Tabela. Dane
Kwota	Liczba monet
$20 zł$
$48 zł$
$75 zł$
$65 zł$
$40 zł$
$103 zł$
$246 zł$
$105 zł$


Kwota	Liczba monet
$20 zł$	$4$
$48 zł$	nie da się
$75 zł$	$15$
$65 zł$	$13$
$40 zł$	$8$
$103 zł$	nie da się
$246 zł$	nie da się
$105 zł$	$21$

Ćwiczenie 6

Uzupełnij brakującą cyfrę, tak aby utworzona liczba była podzielna przez $5$ .

$985 \dots$
$458 \dots$
$789 \dots$
$12340 \dots$

Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy w rzędzie jedności ma jedną z cyfr: $0$ lub $5$ .

Ćwiczenie 7

Zapisz

najmniejszą liczbę dwucyfrową podzielną przez $5$
największą liczbę dwucyfrową podzielną przez $5$
wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez $5$ , większe od $30$ , a mniejsze od $90$
wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne jednocześnie przez $5$ i przez $2$

$10$
$95$
$35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85$
$10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$

Cecha podzielności przez dziesięć

Ćwiczenie 8

Mając do dyspozycji wyłącznie banknoty o nominale $10 zł$ , spróbuj uzyskać potrzebną kwotę wpisując banknoty w odpowiednie miejsce tabeli. Czy zawsze możesz uzyskać daną kwotę?

Tabela. Dane
Kwota	Liczba banknotów
$40 zł$
$45 zł$
$100 zł$
$249 zł$
$200 zł$
$107 zł$
$120 zł$
$60 zł$

Tabela. Dane
Kwota	Liczba banknotów
$40 zł$	$4$
$45 zł$	nie da się
$100 zł$	$10$
$249 zł$	nie da się
$200 zł$	$20$
$107 zł$	nie da się
$120 zł$	$12$
$60 zł$	$6$

Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez $10$ wtedy i tylko wtedy, gdy cyfrą jej jedności jest $0$ .

Ćwiczenie 9

Spośród danych liczb: $36, 50, 149, 280, 390, 400, 405, 600, 580, 1 000, 1 028, 2 000, 50 000$ wypisz liczby podzielne przez $10$ .
Czy wśród tych liczb są liczby podzielne przez $100$ ? Wypisz je.
Liczba jest podzielna przez $100$ , gdy dwie ostatnie jej cyfry to …

$50, 280, 390, 400, 600, 580, 1 000, 2 000, 50 000$
$400, 600, 1 000, 2 000, 50 000$
$00$

Ćwiczenie 10

Jaką cyfrę można wpisać w miejsce kropek, żeby liczba $4567 \dots 0$ była podzielna przez daną liczbę? W każdym podpunkcie podaj, ile jest wszystkich możliwości.

przez $5$
Można wpisać cyfrę …. Jest … możliwości.
przez $10$
Można wpisać cyfrę …. Jest … możliwości.
przez $100$
Można wpisać cyfrę …. Jest … możliwości.

Np. $1, 10$ możliwości
Np. $4, 10$ możliwości
$0, 1$ możliwość

imEkmbyaFX_d5e385

Cechy podzielności przez trzy i dziewięć

Poznamy teraz cechy podzielności przez $3$ i $9$ . Tym razem nie wystarczy popatrzeć na cyfrę jedności liczby.
Na przykład:
Liczba $113$ ma na cyfrę jedności $3$ , ale

$113 : 3 = 37$ reszta $2$

Podobnie

$119 : 9 = 13$ reszta $2$

W obu przypadkach reszty są różne od zera, zatem liczba $113$ nie jest podzielna przez $3$ , a liczba $119$ nie jest podzielna przez $9$ .
Spróbujmy znaleźć cechy podzielności przez $3$ i $9$ .

classicmobile

Ćwiczenie 11

Korzystając z kalkulatora, zaznacz liczby podzielne przez $3$ .

RlrUHD9aV4TaV

$111$
$6779$
$234$
$529$
$4962$
$4573$

static

Ćwiczenie 11

Korzystając z kalkulatora, zaznacz liczby podzielne przez $3$ .

Rq2bmPl84ZZiF

$111$
$6779$
$234$
$529$
$4962$
$4573$

Ćwiczenie 12

Oblicz sumę cyfr podanej liczby.

$111$
$234$
$529$
$4573$
$6779$
$4962$

$3$
$9$
$16$
$19$
$29$
$21$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez $3$ .

R143NhmopGuQN

$226$
$102$
$131$
$414$
$800$
$444$

static

Ćwiczenie 13

Wśród liczb zapisanych poniżej wskaż te, które są podzielne przez $3$ .

R1X2ws9lvEHKP

$226$
$102$
$131$
$414$
$800$
$444$

Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez $3$ wtedy i tylko wtedy, , gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $3 .$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Korzystając z kalkulatora, sprawdź, czy podana liczba jest podzielna przez $9$ .

R14ZSUIcusj1L

$222$
$333$
$549$
$4574$
$5778$
$4962$

static

Ćwiczenie 14

Korzystając z kalkulatora, sprawdź, czy podana liczba jest podzielna przez $9$ .

R88rsog80nujV

$222$
$333$
$549$
$4574$
$5778$
$4962$

imEkmbyaFX_d5e678

Ćwiczenie 15

Oblicz sumę cyfr podanej liczby.

$222$
$333$
$549$
$4574$
$5778$
$4962$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Czy sumy cyfr są podzielne przez $9$ ?

RQQQtiomeI4uX

$222$
$333$
$549$
$4574$
$5778$
$4962$

static

Ćwiczenie 16

Czy sumy cyfr są podzielne przez $9$ ?

RcFJnsoWZ4AvC

$222$
$333$
$549$
$4574$
$5778$
$4962$

Ćwiczenie 17

RYxDsM03yGFrL1

Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

108, 0, 801, 45 003, 225, 3 468, 36, 666, 243, 144, 504, 144, 789, 11 001, 99 999, 504, 243, 225, 801, 12 345, 78, 138, 0, 4 545, 252, 123 000, 204, 96, 252, 36, 666, 108, 99 999, 4 545

liczby podzielne przez 9
liczby podzielne przez 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Liczba naturalna jest podzielna przez $9$ wtedy i tylko wtedy, , gdy suma jej cyfr jest podzielna przez $9 .$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R50yQu4Fxg9ju

Każda liczba podzielna przez $9$ jest również podzielna przez $3$ .
Każda liczba podzielna przez $3$ jest również podzielna przez $9$ .
Każda liczba nieparzysta jest podzielna przez $3$ .
Liczba jest podzielna przez $9$ , gdy suma jej cyfry jedności i cyfry dziesiątek jest równa $9$ .

static

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1KELDYCCDWg1

Każda liczba podzielna przez $9$ jest również podzielna przez $3$ .
Każda liczba podzielna przez $3$ jest również podzielna przez $9$ .
Każda liczba nieparzysta jest podzielna przez $3$ .
Liczba jest podzielna przez $9$ , gdy suma jej cyfry jedności i cyfry dziesiątek jest równa $9$ .

Wielokrotności i dzielniki liczb naturalnych

Liczby pierwsze i liczby złożone

Cechy podzielności liczb

Cecha podzielności przez dwa

Cecha podzielności przez pięć

Cecha podzielności przez dziesięć

Cechy podzielności przez trzy i dziewięć