Zapisz iloczyn w postaci sumy.

1. $\left(3a+2\right)\left(3a+2\right)$

2. $\left(2+4x\right)\left(2+4x\right)$

3. $\left(x+y\right)\left(x+y\right)$

Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania.

1. $\left(3a+2\right)\left(3a+2\right)={\left(3a\right)}^2+6a+6a+4=9a^2+12a+4$

2. $\left(2+4x\right)\left(2+4x\right)=4+8x+8x+16x^2=4+16x+16x^2$

3. $\left(x+y\right)\left(x+y\right)=x^2+\mathrm{xy}+\mathrm{xy}+y^2=x^2+2\mathrm{xy}+y^2$

Iloczyn dwóch takich samych wyrażeń to inaczej kwadrat danego wyrażenia.

RqiV3kPgaMlUg1

Animacja

Animacja

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Graficznie można ten wzór zilustrować, obliczając pole kwadratu o boku $a+b$.

RKtR1n431Kiqq1

Animacja przedstawia kwadrat o boku a +b. Kwadrat zbudowany jest z: kwadratu o boku a, kwadratu o boku b oraz dwóch prostokątów o bokach a, b. Pole kwadratu o boku a +b jest równe sumie pól figur, na które został podzielony. Zapis: (a +b) do kwadratu = a kwadrat + 2a razy b + b kwadrat. Jest to interpretacja graficzna kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

Animacja przedstawia kwadrat o boku a +b. Kwadrat zbudowany jest z: kwadratu o boku a, kwadratu o boku b oraz dwóch prostokątów o bokach a, b. Pole kwadratu o boku a +b jest równe sumie pól figur, na które został podzielony. Zapis: (a +b) do kwadratu = a kwadrat + 2a razy b + b kwadrat. Jest to interpretacja graficzna kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DiDjdo3UG

Oblicz.

1. ${\left(a-3\right)}^2$

2. ${\left(4x-1\right)}^2$

3. ${\left(x-y\right)}^2$

Różnicę dwóch wyrażeń zapisujemy w postaci sumy i korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy. Otrzymamy wtedy

1. ${\left(a-3\right)}^2={\left(a+\left(-3\right)\right)}^2=a^2+2\bullet \left(-3\right)\bullet a+{\left(-3\right)}^2=a^2-6a+9$

2. ${\left(4x-1\right)}^2={\left(4x+\left(-1\right)\right)}^2={\left(4x\right)}^2+2\bullet \left(-1\right)\bullet 4x+{\left(-1\right)}^2=16x^2-8x+1$

3. ${\left(x-y\right)}^2={{\left(x+\left(-y\right)\right)}^2=x}^2+2\bullet x\bullet \left(-y\right)+{\left(-y\right)}^2=x^2-2\mathrm{xy}+y^2$

Otrzymujemy wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

1. $\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)$

2. $\left(2a-4\right)\left(2a+4\right)$

3. $\left(x+y\right)\left(x-y\right)$

Korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy

1. $\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)=9x^2-3x+3x-1=9x^2-1$

2. $\left(2a-4\right)\left(2a+4\right)=4a^2-8a+8a-16=4a^2-16$

3. $\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-\mathrm{xy}+\mathrm{xy}-y^2=x^2-y^2$

Zauważmy, że po pomnożeniu sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, otrzymamy różnicę kwadratów tych wyrażeń:

R3d4ueDsUTOXZ1

Animacja

Animacja

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja

Ten wzór możemy zilustrować graficznie, porównując pola sześciokąta i prostokąta.

R1GpiETbUJwpc1

Animacja przedstawia kwadrat o boku długości x. Pole kwadratu o boku x jest równe x kwadrat. Przesuwając jeden z wierzchołków kwadratu wzdłuż boku zmniejszamy długość boku kwadratu o y. Otrzymujemy zależność x kwadrat – y kwadrat = (x +y) razy (x –y). Jest to interpretacja graficzna różnicy kwadratów dwóch wyrażeń.

Animacja przedstawia kwadrat o boku długości x. Pole kwadratu o boku x jest równe x kwadrat. Przesuwając jeden z wierzchołków kwadratu wzdłuż boku zmniejszamy długość boku kwadratu o y. Otrzymujemy zależność x kwadrat – y kwadrat = (x +y) razy (x –y). Jest to interpretacja graficzna różnicy kwadratów dwóch wyrażeń.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DiDjdo3UG