Przykład 1

Właściciel dwóch sklepów z odzieżą, położonych w różnych miejscach miasta, próbuje ustalić, które bluzki sprzedają się najlepiej w każdym z jego sklepów, przy czym bierze pod uwagę jedynie cenę bluzki. Chce w ten sposób ustalić, jaki towar powinien zamówić. Zanotował, że podczas ostatniego dnia w pierwszym sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): 10 zł,80 zł,20 zł,20 zł,90 zł,10 zł,90 zł,80 zł. W tym samym czasie w drugim sklepie sprzedano kolejno bluzki w cenach (zaokrąglonych do pełnych dziesiątek złotych): 50 zł,50 zł,40 zł,60 zł,50 zł,40 zł,60 zł,50 zł,50 zł,50 zł.
Ceny te, po uporządkowaniu w kolejności niemalejącej, zapisał w następującej tabeli:

Tabela. Dane
1 sklep
10 zł
10 zł
20 zł
20 zł
80 zł
80 zł
90 zł
90 zł
   
2 sklep
40 zł
40 zł
50 zł
50 zł
50 zł
50 zł
50 zł
50 zł
60 zł
60 zł

Zauważmy, że średnia cena zakupionej bluzki oraz mediana są takie same w obu sklepach.
W pierwszym sklepie

x-=10+10+20+20+80+80+90+908=4008=50

oraz mediana jest równa

20+802=50.

W drugim sklepie

x-=40+40+50+50+50+50+50+50+60+6010=50010=50

oraz mediana jest równa

50+502=50.

Na podstawie tych danych można wysnuć wnioski, że w obu sklepach sprzedaż wygląda podobnie.
Zilustrujmy jednak te dane na wykresach.

Na pierwszym wykresie dane znajdują się w sporej odległości od średniej x=50, na drugim skupiają się wokół niej. W pierwszym zestawie danych są kwoty bardzo małe i bardzo duże w stosunku do średniej. Może to oznaczać, że do sklepu przychodzą zarówno zamożni klienci, jak i wydający na ubrania minimum pieniędzy. W drugim sklepie większość danych jest bliska średniej i medianie. Może to oznaczać, że klienci drugiego sklepu to ludzie średnio zamożni, którzy wybierają towar przeciętny, nie za drogi i nie za tani.
Właściciel sklepów przeprowadził podobne badanie przez kilka kolejnych dni i wnioski powtarzały się. Zdecydował się więc do pierwszego sklepu zamówić bluzki bardzo tanie i droższe, zaś do drugiego takie, których cena jest bliska 50 zł.

Przykład 2

Pewna firma zajmuje się prowadzeniem szkoleń. Po każdym ze szkoleń uczestnicy oceniają trenera prowadzącego szkolenie. Ocena ta jest liczbą całkowitą od 1 (najniższa ocena) do 10. Jedno ze szkoleń, w którym wzięło udział 20 uczestników, prowadzone było przez dwóch trenerów. Na poniższym wykresie przedstawiono otrzymane przez nich oceny.

Obliczmy średnią ocenę, jaką otrzymał każdy z trenerów.
Trener 1: x1-=12+22+31+42+71+82+95+10520=13520=6,75.
Trener 2: x2-=68+79+8320=13520=6,75.
Średnie oceny są takie same. Wykres natomiast wskazuje na inne rozkłady poszczególnych ocen jednostkowych. Trener 1 otrzymał oceny prawie z całej skali. Są one rozproszone w stosunku do oceny średniej, a więc część uczestników szkolenia oceniła go bardzo wysoko, a część bardzo nisko. Trener 2 otrzymał jedynie oceny 6, 78, a więc skupione wokół średniej. Może nie jest idealny (nie otrzymał 10), ale ludziom się na ogół podobał i nie wzbudzał negatywnych odczuć.
Oczywiście, jeżeli zestaw danych jest większy to trudniej zaobserwować jego strukturę. Podobnie jak w przypadku tendencji centralnej, tak i w tym przypadku posłużymy się pewnymi statystykami. Do oceny koncentracji badanych danych służą miary rozproszenia. Najprostszą miarą rozproszenia jest rozstęp, czyli różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością.

R=xmax-xmin

Dużą zaletą tej charakterystyki jest łatwość jej wyznaczania. Jednak nie informuje nas ona, jak w przedziale xmin, xmax o długości R są rozłożone poszczególne dane. Czy np. są skupione wokół jednego punktu, czy rozrzucone w tym przedziale. Rozstęp mówi tylko o tym, jaką długość ma najkrótszy przedział zawierający wszystkie dane.

Przykład 3

Obliczmy rozstęp dla każdej z wielkości występujących w poprzednich dwóch przykładach.
Dla pierwszego sklepu R=90-10=80, a dla drugiego R=60-40=20. Zauważymy więc, że różnica w cenie najdroższej i najtańszej bluzki w pierwszym sklepie wynosi 80 zł, zaś w drugim 20 zł, czyli jest cztery razy mniejsza. Zatem w drugim sklepie ceny są bardziej skupione.
W drugim przykładzie dla pierwszego trenera R=10-1=9, a dla drugiego R=8-6=2. Tutaj także rozstęp wyników drugiego trenera jest mniejszy niż pierwszego.
Najczęściej jednak potrzebujemy dokładniejszej analizy rozproszenia danych. Zauważmy, że dla tego samego rozstępu dane mogą układać się bardzo różnie. Na przykład rozstąp w zestawie danych: 1 ,3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,5 jest równy 4 i jest taki sam, jak w zestawie: 1,1,2,2,3,4,4,5,5. Jednak w pierwszym zestawie, poza danymi skrajnymi, występuje wielokrotnie ta sama wartość 3, a w drugim zestawie występują wszystkie wartości całkowite od 1 do 5 i prawie każda tak samo często. Spróbujemy skonstruować taki wskaźnik, który pozwoli nam odróżnić te dwie sytuacje.
Zajmiemy się więc badaniem odległości każdej danej od średniej. Przypomnijmy, że odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej to wartość bezwzględna różnicy tych liczb. Zatem odchylenie liczby xi od średniej x-, to

xi-x-.

Obliczmy odchylenia średnich cen bluzek z przykładu pierwszego w każdym z dwóch sklepów. Wyniki zapiszmy w tabeli.

Tabela. Dane
I sklep   II sklep
Cena bluzki xi Odchylenie od średniej xi-x-=xi-50 Cena bluzki xi Odchylenie od średniej xi-x-=xi-50
10 40
40
10
10 40
40
10
20 30
50
0
20 30
50
0
80 30
50
0
80 30
50
0
90 40
60
10
90 40
60
10

Obliczmy teraz średnią arytmetyczną znalezionych odchyleń w każdym ze sklepów.
W pierwszym sklepie: 40+40+30+30+30+30+40+408=2808=35.
W drugim sklepie: 10+10+10+108=408=5.
Obliczone przez nas wielkości to tak zwane odchylenia przeciętne.

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym liczb x1, x2, , xn nazywamy liczbę

x1-x-+x2-x-++xn-x-n

Zatem w pierwszym sklepie odchylenie przeciętne jest wyższe niż w drugim, co potwierdza naszą wcześniejszą obserwację, że w pierwszym sklepie ceny leżą dalej od średniej, a w drugim znajdują się bliżej średniej.

W statystyce częściej od odchylenia przeciętnego wykorzystuje się tzw. odchylenie standardowe.

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym σ liczb x1, x2, , xn nazywamy liczbę

σ=(x1-x-)2+(x2-x-)2++(xn-x-)2n

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem σ2, czyli

σ2=(x1-x-)2+(x2-x-)2++(xn-x-)2n

Wariancja i odchylenie standardowe niosą dokładnie te same informacje. Wygodniej używać odchylenia standardowego, ponieważ wariancja jest podawana w jednostkach kwadratowych, a odchylenie standardowe dokładnie w tych samych jednostkach, co analizowane dane.

Obliczanie odchylenia standardowego, czy też wariancji jest uciążliwe w sytuacji, gdy x- jest liczbą niecałkowitą i ma albo długie rozwinięcie dziesiętne, albo nawet nieskończone. Podamy teraz wzór, który sprawia, że obliczenia są znacznie wygodniejsze.

Twierdzenie: Wariancja liczb

Wariancja liczb x1, x2, , xn jest równa

σ2=x12+x22++xn2n-x-2
Przykład 4

W tabeli przedstawiono kwoty rachunków za telefon, jakie zapłaciła Małgosia w kolejnych miesiącach.

Tabela. Dane
styczeń luty marzec kwiecień maj czerwiec
63 zł
41 zł
35 zł
67 zł
60 zł
52 zł

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe tych wydatków z dokładnością do 1 zł. Średnia wydatków na telefon Małgosi jest równa x-=63+41+35+67+60+526=3186=53
W kolejnych miesiącach odchylenie od średniej jest równe:

Tabela. Dane
  styczeń luty marzec kwiecień maj czerwiec
xi
63 zł
41 zł
35 zł
67 zł
60 zł
52 zł
xi-x-
10
12
18
14
7
1

Wariancja jest więc równa:
σ2=102+122+182+142+72+126=100+144+324+196+49+16=8146=135,(6)136
a odchylenie standardowe

σ=13612.
Przykład 5

Wyniki pewnego badania umieszczono w tabeli.

Tabela. Dane
Wynik
4
5
6
7
8
Częstość
5
2
4
6
3

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe w tym badaniu.
Zaczniemy od policzenia średniej

x-=54+25+46+67+385+2+4+6+3=12020=6.
  • sposób I

Obliczymy wariancję, korzystając ze wzoru podanego w twierdzeniu. W tym celu obliczymy średnią kwadratów otrzymanych wyników

542+252+462+672+3825+2+4+6+3=76020=38.

Stąd wariancja jest równa σ2=38-x-2=38-36=2 i odchylenie standardowe σ=2.

  • sposób II

Obliczymy wariancję, posługując się definicją. Odchylenia poszczególnych wyników od średniej zamieścimy w tabeli.

Tabela. Dane
wynik xi
4
5
6
7
8
odchylenie xi-x-
4-6=2
5-6=1
6-6=0
7-6=1
8-6=2
częstość
5
2
4
6
3

Podstawiając wyniki do wzoru na wariancję, otrzymujemy:

σ2=522+212+402+612+3225+2+4+6+3=4020=2
Przykład 6

W pewnej szkole przeprowadzono ankietę, w której zadano uczniom pytanie „Ile książek przeczytałeś/łaś w ciągu ostatnich dwóch tygodni?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie.

Obliczymy wariancję i odchylenie standardowe otrzymanych wyników.
Dla otrzymanych wyników możemy przyjąć następujące wagi

Tabela. Dane
1 książka 2 książki 3 książki 4 książki Suma wag
0,1
0,4
0,3
0,2
1

Średnia ważona otrzymanych wyników jest równa

x-w=0,11+0,42+0,33+0,24=0,1+0,8+0,9+0,8=2,6.

Licząc wariancję, posłużymy się wzorem z twierdzenia

σ2=0,112+0,422+0,332+0,2421-2,62=0,1+1,6+2,7+3,2-6,76=0,84.

Wtedy odchylenie standardowe jest równe σ0,92.

Przykład 7

Michał przeprowadził doświadczenie, w którym mierzył m.in. czas ruchu pewnego ciała. Wykonał doświadczenie 10 razy i otrzymał następujące wyniki w sekundach:

Tabela. Dane
doświadczenie
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
wynik
10,23
10,45
9,98
9,67
10,05
10,14
9,48
9,92
10,31
10,26

Wyznacz średni czas ruchu ciała oraz odchylenie standardowe w tym doświadczeniu. Ile wyników jest większych od średniego lub mniejszych od średniego czasu o więcej niż jedno odchylenie standardowe?

Ćwiczenie 1

Odchylenie standardowe zestawu liczb: 5 , 7, 11, 13 jest równe

Ćwiczenie 2

Wariancja zestawu liczb: 4, 7, 9, 20 jest równa

Ćwiczenie 3

Jeżeli odchylenie standardowe pewnego zestawu danych jest równe 42, to wariancja jest równa

Ćwiczenie 4

Największe odchylenie standardowe ma zestaw liczb

Ćwiczenie 5

przedstawiono wyniki, jakie osiągnęło dwóch skoczków narciarskich podczas przygotowań do zawodów.

  1. Który z nich ma wyższą średnią długość skoków?

  2. Który ze skoczków skacze bardziej stabilnie?

    Tabela. Dane
      1 skok 2 skok 3 skok 4 skok 5 skok 6 skok 7 skok 8 skok
    1 zawodnik
    115
    119
    116
    125
    123
    122
    115
    125
    2 zawodnik
    120
    115
    116
    121
    123
    124
    115
    118
Ćwiczenie 6
Ćwiczenie 7
Ćwiczenie 8
Ćwiczenie 9
Ćwiczenie 10
Ćwiczenie 11
Ćwiczenie 12
Ćwiczenie 13

W pewnym badaniu statystycznym otrzymano następujące wyniki: 15,12,17,10,13,8,10,16. Ile z tych wyników różni się od średniej o więcej niż jedno odchylenie standardowe?

Ćwiczenie 14

Tomek każdego dnia rano, jadąc do szkoły, porównywał czas przyjazdu tramwaju z informacją umieszczoną na przystanku. Przez kolejne dni informację notował w zeszycie. Odchylenie dodatnie oznacza, że tramwaj przyjechał później, a odchylenie ujemne, że przyjechał wcześniej. Jakie było odchylenie przeciętne przyjazdu tramwaju?

Tabela. Dane
poniedziałek wtorek środa czwartek piątek
-3,5 min
2 min
1,5 min
-1 min
2 min
Ćwiczenie 15
Ćwiczenie 16

Magda, przygotowując się do matury, postanowiła sprawdzić, ile godzin dziennie przeznacza na naukę. W tym celu przez dwa tygodnie codziennie zapisywała wyniki w tabeli, a następnie zaznaczyła je na wykresie. Oblicz średnią liczbę czasu poświęconego na naukę i odchylenie standardowe w pierwszym tygodniu, w drugim oraz w całym okresie dwóch tygodni.

Ćwiczenie 17

Odpowiedz na pytania.

  1. Jaka jest wariancja i jakie jest odchylenie standardowe zestawu liczb: 2, 4, 6, 8, 10? Jak zmienią się wariancja i odchylenie standardowe, jeżeli każdą z podanych liczb zwiększymy dwa razy?

  2. Średnia arytmetyczna zestawu pięciu liczb: a,b,c,d,e jest równa x-, a odchylenie standardowe σ. Jak zmienią się te dwa wskaźniki, gdy każdą z liczb tego zestawu zwiększymy trzy razy?

Ćwiczenie 18

W pewnej szkole przeprowadzono badanie dotyczące liczby dzieci w rodzinach uczniów. Wyniki przedstawiono na diagramie.

Oblicz wariancję i odchylenie standardowe otrzymanych wyników.

Ćwiczenie 19

Na lekcji fizyki przeprowadzono doświadczenie, podczas którego mierzono temperaturę pewnej próbki umieszczonej w określonych warunkach. Wyniki zapisano w tabeli.

Tabela. Dane
nr próbki
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
temperatura
23,12
23,71
22,93
23,34
23,19
23,45
23,65
23,74
23,48
23,62

Oblicz średnią temperaturę oraz wariancję i odchylenie standardowe w tym badaniu. Każdy z otrzymanych wyników podaj z dokładnością do 0,01.