RonBQtrKgowf21

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsPsPBNGb

Suma miar kątów trójkąta

Twierdzenie: Suma miar kątów trójkąta

Suma miar kątów trójkąta jest równa $180 °$ .

Dowód

Rozważmy dowolny trójkąt $ABC$ . Rysujemy prostą równoległą do boku $AB$ , która przechodzi przez wierzchołek $C$ .

RcfYVYxw72MBs1

Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi kątami wewnętrznymi alfa przy wierzchołku A, beta przy wierzchołku B i gamma przy wierzchołku C. Narysowana prosta równoległa do boku AB przechodzi przez wierzchołek C. Pomiędzy bokiem AC trójkąta a prostą jest kąt zewnętrzny delta a pomiędzy bokiem BC a prostą kąt zewnętrzny epsilon.

Kąty $δ$ i $α$ są równe jako kąty naprzemianległe wewnętrznie. Podobnie $ε = β$ .

R1AmPJkmi5vOV1

Suma miar kątów $α, β, γ$ jest równa $180 °$ .

Wiemy już, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180 °$ . Zastanówmy się teraz, czy można znaleźć wzór na określenie sumy miar kątów dowolnego wielokąta wypukłego.
W tym celu narysujmy kilka wielokątów i podzielmy każdy z nich na trójkąty. Poprowadzimy wszystkie przekątne z jednego wierzchołka każdego z wielokątów.

RFZ4a2sAhwhN91

Rysunki trzech wielokątów: czworokąt z jedną przekątną, pięciokąt z dwoma przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka, sześciokąt z trzema przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka. Wszystkie wielokąty zostały podzielone na trójkąty.

Zauważmy, że liczba utworzonych trójkątów jest o $2$ mniejsza od liczby wierzchołków wielokąta.
Zatem $n$ – kąt wypukły można podzielić na $(n - 2)$ trójkąty. Suma miar kątów $n -$ kąta jest więc równa sumie miar kątów tych trójkątów. W każdym z tych trójkątów suma miar kątów jest równa $180 °$ .

Ciekawostka

Twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wielokąta pozostaje również prawdziwe w przypadku, gdy wielokąt nie jest wypukły (jest wklęsły). Aby udowodnić to twierdzenie, można postąpić podobnie jak poprzednio, dzieląc wielokąt na trójkąty. Trudniej jednak opisać ten podział, gdyż nie zawsze da się podzielić wielokąt na trójkąty, wykorzystując przekątne wychodzące z jednego wierzchołka.

R1PKcHPdWWUsA1

Rysunek jedenastokąta, który jest wklęsły, podzielonego na 9 różnych trójkątów.

Ten wielokąt został podzielony na $9$ trójkątów, suma miar jego kątów jest równa $1620 °$ .

Wyprowadzimy wzór na liczbę przekątnych dowolnego wielokąta wypukłego. Rozpatrzmy jeden z wierzchołków takiego wielokąta. Ile przekątnych możemy z niego poprowadzić?

R1XUtyUSMJrBH1

Rysunek dziewięciokąta z sześcioma przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Ten wielokąt ma $9$ wierzchołków. Z jednego wierzchołka można poprowadzić $6$ przekątnych. Z wybranego wierzchołka nie można poprowadzić przekątnych do wierzchołków sąsiednich, ani do tego wybranego wierzchołka.
Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $3$ . Rozpatrzmy dowolny $n$ -kąt wypukły. Ponieważ mamy $n$ wierzchołków, a z każdego wierzchołka możemy poprowadzić $n - 3$ przekątne, więc ze wszystkich wierzchołków możemy poprowadzić $n (n - 3)$ przekątne. Jednak w ten sposób każdą z przekątnych policzyliśmy dwukrotnie. Zatem liczba wszystkich przekątnych $n$ -kąta wypukłego jest równa

\frac{n ∙ (n - 3)}{2} .

RX0UCdga2CSDw1

Rysunek dziewięciokąta z zaznaczonymi wszystkimi przekątnymi.

Przekątna $AB$ wychodzi zarówno z wierzchołka $A$ , jak i z wierzchołka $B$ .

O przekątnych wielokąta

Twierdzenie: O przekątnych wielokąta

Dowolny $n$ -kąt wypukły ma $\frac{n ∙ (n - 3)}{2}$ przekątnych, gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od $3$ .

RswRP4ZHlCjym1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsPsPBNGb

Przypomnimy teraz podstawowe własności związane z kątami w czworokątach.
Rozważmy dowolny równoległobok i narysujmy proste, na których leżą boki tego równoległoboku.

RvLE02rWwnnxM1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego wszystkie boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono wewnętrzny kąt ostry alfa.

Zaznaczmy kąty odpowiadające kątowi $α .$ Ponieważ boki równoległoboku są parami równoległe, zaznaczone na rysunku kąty odpowiadające są równe.

R18J2BHz7ymQ31

Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołku A zaznaczono kąt ostry alfa. Przy pozostałych wierzchołkach B, C, D zaznaczono kąty zewnętrzne odpowiadające kątowi alfa.

Kąty $BCD$ i $α$ są wierzchołkowe, więc $|∢BCD| = α$ .
Oznaczmy miarę kąta $ADC$ przez $β$ . Miara kąta $CBA$ także jest równa $β$ .

RInWbS4JNmq8j1

Rysunek równoległoboku A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Przy wierzchołkach A i C zaznaczono kąt ostry alfa. Przy wierzchołkach B i D zaznaczono kąt rozwarty beta oraz kąt zewnętrzny odpowiadający kątowi alfa.

Kąty $β$ i $α$ są przyległe, zatem $α + β = 180 °$ .

Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku

Twierdzenie: Suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych w równoległoboku

W równoległoboku suma miar sąsiednich kątów wewnętrznych jest równa $180 °$ .

Rozważmy trapez $ABCD$ .
Niech $α, β$ będą kątami ostrymi w tym trapezie. Poprowadźmy proste zawierające boki tego trapezu i zaznaczmy kąty naprzemianległe do kątów $α$ i $β$ . Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, to miary odpowiednich kątów naprzemianległych są równe.

RByAyRjy7ykhE1

Rysunek trapezu A B C D, którego boki zawierają się w prostych. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie kąt alfa i kąt beta są kątami zewnętrznymi trapezu.

Kąt $CDA$ jest przyległy do kąta $α$ , zatem

|∢CDA| = 180 ° - α .

Kąt $BCD$ jest przyległy do kąta $β$ , zatem

|∢BCD| = 180 ° - β .

R1DCHoMxkbm771

Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu

Twierdzenie: Suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu

W trapezie suma miar kątów przy jednym ramieniu jest równa $180 °$ .

R1B4nnrTwT1Wv1

Rysunek trapezu A B C D. Kąty wewnętrzne przy dolnej podstawie zaznaczono jako alfa i beta. Przy górnej podstawie miara kątów wynosi 180 stopni minus alfa i 180 stopni minus beta.

Rozpatrzmy romb $ABCD$ . Wykreślmy przekątną rombu jak na rysunku i zaznaczmy powstałe kąty naprzemianległe. Ponieważ proste $AB$ i $CD$ są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

RlIOj7vyW5xvn1

Rysunek rombu A B C D, którego przekątna AC dzieli kąt ostry rombu na dwa kąty alfa i beta.

W rombie wszystkie boki są równe, więc trójkąt $ACD$ jest równoramienny, a jako równoramienny ma kąty przy podstawie $AC$ równe, czyli $α = β$ . Przekątna $AC$ zawiera się w dwusiecznej kąta $DCB$ i $DAB$ . Podobnie, przekątna $DB$ zawiera się w dwusiecznej kąta $ADC$ i $(ABC)$ .
Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych rombu. Romb jest równoległobokiem, więc

|∢ ADS| = \frac{180 ° - 2 α}{2}

|∢ ADS| = 90 ° - α .

R16YBLB7UzQlB1

Rysunek rombu A B C D z zaznaczonymi przekątnymi AC i BD oraz katami wewnętrznymi 2 alfa i 180 minus 2 alfa. Przekątne przecinają się w punkcie S.

W trójkącie $ADS$ kąt $DAS$ ma miarę $α$ , a kąt $ADS$ ma miarę $90 ° - α$ .
Zatem miara kąta $ASD$ jest równa

180 ° - (α + 90 ° - α) = 90 ° .

Możemy więc sformułować twierdzenie

Kąt przecięcia przekątnych rombu

Twierdzenie: Kąt przecięcia przekątnych rombu

Przekątne rombu zawierają się w dwusiecznych jego kątów wewnętrznych i przecinają się pod kątem prostym.

Pola wielokątów

Przypomnijmy znane wzory na pola czworokątów.

Pole równoległoboku

P = a ∙ h,

gdzie $a$ jest długością jednego z boków oraz $h$ jest wysokością opuszczoną na ten bok.

RJmTmFTwBn3b51

Rysunek równoległoboku A B C D umieszczonego w prostokącie A E C F.

Umieśćmy równoległobok $ABCD$ w prostokącie $AECF$ , jak pokazano na rysunku. Trójkąty $ADF$ i $CBE$ są przystające, czyli

|B E| = |DF| .

Oznaczmy $|BE| = x$
Pole równoległoboku $ob$ liczymy odejmując od pola prostokąta sumę pól trójkątów $ADF$ i $CBE$ . Z tych trójkątów można utworzyć prostokąt o bokach $h$ , $x$ . Pole równoległoboku jest równe

P = (a + x) h - xh = ah .

RlsGBKdGAcjkU1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsPsPBNGb

Pole trójkąta

P = \frac{1}{2} a ∙ h,

gdzie $a$ jest jednym z boków trójkąta, a $h$ jest wysokością opuszczoną na ten bok.

RpU2WlsmuRenu1

Rysunek trójkątów A B D i B C D, które mają wspólny bok BD. Trójkąt A B C ma podstawę długości a i wysokość opuszczoną na ten bok h.

Podzielmy równoległobok $ABCD$ przekątną $DB$ na dwa trójkąty. Zauważmy, że trójkąty $ABD$ i $BCD$ są przystające, ponieważ mają te same długości boków. Zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.

P = \frac{a ∙ h}{2} .

R8HJBVkSgslZ11

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsPsPBNGb

Pole trapezu

P = \frac{a + b}{2} ∙ h,

gdzie $a$ , $b$ są długościami podstaw trapezu, a $h$ jest jego wysokością.

R1bZnGVWZnbSp1

Rysunek trapezu A B C D podzielonego przekątną BD na dwa trójkąty o polach P z indeksem dolnym jeden i P z indeksem dolnym dwa.

Dzielimy trapez przekątną na dwa trójkąty. Jeden z nich ma podstawę $a$ , drugi podstawę $b$ oraz oba mają tę samą wysokość $h$ .

P = P_{1} + P_{2} = \frac{1}{2} ah + \frac{1}{2} bh = \frac{a + b}{2} ∙ h

RuJlmFl8i3zfa1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DsPsPBNGb

Pole czworokąta wypukłego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym

P = \frac{d_{1} ∙ d_{2}}{2},

gdzie $d_{1}, d_{2}$ są przekątnymi tego czworokąta.

R1XJxcCq1lW1z1

Rysunek czworokąta A B C D umieszczonego w prostokącie E F G H. W czworokącie zaznaczono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie S.

Czworokąt $ABCD$ umieścimy w prostokącie $EFGH$ , którego boki są równoległe do przekątnych. Prostokąt $EFGH$ jest podzielony na cztery prostokąty. Otrzymujemy cztery pary trójkątów przystających:

trójkąt $A SD$ jest przystający do trójkąta $DHA$ ,
trójkąt $CSD$ jest przystający do trójkąta $DGC$ ,
trójkąt $CSB$ jest przystający do trójkąta $BFC$ ,
trójkąt $ASB$ jest przystający do trójkąta $BEA$ .

Pole czworokąta $ABCD$ jest więc dwa razy mniejsze od pola prostokąta $EFGH$ , skąd otrzymujemy

P = \frac{d_{1} ∙ d_{2}}{2} .

Kąty przyległe, wierzchołkowe, naprzemianległe i odpowiadające

Zadania

Kąty w figurach, przekątne

Pola wielokątów