Definicja: Ostrosłup

Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ważne!

Podstawą ostrosłupa może być dowolny trójkąt, dowolny czworokąt i dowolny sześciokąt.

Jeżeli podstawą ostrosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd...), a spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie, to mówimy, że taki ostrosłup jest prawidłowy.

Odcinki w ostrosłupie

Przykład 1

Chcąc narysować ostrosłup prosty, po narysowaniu podstawy zaznaczamy wysokość – odcinek prostopadły do płaszczyzny podstawy. Koniec wysokości, który nie leży na podstawie, łączymy z wierzchołkami podstawy.

Przykład 2

W przypadku ostrosłupów prawidłowych, po narysowaniu podstawy zaznaczamy spodek wysokości, który jest środkiem okręgu opisanego na podstawie, a następnie rysujemy wysokość i krawędzie boczne.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości leży na przecięciu wysokości podstawy.

Zapamiętaj!
  • Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe, to taki ostrosłup nazywamy prostym.

  • Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznym,i nazywać będziemy czworościanem.

Kąty w ostrosłupie

Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

Pc=Pp+Pb

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a Pb – pole powierzchni bocznej.
W szczególności pole całkowite
czworościanu o krawędzi a jest równe

Pc=a23

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa

Zapamiętaj!

Objętość ostrosłupa jest równa

V=13PpH

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a  – wysokość bryły.
W szczególności objętość

  • czworościanu o krawędzi a jest równa V=a3212

  • ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równa V=13a2H

Przykład 3

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 72 cm2.  Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, takim że tgα=0,6. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Przykład 4

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 9 cm, a ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy po kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Przykład 5

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 36 cm2 i stanowi 20% powierzchni całkowitej tej bryły. Na krawędzi bocznej długości 16 cm wybrano taki punkt P, że odcinki BPDP są prostopadłe do krawędzi CS (patrz rysunek). Oblicz pole powierzchni trójkąta BDP.

Przykład 6
Przykład 7

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 2:3. Trójkąt ACS jest równoboczny, a jego pole jest równe 273 dm2. Oblicz objętość ostrosłupa.

Przykład 8

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, którego wysokość jest równa 93 cm. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Przykład 9

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 93 dm3. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem α, którego tgα=94. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Ćwiczenie 1

Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. Oblicz objętość każdego z ostrosłupów.

Ćwiczenie 2

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ćwiczenie 3

Wysokość ściany bocznej czworościanu foremnego jest równa 9 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego czworościanu.

Ćwiczenie 4

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 23, a wysokość ściany bocznej jest równa 4. Oblicz objętość ostrosłupa.

Ćwiczenie 5

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o przekątnej długości 12 cm. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Ćwiczenie 6

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, którego sinα=34. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, wiedząc, że jego wysokość jest równa 15 dm.

Ćwiczenie 7

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 48 dm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o polu 643 cm2, a ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. Oblicz objętość ostrosłupa.

Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 30 cm2, w którym jeden z boków jest o 40% krótszy od drugiego. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.

Ćwiczenie 10

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny o polu równym 243 cm2. Objętość ostrosłupa jest równa 483cm3.Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Ćwiczenie 11
Ćwiczenie 12
Ćwiczenie 13
Ćwiczenie 14