Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Wzór na objętość walca

Przykład 1

Wyobraź sobie, że pojemnik w kształcie walca o wysokości >1 wypełniamy jednakowymi krążkami o wysokości 1 i promieniu podstawy równym promieniowi podstawy pojemnika.
Ile takich krążków zmieści się w pojemniku?
Jeśli przyjmiemy, że objętość takiego krążka jest równa V, to ile wynosi objętość pojemnika?
Jeśli teraz zwiększymy promień podstawy pojemnika i analogicznie promień podstawy krążków, to czy objętość pojemnika zmieni się?

Objętość walca zależy od jego wysokości i pola podstawy. Obliczamy ją podobnie jak objętość graniastosłupa.

Ważne!

Objętość V walca o promieniu podstawy r jest równa iloczynowi pola podstawy Pp walca przez jego wysokość H.

V=PpH
V=πr2H
Przykład 2

Ile litrów wody mieści się w pojemniku o wysokości 2,5 m i średnicy podstawy 2,8 m? Przyjmij π=227

Promień podstawy pojemnika wynosi 2,8 m : 2 = 1,4 m. Obliczamy objętość walca.

V=πr2H
V=2271,422,5
V=227141014102510
V=2210711010=775
V=15,4 m3

Wiadomo, że 1 m3 = 1000 l, stąd 15,4 m3 to 15,41000 l = 15400 l.
W pojemniku mieści się 15 400 l wody.

Przykład 3

Objętość walca przedstawionego na rysunku jest równa 89,2 cm3.

Oblicz promień podstawy tego walca. Przyjmij π=31071.
Korzystamy ze wzoru na objętość walca.

V=πr2H
89,2=31071r27,1
89210=223717110r2
892=223r2
r2=4
r=2

bo

r>0
= 2 cm

Promień podstawy walca wynosi 2 cm.

Obliczanie objętości walca

Przykład 4
Przykład 5

Oblicz objętość walca, którego siatkę przedstawia rysunek. Przyjmij π=3.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem, którego długość jest równa obwodowi koła, będącego podstawą walca.
Obliczamy promień r tego koła.

2πr=15
23r=15
r=2,5

Wysokość H walca jest równa szerokości prostokąta, czyli = 6.

Obliczamy objętość walca.

V=πr2H
V=32,526=112,5

Objętość walca jest równa 112,5.

Przykład 6

Element przedstawiony na rysunku wykonany jest ze stali o gęstości 7,5 kg/dm3.

Oblicz masę elementu.
Element jest w kształcie sześciennej kostki z wydrążonym otworem w kształcie walca.
Obliczamy najpierw objętość V elementu. Jest ona równa różnicy objętości sześcianu i objętości walca o wysokości 4 dm i promieniu podstawy 2 dm : 2 = 1 dm.

V=43-π124
V=64-4πdm3

Masa m ciała jest równa iloczynowi objętości tego ciała przez jego gęstość.

m=V7,5
m64-43,147,5=385,8
m385,8 kg

Masa elementu wynosi około 385,8 kg.

Przykład 7

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym jeden z boków, równy wysokości walca, jest dwukrotnie dłuższy od drugiego.
Pole powierzchni walca jest równe 250 π cm2. Oblicz objętość walca.

Oznaczmy:

  • x – promień podstawy walca w cm

  • 4x- wysokość walca w cm, gdzie x>0.

Wtedy pole P powierzchni walca jest równe;

P=2πx2+2πx4x
P=2πx2+8πx2=10πx2

Jednocześnie wiemy, że pole to jest równe 250π cm2.

10πx2=250π
x2=25
x=5 cm
4x= 20 cm

Promień podstawy walca jest więc równy 5 cm, a jego wysokość 20 cm. Obliczamy objętość walca.

V=π5220=500π
V=500π cm3

Objętość walca jest równa 500π cm3.

Ćwiczenie 1

Kartkę papieru w kształcie prostokąta o wymiarach a cm na b cm można zwinąć na dwa sposoby,
uzyskując za każdym razem walec. Jeden z nich będzie niższy i grubszy, drugi wyższy i chudszy.
Który w tych walców ma większą objętość?
Poniższy rysunek ilustruje w przybliżeniu kartkę papieru i dwa uzyskane walce.
Przyjmując za ab długość i szerokość kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

Ćwiczenie 2

Czy w każdej ze szklanek, jak przedstawiono jak na rysunku, zmieści się ćwierć litra wody? Przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 3

Butla gazowa domowa – parametry techniczne

Tabela. Dane

Wysokość zewnętrzna bez zaworu

 590 mm

Masa butli

10,2 kg

Średnica zewnętrzna

 300 mm

Średnica wewnętrzna

 260 mm

Przyjmij, że butla gazowa ma kształt walca. Oblicz jej pojemność. Przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 4

Rurkę, taką jak na rysunku przetopiono i wykonano z niej sześcienną kostkę. Oblicz pole powierzchni tej kostki. Wynik podaj z dokładnością do 1 cm2.

Ćwiczenie 5

Element betonowy składa się z części w kształcie sześcianu i części w kształcie walca. Ile takich elementów można wykonać z 1 m3 betonu? Przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 6

Pojemnik z sokiem jest prostopadłościanem o wymiarach 25 cm x 12,5 cm x 8 cm. Sok rozlano do szklanek w kształcie walca o średnicy podstawy 5 cm i wysokości 10 cm. Ile szklanek napełniono sokiem? W obliczeniach przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 7

Która z brył ma większą objętość - sześcian o krawędzi 6 cm czy walec o promieniu 3 cm i wysokości 10 cm. W obliczeniach przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 8

Głównymi składnikami powietrza są azot i tlen. Zawartość procentowa azotu wynosi 78%, a tlenu 21%. Jeden 1 dm3 powietrza ma masę 0,66 g. Jaka jest masa azotu, a jaka tlenu w butli w kształcie walca o średnicy dna 40 cm i wysokości 150 cm? W obliczeniach przyjmij π=3,14.

Ćwiczenie 9

Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości 4 cm8 cm dookoła krótszego boku. Oblicz objętość walca.

Ćwiczenie 10

Długości boków prostokąta pozostają w stosunku 1 : 2. Prostokąt obraca się raz wokół dłuższego boku, a raz wokół krótszego boku. Który z tak powstałych walców będzie miał większą objętość i ile razy, a który będzie miał większe pole powierzchni całkowitej i ile razy?

Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem o polu równym 144 cm2.

Ćwiczenie 12

Objętość walca jest równa 81 π cm3. Wysokość walca jest 3 razy większa od promienia podstawy. Oblicz promień podstawy i wysokość tego walca.

Ćwiczenie 13

Dwa walce W1 oraz W2 mają jednakowe objętości. Długość promienia podstawy walca W1 jest dziesięciokrotnie mniejsza od długości promienia podstawy walca W2 . Ile razy wysokość walca W1 jest większa od wysokości walca W2?

Ćwiczenie 14

Wysokość walca jest równa promieniowi podstawy tego walca. Objętość walca jest równa 343 π cm3. Oblicz pole podstawy tego walca.

Ćwiczenie 15

Jaką pojemność ma naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy 24 cm i wysokości 15 cm?