Zauważmy, że każda liczba sześciocyfrowa utworzona za pomocą różnych cyfr ze zbioru $\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ może być wzajemnie jednoznacznie utożsamiona z sześcioelementowym ciągiem kolejnych i różnych cyfr zapisu dziesiętnego tej liczby: $\left(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6\right)$, gdzie:

• $c_1$ to cyfra setek tysięcy,

• $c_2$ - cyfra dziesiątek tysięcy,

• $c_3$ - cyfra tysięcy,

• $c_4$ - cyfra setek,

• $c_5$ - cyfra dziesiątek,

• $c_6$ - cyfra jedności.

Liczby spełniające warunki zadania występują wyłącznie w następujących sześciu rozłącznych przypadkach.

(1) $c_1=4$, $c_2=7$, $c_3=0$, $c_4=9$, $c_5=1$.

Te warunki są spełniona tylko dla $c_6=2$. Zatem w tym przypadku jest jedna liczba, która spełnia warunki zadania.

(2) $c_1=4$, $c_2=7$, $c_3=0$, $c_4=9$, $c_5<1$.

W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.

(3) $c_1=4$, $c_2=7$, $c_3=0$, $c_4<9$.

Wtedy $c_4\in \left\{8,6,5,3,2,1\right\}$, a cyfry $c_5$, $c_6$ możemy dobrać jako dwie różne z pozostałych sześciu możliwych.

Stąd w tym przypadku jest $6·V_6^2=6·6·5=180$ liczb, które spełniają warunki zadania.

(4) $c_1=4$, $c_2=7$, $c_3<0$.

W tym przypadku nie ma liczb spełniających warunki zadania.

(5) $c_1=4$, $c_2<7$.

Wtedy $c_2\in \left\{6,5,3,2,1,0\right\}$, a cyfry $c_3$, $c_4$,$c_5$, $c_6$ możemy dobrać jako cztery parami różne z pozostałych ośmiu możliwych.

Zatem w tym przypadku jest $6·V_8^4=6·8·7·6·5=10080$ liczb, które spełniają warunki zadania.

(6) $c_1<4$.

Wtedy $c_1\in \left\{3, 2, 1\right\}$, a cyfry $c_2$, $c_3$, $c_4$,$c_5$, $c_6$ możemy dobrać jako pięć parami różnych z pozostałych dziewięciu możliwych.

Oznacza to, że w tym przypadku jest $3·V_9^5=3·9·8·7·6·5=45360$ liczb, które spełniają warunki zadania.

Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich sześciocyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach, które są mniejsze od $470913$ jest $1+180+10080+45360=55621$.

Jest $55621$ takich liczb.