Aby okręgi były styczne zewnętrznie, musi być spełniony warunek $\left|O_1{O}_2\right|=r_2+r_1$.

Okrąg o równaniu ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=81$ ma środek w punkcie $O_1=\left(1,4\right)$ i promień $r_1=9$.

Okrąg o równaniu ${\left(x-6\right)}^2+{\left(y+8\right)}^2=16$ ma środek w punkcie $O_2=\left(6,-8\right)$ i promień $r_2=4$.

Ponieważ $\left|O_1{O}_2\right|=\sqrt{{\left(6–1\right)}^2+{\left(-8-4\right)}^2}=\sqrt{{\left(5\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}=\sqrt{169}=13$ oraz $r_1=9$ i $r_2=4$, to spełniony jest warunek konieczny i wystarczający styczności zewnętrznej dwóch okręgów:

$r_1+r_2=9+4=13=\left|O_1{O}_2\right|$.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu styczności, rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(y-1\right)}^2=4 \left(1\right)\\ x^2+{\left(y+4\right)}^2=9 \left(2\right)\end{array}\right.$

W tym celu odejmujemy stronami od równania $\left(1\right)$ równanie $\left(2\right)$ i otrzymujemy

${\left(y-1\right)}^2-{\left(y+4\right)}^2=-5$.

Po przekształceniach:

$y^2-2y+1-\left(y^2+8y+16\right)=-5$

$y^2-2y+1-y^2-8y-16=-5$

$-10y-15=-5$

otrzymujemy $y=-1$.

Podstawiając $y=-1$ do pierwszego równania: $x^2+{\left(-1-1\right)}^2=4$, otrzymujemy $x=0$.

Punkt styczności ma współrzędne: $x=0$, $y=-1$.