Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Liczba elementów zbioru skończonego

W poniższych przykładach zajmiemy się obliczaniem liczby elementów pewnych zbiorów skończonych.

Zauważmy na wstępie, że w zbiorze, do którego należą wszystkie kolejne liczby naturalne od 1 do n, jest n elementów.

Przykład 1

Do klasy pierwszej przyjęto 35 uczniów. Zatem w dzienniku lekcyjnym powinni być oni wpisani w porządku alfabetycznym, otrzymując numery: 1, 2, 3, , 34, 35.

Przykład 2

W zbiorze = {1, 2, 3, ,1674, 1675} kolejnych liczb naturalnych od 1 do 1675 jest 1675 elementów.
Uwaga. Liczbę elementów zbioru A będziemy oznaczać symbolem A. Wobec tego liczbę elementów zbioru A z powyższego przykładu zapiszemy symbolicznie: A=1675.

Przykład 3

Ustalimy, ile jest elementów w zbiorze {12, 13, 14, , 26, 27} kolejnych liczb naturalnych od 12 do 27.

  • sposób I

Można wypisać wszystkie elementy tego zbioru i po prostu policzyć, ile ich jest.
Warto zauważyć, że numerując dla porządku kolejne elementy tego zbioru
(1)  12  
(2)  13  
(3)  14  
ustawiamy je w ciąg, w którym numer elementu jest niezmiennie o 11 mniejszy od tego elementu.
Takie numerowanie zakończy się więc przyporządkowaniem liczbie 27 numeru 16 (bo 27-11=16), co oznacza, że w zbiorze {12, 13, 14, , 26, 27} jest 16 elementów.
Uwaga. Ciąg, którego własności wykorzystaliśmy przy obliczaniu elementów danego zbioru jest ciągiem arytmetycznym, o pierwszym wyrazie 12 i różnicy 1. Można go więc opisać wzorem ogólnym n+11, gdzie n=1,2,3,...,16.

  • sposób II

Zauważmy, że zbiór {1, 2, 3, , 26, 27}, liczący 27 elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:
liczb mniejszych od 12:
{1, 2, 3, , 11}, który ma 11 elementów
oraz liczb od 12 do 27:
{12, 13, 14, , 26, 27}.
Oznacza to, że zbiór {12, 13, 14, , 26, 27} ma 27-11=16 elementów.

Zasada równoliczności

W sposobie I w poprzednim przykładzie, aby stwierdzić, że w zbiorze {12, 13, 14, , 26, 27} jest 16 elementów, ponumerowaliśmy elementy tego zbioru od 1 do 16, co oznacza, że ustaliliśmy wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między elementami zbiorów {12, 13, 14, , 26, 27} oraz {1, 2, 3, , 15, 16}.
Zastosowaliśmy w ten sposób zasadę równoliczności.

Zasada równoliczności
Dwa zbiory AB są równoliczne (mają tyle samo elementów), jeżeli ich elementy można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie, to znaczy, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru B oraz każdemu elementowi zbioru B przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru A.

Przykład 4

Korzystając z pomysłów z poprzedniego przykładu, wykażemy, że w zbiorze kolejnych liczb naturalnych od k do l:

k,k+1,k+2,...,l-1,l

jest l-k+1 elementów.

  • sposób I

Ustawiamy kolejne elementy zbioru k,k+1,k+2,...,l-1,l w taki ciąg an, że a1=k, a2=k+1, i tak dalej co 1, do ostatniego wyrazu równego l. W tym ciągu numer wyrazu jest więc niezmiennie o k-1 mniejszy od tego wyrazu, zatem jego ostatni wyraz to al-k-1=l. Wobec tego taki ciąg an jest określony dla n=1,2,...,l-k+1, czyli ma l-k+1 wyrazów.
Uwaga. Ciąg arytmetyczny an o wyrazie pierwszym a1=k i różnicy 1 jest określony wzorem ogólnym an=k+n-1. Gdy an=l, to k+n-1=l, stąd n=l-k+1.

  • sposób II

Zauważmy, że zbiór 1,2,...,l-1,l, liczący l elementów, możemy podzielić na dwa rozłączne podzbiory:
liczb mniejszych od k:
1,2,...,k-2,k-1, który ma k-1 elementów
oraz liczb od k do l:
k,k+1,k+2,...,l-1,l.
Oznacza to, że zbiór k,k+1,k+2,...,l-1,l ma l-k-1=l-k+1 elementów.

Przykład 5

Sprawdzimy, czy zbiory:

= {20, 21, 22, , 73, 74}, 
= 136, 137, 138, , 189, 190, 
= {1, 2, 3, , 54, 55} 

są równoliczne.
Zbiór C ma 55 elementów, liczba elementów zbioru A to A=74-20-1=55, a liczba elementów zbioru B to B=190-136-1=55. Zatem zbiory A, BC są równoliczne.

Reguła dodawania

W przykładzie 3, w sposobie II, aby stwierdzić, że w zbiorze {12, 13, 14, , 26, 27} jest 16 elementów, podzieliliśmy zbiór {1, 2, 3, , 26, 27} na dwa podzbiory: {1, 2, 3, , 10, 11} oraz {12, 13, 14, , 26, 27}. Skorzystaliśmy z tego, że usuwając ze zbioru {1, 2, 3, , 26, 27}, który ma 27 elementów, podzbiór jedenastoelementowy {1, 2, 3, , 10, 11}, dostaliśmy podzbiór {12, 13, 14, , 26, 27}, który ma 16 elementów.

Załóżmy teraz, że w wyniku podziału (rozbicia) zbioru otrzymaliśmy dwa podzbiory AB. Wtedy ten zbiór jest sumą dwóch zbiorów rozłącznych AB. Tak otrzymany zbiór opisujemy, używając symbolu sumy zbiorów: AB.
Rozumując podobnie jak powyżej, możemy stwierdzić, że liczba AB elementów zbioru AB jest sumą liczb AB, które opisują liczby elementów jego podzbiorów AB, otrzymanych w wyniku tego podziału:
AB=A+B.

Przykład 6

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 3.
Wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb ze zbioru {10, 11, 12, , 98, 99}, jest 99-9=90.
Zauważmy teraz, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna podzielna przez 3, jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 oraz jest dokładnie jedna, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Ponieważ 1390=30, więc zbiór liczb dwucyfrowych możemy rozbić na 30 podzbiorów trzyelementowych

{10, 11, 12}, {13, 14, 15}, {16, 17, 18}, ,{97, 98, 99}

takich, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez 3. Oznacza to, że jest 30 wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 3.

Przykład 7

Korzystając z wniosków zapisanych w poprzednim przykładzie, wykażemy, że w każdym ze zbiorów: liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1 oraz liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2, jest 30 elementów.
Korzystamy z rozbicia zbioru {10, 11, 12, , 98, 99} liczb dwucyfrowych na trzy podzbiory:
A0=12,15,...,99 – zbiór liczb podzielnych przez 3,
A1=10,13,...,97 - zbiór liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1,
A2=11,14,...,98 - zbiór liczb, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2.
Podzbiory te są parami rozłączne (bo rozdzielaliśmy ich elementy ze względu na resztę z dzielenia przez 3) oraz równoliczne (jednoznaczne przyporządkowanie między ich elementami gwarantuje podział na trzydzieści podzbiorów trzyelementowych – wykorzystaliśmy ten podział w przykładzie 6).
Podsumowując:

  • jest 90 wszystkich liczb dwucyfrowych, czyli liczb w zbiorze A0A1A2:

A0A1A2=90
  • zbiór liczb dwucyfrowych można rozbić na trzy podzbiory A0,A1,A2, które są parami rozłączne, stąd

A0A1A2=A0+A1+A2
  • otrzymane podzbiory są równoliczne, a więc

A0=A1=A2

Wynika z tego, że każdy z tych podzbiorów ma 30 elementów:

A0=A1=A2=1390=30

Uwaga. Powyżej stwierdziliśmy, że zbiory A0,A1,A2 są parami rozłączne. Oznacza to, że każda z par zbiorów: A0 i A1, A1 i A2 oraz A0 i A2 nie ma elementu wspólnego. Używając symbolu iloczynu (części wspólnej) zbiorów oraz symbolu zbioru pustego (), następująco zapisujemy fakt, że zbiory A0,A1,A2 są parami rozłączne:
A0A1= i A1A2=A0A2=.

Przykład 8

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 7.

  • sposób I

Każdą liczbę podzielną przez 7 możemy zapisać w postaci 7n, gdzie n jest liczbą całkowitą. Wystarczy zatem obliczyć, ile jest wszystkich całkowitych n, które spełniają układ nierówności
7n100 i 7n999.
Ponieważ 7n100 dla n1007=1427 oraz 7n999 dla n9997=14257, więc n=15,16,17,...,141,142.
Wynika z tego, że najmniejszą liczbą trzycyfrową, która dzieli się przez 7, jest 157=105, a największą 1427=994.
W zbiorze 15,16,17,...,141,142 jest 142-14=128 elementów, więc dokładnie tyle jest liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 7.

  • sposób II

Wszystkich liczb trzycyfrowych, czyli liczb ze zbioru {100, 101, 102, , 998, 999}, jest 999-99=900.
Zauważmy teraz, że wśród siedmiu kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie po jednej liczbie dla każdej z możliwych reszt z dzielenia przez 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ponieważ 900=1287+4, więc jeżeli ze zbioru liczb trzycyfrowych wyjmiemy podzbiór czteroelementowy {100, 101, 102, 103}, to pozostały podzbiór, liczący 896 elementów, możemy rozbić na 128 podzbiorów siedmioelementowych – w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez 7:

{104, 105, 106, 107, 108, 109, 110},  , {993, 994, 995, 996, 997, 998, 999}.

Sprawdzamy, że żadna z liczb ze zbioru {100, 101, 102, 103} nie dzieli się przez 7, zatem jest dokładnie 128 liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 7.

  • sposób III

Zbiór {100, 101, 102, , 998, 999} wszystkich liczb trzycyfrowych jest podzbiorem zbioru {1, 2, 3, , 998, 999} wszystkich liczb naturalnych od 1 do 999.
Ponieważ 999=1427+5, więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 999 wyjmiemy podzbiór pięcioelementowy {995, 996, 997, 998, 999}, to pozostałe 994 liczby możemy rozdzielić do 142 podzbiorów siedmioelementowych:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14},, {988, 989, 990, 991, 992, 993, 994}.

W każdym z nich jako ostatnia zapisana jest jedyna w takim podzbiorze liczba podzielna przez 7. Zatem bez sprawdzania możemy stwierdzić, że wśród liczb ze zbioru {995, 996, 997, 998, 999} nie ma liczby podzielnej przez 7.
Skoro 99=147+1, więc jeżeli ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 99 wyjmiemy liczbę 99, to pozostałe 98 liczb możemy rozdzielić do 14 podzbiorów siedmioelementowych:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14},, {92, 93, 94, 95, 96, 97, 98}.

Oznacza to, że w zbiorze liczb naturalnych od 1 do 99 jest dokładnie 14 liczb podzielnych przez 7.
Wobec tego w zbiorze liczb naturalnych od 100 do 999 jest ich 142-14=128.
Uwaga. Zauważmy, że wykorzystane w rozwiązaniu liczby 14214 otrzymaliśmy, przybliżając z niedomiarem ułamki odpowiednio 9997=14257 oraz 997=1427.
Dowolnej liczbie rzeczywistej x można jednoznacznie przypisać jej część całkowitą (zwaną też cechą lub podłogą tej liczby), która oznacza największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od x. Część całkowita liczby x oznaczana jest symbolem x.
Stosując to oznaczenie, zapiszemy, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez 7 jest

9997-997=14257-1427=142-14=128.

Rozumując w podobny sposób jak w ostatnim sposobie rozwiązania, stwierdzimy np., że

  • wszystkich liczb czterocyfrowych podzielnych przez 11 jest

999911-99911=909-90911=909-90=819,
  • wszystkich liczb pięciocyfrowych podzielnych przez 17 jest

9999917-999917=5882517-588317=5882-588=5294,
  • a wszystkich liczb sześciocyfrowych podzielnych przez 29 jest

99999929-9999929=344822129-3448729=34482-3448=31034.

Podamy teraz wzór, pozwalający obliczyć liczbę elementów sumy n zbiorów rozłącznych.
Do jego uzasadnienia wystarczy przeprowadzić podobne rozumowanie, jak stosowane w poprzednich przykładach.

editor.block.RuleProperty: Liczba elementów sumy n zbiorów rozłącznych

Jeżeli zbiory A1,A2,...,An są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru A1A2...An jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów A1,A2,...,An:
A1A2...An=A1+A2+...+An.
Regułę, która jest zapisana w powyższym wzorze, nazywamy regułą dodawania.

Przykład 9

Obliczymy, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub są podzielne przez 5.
Oznaczmy:
A2 - zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2,
A5 - zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5.
Mamy obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub przez 5, czyli wartość A2A5.
Zauważmy, że:

  • wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna parzysta i dokładnie jedna nieparzysta. Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory dwuelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez 2, więc A2=1290=45.

  • wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jest dokładnie jedna podzielna przez 5. Ponieważ da się rozbić zbiór liczb dwucyfrowych na takie podzbiory pięcioelementowe, że w każdym z nich znajdzie się dokładnie jedna liczba podzielna przez 5, więc A5=1590=18.

Zbiory A2 oraz A5 nie są jednak rozłączne – wśród liczb dwucyfrowych są takie, które dzielą się zarówno przez 2, jak i przez 5, taką jest np. 10. Ponieważ liczba całkowita dzieli się przez 2 i przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli się przez 10, więc musimy jeszcze obliczyć, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 10.
Liczb tych jest 9, co można sprawdzić, wypisując je wszystkie lub zauważając, że takich liczb jest 11090=9.
Przedstawimy teraz trzy pomysły na dokończenie rozwiązania przykładu 9.

  • sposób I

Zbiór A2A5 rozbijemy na trzy rozłączne podzbiory:

  • zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2 i przez 5.

Jest to zbiór liczb podzielnych przez 10, zatem takich liczb jest 9.

  • zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 2 i nie dzielą się przez 5.

Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2 możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb podzielnych przez 5 i podzbiór liczb niepodzielnych przez 5. Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2 jest 45, tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez 5, jest 9, zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 2 i nie dzielą się przez 5, jest 45-9=36.

  • zbiór tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 5 i nie dzielą się przez 2.

Zbiór liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5 możemy rozbić na dwa podzbiory: podzbiór liczb parzystych i podzbiór liczb nieparzystych. Wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5, jest 18, tych spośród nich, które są dodatkowo podzielne przez 2, jest 9, zatem liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 5 i nie dzielą się przez 2, jest 18-9=9.
Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub przez 5, jest

A2A5=9+36+9=54.
  • sposób II

Obliczając liczbę tych liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 2 i nie dzielą się przez 5, można zauważyć, że zbiór parzystych liczb dwucyfrowych da się rozbić na pięć podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez 5. Obliczymy wtedy, że szukane przez nas liczby są elementami 4 z tych 5 podzbiorów, zatem ich liczba to

4545=36

Analogiczny pomysł można zastosować do ustalenia, ile jest liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub przez 5.
Rozbijemy mianowicie zbiór liczb dwucyfrowych na 10 podzbiorów ze względu na resztę z dzielenia przez 10. W każdym z tych podzbiorów jest 11090=9 elementów. Wyróżnimy wśród tych podzbiorów dwie grupy:
(1) podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez 10 jedną z reszt: 0, 2, 4, 5, 6 lub 8,
(2) podzbiory, w których znajdują się liczby dające przy dzieleniu przez 10 jedną z reszt: 1, 3, 7, 9.
Zauważmy, że każda z liczb, która znalazła się w dowolnym z podzbiorów grupy (1) dzieli się przez 2 lub przez 5, a każda z liczb, które są w dowolnym z podzbiorów grupy (2) jest liczbą niepodzielną ani przez 2, ani przez 5.
Zatem

A2A5=61090=54.
  • sposób III

Obliczyliśmy wcześniej, że liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2 jest A2=45, liczb dwucyfrowych podzielnych przez 5 jest A5=18, liczb dwucyfrowych podzielnych jednocześnie przez 2 i przez 5 jest A2A9=9.
Każda liczba należącą do tego ostatniego zbioru jest również elementem każdego ze zbiorów A2 oraz A5. Wypisując zatem wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 2 oraz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez 5, wypiszemy dokładnie dwa razy każdą z liczb podzielnych przez 10, a każdą inną – dokładnie raz. Oznacza to, że jeśli od sumy A2+A5=45+18=63 odejmiemy liczbę A2A9=9, to ustalimy, ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez 2 lub 5:

A2A5=A2+A5-A2A5=45+18-9=54.

Rozumując podobnie jak w ostatnim sposobie rozwiązania przykładu 9, możemy stwierdzić, że dla dowolnych dwóch zbiorów AB liczba AB elementów należących do zbioru A lub do zbioru B jest równa sumie liczb AB, pomniejszonej o liczbę AB elementów należących jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

AB=A+B-AB.
Przykład 10

W konkursie matematycznym uczestniczyło 132 uczniów. Siedmiu spośród nich nie rozwiązało żadnego z dwóch pierwszych zadań, 98 uczestników rozwiązało zadanie pierwsze, a 55 z nich rozwiązało zadanie drugie. Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali oba zadania: pierwsze i drugie.
Z treści zadania wynika, że liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadanie pierwsze lub zadanie drugie, jest równa

132-7=125.

Przyjmiemy teraz następujące oznaczenia: uczestników konkursu, którzy rozwiązali zadania pierwsze, przypiszemy do zbioru A, a tych uczestników, którzy rozwiązali zadania drugie – do zbioru B.
Wiemy, że AB=125, A=98B=55.
Ponieważ AB=A+B-AB, więc 125=98+55-AB, stąd AB=98+55-125=28, co oznacza, że 28 uczestników tego konkursu rozwiązało oba zadania: pierwsze i drugie.

Przykład 11

W konkursie matematycznym, w którym uczestnicy mieli do rozwiązania trzy zadania, uczestniczyło 49 uczniów. Zadanie pierwsze rozwiązało 34 uczniów, zadanie drugie – 27, zadanie trzecie – 18. Ponadto: zadanie pierwsze i drugie rozwiązało 19 uczniów, zadanie drugie i trzecie – 10 uczniów, zadanie pierwsze i trzecie – 13 uczniów, a 8 uczniów rozwiązało wszystkie trzy zadania.
Ustalimy, ilu jest uczestników tego konkursu, którzy nie rozwiązali żadnego z trzech zadań.
Oznaczamy literami P, D, T zbiory uczniów, którzy rozwiązali odpowiednio pierwsze, drugie i trzecie zadanie.
Przedstawimy rozwiązanie, korzystając z poniższego diagramu:

Wpisujemy w odpowiednie miejsce diagramu liczbę uczestników, którzy:

  • rozwiązali wszystkie trzy zadania (jest ich 8),

  • rozwiązali zadania 12, ale nie rozwiązali zadania 3 (jest ich 19-8=11),

  • rozwiązali zadania 13, ale nie rozwiązali zadania 2 (jest ich 13-8=5),

  • rozwiązali zadania 23, ale nie rozwiązali zadania 1 (jest ich 10-8=2),

  • rozwiązali tylko zadanie 1 (jest ich 34-11+8+5=10),

  • rozwiązali tylko zadanie 2 (jest ich 27-11+8+2=6),

  • rozwiązali tylko zadanie 3 (jest ich 18-5+8+2=3).

    Wobec tego wszystkich uczestników tego konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, było

    Zatem 4 uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań. To zadanie można też rozwiązać, rozumując w następujący sposób. Wybieramy po kolei wszystkie elementy zbiorów: najpierw P, potem D i następnie – jest ich razem

    Na diagramie zaznaczamy „+” w każdym miejscu, z którego wzięliśmy wszystkie elementy

    Zauważamy, że elementy należące do części wspólnej każdych dwóch zbiorów obliczyliśmy za dużo razy – poprawiamy wynik, odejmując od niego liczby PD, DTPT:

    Na diagramie zabieramy „+” z każdego miejsca, z którego elementy usunęliśmy.

    Zatem pozostaje jeszcze tylko dodać elementy części wspólnej wszystkich trzech zbiorów tak, żeby każdy element sumy był policzony dokładnie raz.

    Ponieważ PDT=8, więc otrzymujemy, że liczba elementów zbioru PDT, czyli liczba uczestników konkursu, którzy rozwiązali co najmniej jedno zadanie, jest równaPDT=P+D+T-PD+DT+PT+PDT=79-42+8=45.Oznacza to, że 4 uczestników konkursu nie rozwiązało żadnego z trzech zadań.

Wskazówka

Znamy już wzór na liczbę elementów sumy dwóch zbiorów

AB=A+B-AB

Korzystając z powyższego sposobu rozwiązania, możemy zapisać wzór na liczbę elementów sumy ABC trzech zbiorów A, BC:

ABC=A+B+C-AB+BC+AC+ABC

Obydwa zapisane powyżej wzory są szczególnymi przypadkami zastosowania tzw. zasady włączeń i wyłączeń.

Ćwiczenie 1

Wszystkich liczb trzycyfrowych większych od 200 i mniejszych od 500 jest

Ćwiczenie 2

W klasie IIIa jest 33 uczniów. Na wycieczkę do Gdańska pojechało 25 z nich, a na wycieczkę do Rzeszowa pojechało ich 28, przy czym dokładnie trzech uczniów tej klasy nie pojechało na żadną z tych dwóch wycieczek. Ile uczniów tej klasy było na obu wycieczkach: w Gdańsku i w Rzeszowie?

Ćwiczenie 3

Ile jest elementów zbioru {11, 15, 19, , 95, 99} wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3?

Ćwiczenie 4

Kasia znalazła książkę, z której ktoś wyrwał kartki. Kiedy Kasia otworzyła książkę w zniszczonej części, z lewej strony odczytała numer 98, a z prawej – 353. Ile kartek zostało wyrwanych z tej książki w tym miejscu?

Ćwiczenie 5

Wszystkich liczb dwucyfrowych, które są podzielne przez 9 lub przez 10, jest

Ćwiczenie 6

Oblicz, ile jest elementów w zbiorze:

  1. A –liczb naturalnych od 27 do 62: = {27, 28, 29, , 61, 62}

  2. B – dwucyfrowych liczb nieparzystych: = {11, 13, 15, , 97, 99}

  3. C – liczb dwucyfrowych podzielnych przez 6: = {12, 18, 24, , 90, 96}

  4. D – liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5: = {100, 105, 110, , 990, 995}

Ćwiczenie 7

Oblicz, ile jest elementów w zbiorze:

  1. A1 – liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 10 dają resztę 1: A1 = {101, 111,, 991}

  2. A3 – liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 10 dają resztę 3: A3 = {103, 113,, 993}

  3. A6 – liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 10 dają resztę 6: A6 = {106, 116,, 996}

  4. A8 – liczb trzycyfrowych, które przy dzieleniu przez 10 dają resztę 8: A8 = {108, 118,, 998}

Ćwiczenie 8

Piotruś pomagał dziadkowi porządkować książki. Zdejmując z górnej półki opasły tom starej encyklopedii, nie zdołał utrzymać książki w ręku, a ta, upadając, rozerwała się. Podnosząc część, która oddzieliła się od reszty książki, Piotruś zauważył, że na jej pierwszej stronie jest numer 306, a na ostatniej numer zapisany za pomocą tych samych cyfr. Ile kartek liczyła ta wyrwana część encyklopedii? Odpowiedź uzasadnij.

Ćwiczenie 9

Bieg uliczny ukończyło 2015 osób. Liczba zawodników, którzy przybiegli za Markiem, jest 18 razy większa od liczby tych startujących, którzy przybiegli przed nim, natomiast Jola ukończyła zawody dokładnie w połowie stawki. Ile osób zajęło w tym biegu miejsca między Markiem a Jolą?

Ćwiczenie 10

Oblicz, ile jest:

  1. wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 20.

  2. wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 4.

  3. wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 25.

  4. wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 8.

Ćwiczenie 11

Oblicz, ile jest:

  1. wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 11.

  2. wszystkich liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 17.

  3. wszystkich liczb czterocyfrowych, które dzielą się przez 19.

  4. wszystkich liczb czterocyfrowych, które dzielą się przez 23.

Ćwiczenie 12

Oblicz, ile jest liczb

  1. dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub są podzielne przez 10

  2. dwucyfrowych, które są podzielne przez 3 lub są podzielne przez 9

  3. trzycyfrowych, które są podzielne przez 5 lub są podzielne przez 15

  4. trzycyfrowych, które są podzielne przez 25 lub są podzielne przez 75

Ćwiczenie 13

Wiadomo, że wśród 100 uczestników pewnego międzynarodowego konkursu matematycznego 80 zna język angielski, 50 zna język francuski, 40 zna język niemiecki, a 21 zna język rosyjski. Wykaż, że pewien uczestnik tego konkursu, który zna język angielski, zna również:

  1. język francuski

  2. język niemiecki

  3. język rosyjski

Ćwiczenie 14

W klasie III b jest 33 uczniów, z czego 19 to chłopcy. Wiadomo, że 15 uczniów tej klasy chodzi na zajęcia kółka matematycznego. Wykaż, że w zajęciach tego kółka bierze udział co najmniej jeden chłopiec.

Ćwiczenie 15

Na piątkowe zajęcia w domu kultury zapisało się 51 osób. W tym dniu odbywają się tam tylko zajęcia koła plastycznego (od 15.00 do 17.00), na które zapisało się 38 osób, oraz zajęcia koła teatralnego (17.30 do 19.00), na które zapisało się 16 osób. Ile osób planuje uczęszczać w piątki na zajęcia obu tych kół?

Ćwiczenie 16

Oblicz, ile jest liczb

  1. dwucyfrowych, które są podzielne przez 2 lub są podzielne przez 9

  2. dwucyfrowych, które są podzielne przez 3 lub są podzielne przez 10

  3. trzycyfrowych, które są podzielne przez 6 lub są podzielne przez 75

  4. trzycyfrowych, które są podzielne przez 25 lub są podzielne przez 60

Ćwiczenie 17

Każdy z 70 uczestników warsztatów matematycznych miał określić, co chciałby robić we wtorek po kolacji. Do wyboru były zajęcia w sali gimnastycznej oraz gry i zabawy w świetlicy. 56 osób zgłosiło chęć udziału na zajęciach w sali gimnastycznej, 38 – w grach i zabawach w świetlicy, przy czym 26 osób zgłosiło się i na zajęcia w sali gimnastycznej, i na zajęcia w świetlicy. Ilu uczestników tych warsztatów postanowiło po kolacji zostać w pokoju?

Ćwiczenie 18

Ze zbioru {1, 2, 3, , 999, 1000} wszystkich liczb naturalnych od 1 do 1000 usunięto najpierw wszystkie liczby podzielne przez 4, a następnie spośród reszty usunięto wszystkie liczby podzielne przez 5. Ile liczb pozostało?

Ćwiczenie 19

Do pracy w samorządzie szkolnym zgłosiło się trzech kandydatów: A, BC. Za pomocą głosowania na szkolnej stronie internetowej przeprowadzono sondaż na temat popularności tych kandydatów. W stosownym formularzu należało dokonać wyboru, do którego zachęcano następująco: „Spośród kandydatów A, B, C wybierz tych, którzy według Ciebie zasługują na wybór do samorządu szkolnego”.
Opiekun strony internetowej przygotował raport, w którym podał, że:

  • w sondażu oddano 370 głosów,

  • na kandydata A oddano 200 głosów,

  • na kandydata B oddano 211 głosów,

  • na kandydata C oddano 134 głosy,

  • kandydata A i kandydata B wskazało 68 głosujących,

  • kandydata B i kandydata C wskazało 73 głosujących,

  • kandydata A i kandydata C wskazało 86 głosujących,

  • wszystkich trzech kandydatów wskazało 56 głosujących.

Wykaż, że w tym raporcie jest błąd.

Ćwiczenie 20

Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, które dzielą się przez 2 lub przez 3, lub przez 5.

Ćwiczenie 21

Wiadomo, że wśród 20 laureatów pewnego międzynarodowego konkursu matematycznego 15 zna język angielski, 14 zna język francuski, a 12 zna język niemiecki. Wykaż, że pewien laureat tego konkursu zna każdy z tych trzech języków.

Ćwiczenie 22

Jarek, Darek i Marek, przygotowując się do sprawdzianu z matematyki, rozwiązali wspólnymi siłami wszystkie 90 zadań poleconych przez nauczyciela. Jarek rozwiązał 70 zadań, Darek – 60, a Marek – 40. Chłopcy uznali, że zadania, które rozwiązali wszyscy, były łatwe, ale zadania rozwiązane tylko przez jedną osobę były trudne. Wykaż, że zadań trudnych było o 10 więcej niż zadań łatwych.