Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Elementy kuli

Krople rosy, bryłki gradu, ziarenka maku swoim kształtem przypominają kule.

Przykład 1

Jaka bryła powstanie w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży średnica tego półkola?

Kulę można otrzymać w wyniku obrotu półkola wokół prostej, na której leży jego średnica lub w wyniku obrotu koła wokół prostej przechodzącej przez jego środek.

Ważne!

Promień tego koła to promień kuli, a środek koła – środek kuli.
Kulę w przestrzeni definiujemy podobnie jak koło na płaszczyźnie.

Definicja: Kula

Kula to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest nie większa od długości odcinka, zwanego promieniem kuli.

W przestrzeni odpowiednikiem okręgu jest sfera.

Definicja: Sfera

Sfera to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu, zwanego środkiem, jest równa długości odcinka, zwanego promieniem sfery.

Przykład 2
Przykład 3
Definicja: Cięciwa sfery (kuli)

Cięciwa sfery (kuli) to odcinek o końcach leżących na sferze. Cięciwa przechodząca przez środek sfery (kuli), to średnica

Ćwiczenie 1

Promień kuli jest równy 8,5 dm.

  1. Określ długość średnicy kuli.

  2. Określ największą odległość dwóch punktów leżących na sferze tej kuli.

  3. Czy cięciwa tej kuli może mieć długość 16 cm, 17 cm, 18 cm?

Przekroje kuli

Przykład 4

Przetnij pomarańczę na dwie części. Jakie kształty mają tak otrzymane przekroje?

Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).

Przekrojem kuli jest koło (lub punkt). Jeśli płaszczyzna przecinająca kulę przechodzi przez jej środek, to otrzymany przekrój nazywamy kołem wielkim kuli. Płaszczyzna ta dzieli kule na dwie półkule.

Tutaj wprowadź tekst związany z wersją klasyczną (atrybut opcjonalny).
Przykład 5

Pole koła wielkiego kuli jest równe 0,16π mm2. Oblicz średnicę tej kuli.
Obliczamy promień r koła wielkiego kuli.

πr2=0,16π
r2=0,16
r=0,16
r=0,4 mm

bo

r>0

Średnica d kuli jest równa średnicy koła wielkiego.

d=20,4
d=0,8 mm

Średnica kuli jest równa 0,8 mm.

Przykład 6

Promień kuli jest równy 15 cm. W odległości 9 cm od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono przekrój. Oblicz obwód tego przekroju.

Aby obliczyć obwód przekroju, obliczymy najpierw jego promień r.
Zauważmy, że trójkąt utworzony przez promień kuli, promień przekroju i odcinek łączący przekroje kuli i prostopadły do nich, jest prostokątny.
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

r2+92=152
r2=225-81
r=144
r=12 cm

Obliczamy teraz obwód przekroju.

2πr=2π12=24π

Obwód przekroju jest równy 24π cm.

Pole powierzchni kuli

Przykład 7

Obierz pomarańczę. Czy możesz tak otrzymane skórki rozłożyć płasko na stole?

Ciekawostka

Archimedes (ok. 287  212 p.n.e.) był greckim filozofem, przyrodnikiem i matematykiem. Odkrył prawo wyporu, zwane dzisiaj prawem Archimedesa. Wynalazł między innymi organy wodne, wielokrążek, przenośnik śrubowy (urządzenie do przemieszczania materiałów sypkich lub cieczy).
Wyprowadził wzór na obliczenie pola powierzchni kuli, wykorzystując nowatorskie pomysły, które obecnie wchodzą w zakres rachunku różniczkowego i całkowego.
Archimedes wykazał, że pole powierzchni kuli jest czterokrotnie większe od pola jej koła wielkiego.

Ważne!

Pole powierzchni kuli
Pole P powierzchni kuli o promieniu R jest równe

P=4πR2
Przykład 8
Przykład 9

Na toczek w kształcie półkuli zużyto 450 cm2 filcu. Jaki obwód ma głowa osoby, dla której go wykonano?
Obliczymy promień R półkuli, w kształcie której jest toczek.

2πR2=450
πR2=225
R=225π=15π

Obliczamy obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek.

2πR=2π15π=30π303,1453

Obwód głowy osoby, dla której wykonano toczek, jest równy około 53 cm.

Objętość kuli

Przykład 10
Ważne!

Objętość kuli
Objętość V kuli o promieniu R jest równa

V=43πR3
Ciekawostka

Objętość kuli można obliczyć zgodnie z zasadą siedemnastowiecznego matematyka włoskiego Bonaventury Cavalieriego.
Na podstawie rozważań Cavaleriego można wywnioskować, że objętość półkuli o promieniu R jest równa różnicy objętości walca o promieniu podstawy R oraz wysokości R i objętości stożka o promieniu podstawy R i wysokości R.

Przykład 11

Kula z ciasta ma promień 1,2 dm. Ile ciasteczek w kształcie kulek o promieniu 2 cm każde można otrzymać z tego ciasta?
Obliczamy najpierw objętość dużej kuli ciasta.

1,2 dm = 12 cm 
V=43π123
V=43π1728
V=2304π cm3

Teraz obliczamy objętość ciasteczka.

VC=43π23
VC=323π cm2

Obliczamy, ile ciasteczek można otrzymać z dużej kuli ciasta.

2304:323=2304332=216

Z ciasta można otrzymać 216 ciasteczek.

Przykład 12

Objętość kuli jest równa 288π . Oblicz pole powierzchni tej kuli.
Obliczamy najpierw promień R kuli.

43πR3=288π /:43π
R3=216
R=2163=6

Możemy już obliczyć pole powierzchni kuli.

P=4πR2
P=4π62
P=144π

Pole powierzchni kuli jest równe 144π.

Ciekawostka
Ćwiczenie 2

Uzupełnij, wpisując odpowiednie liczby.

Tabela. Dane

Pole powierzchni kuli

o promieniu 6 jest równe

o średnicy 10 jest równe

O promieniu 0,5 jest równe

O średnicy 2 jest równe

.π 
..π 
.π 
π  
Ćwiczenie 3

Promień kuli jest równy 114 .

  1. Pole koła wielkiego tej kuli jest równe …

  2. Pole powierzchni kuli jest równe …

  3. Objętość kuli jest równa …

Ćwiczenie 4

Igloo ma kształt półkuli, której promień zewnętrzny jest równy 3 m.

Pole powierzchni zewnętrznej igloo jest równe

Ćwiczenie 5

Objętość jednej piłeczki do tenisa ziemnego wynosi 1023π cm3. Średnica tej piłeczki jest równa

Ćwiczenie 6

Średnice wewnętrzne dwóch doniczek wynoszą odpowiednio: 42 cm60 cm. W której doniczce mieści się więcej ziemi i o ile cm2 ?

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni nadmuchanego balona jest równe 9856  cm2 . Ile  m3 powietrza mieści się w tym balonie? Przyjmij π=227. Wynik podaj z dokładnością do 0,001  m3.

Ćwiczenie 8

Do pustego akwarium w kształcie półkuli wlano 4 l wody.
Akwarium wypełnione jest teraz w 90% wodą. Ile dm2 szkła użyto na jego wykonanie?

Ćwiczenie 9

Zapisz, jak zmieni się objętość kuli, gdy jej promień

  1. zwiększono dwukrotnie

  2. zwiększono pięciokrotnie

  3. zmniejszono dwukrotnie

  4. zmniejszono trzykrotnie

Ćwiczenie 10

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli, gdy

  1. średnica kuli jest równa 10 cm

  2. pole koła wielkiego jest równe 81π dm2

Ćwiczenie 11

Świeczkę w kształcie walca przetopiono na świeczkę w kształcie kuli. Oblicz promień tej kuli.
Wynik podaj z dokładnością do 0,01 cm.

Ćwiczenie 12

Promień kuli jest równy 15 cm. W jakiej odległości od płaszczyzny koła wielkiego tej kuli poprowadzono jej przekrój, jeśli obwód tego przekroju wynosi 24π?

Ćwiczenie 13

Pole powierzchni całkowitej półkuli wynosi 60π. Oblicz objętość i pole powierzchni całej kuli.

Ćwiczenie 14

Kulę o średnicy 10 cm przecięto na dwie jednakowe części. Jakie pole powierzchni ma każda z otrzymanych półkuli ?

Ćwiczenie 15

Z kuli o promieniu 5 cm odcięto czaszę w odległości 3 cm od środka kuli. Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola koła wielkiego.

Ćwiczenie 16

Przekrój osiowy kuli ma pole powierzchni równe 16π. Oblicz pole P powierzchni i objętość V tej kuli.

Ćwiczenie 17

Obwód koła wielkiego kuli jest równy 16 π. Jakie pole powierzchni ma ta kula?

Ćwiczenie 18

Koło o obwodzie 20 π obraca się wokół swojej średnicy. Jakie pole ma koło wielkie otrzymanej kuli?

Ćwiczenie 19

Jaką figurę otrzymamy, obracając okrąg wokół jego średnicy?

Ćwiczenie 20

Do pojemnika w kształcie sześcianu o krawędzi 10 cm włożono kulkę o średnicy 6 cm . Jaką część pojemności sześcianu zajmuje kula ?

Ćwiczenie 21

Do menzurki w kształcie walca o średnicy podstawy równej 12 mm wrzucono metalową kulkę o promieniu 2 mm . Ile wody należy wlać do tej menzurki, aby kulka była zakryta?

Ćwiczenie 22

Niech VK będzie objętością kuli o promieniu R, a VS objętością stożka o promieniu podstawy R oraz wysokości też R. Oblicz stosunek VK : VS .

Ćwiczenie 23

Kula i stożek mają jednakowe objętości. Kula ma promień długości 6 cm. Promień podstawy stożka ma długość 8 cm. Oblicz wysokość stożka?

Ćwiczenie 24

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.