Ćwiczenie 1

Oblicz bez użycia kalkulatora.

$209^{2}$
$297^{2}$
$203 ∙ 197$

$43681$
$88209$
$39991$

Do takich obliczeń możemy wykorzystać wzory skróconego mnożenia

$209^{2} = {(200 + 9)}^{2} = 40000 + 3600 + 81 = 43681$
$297^{2} = {(300 - 3)}^{2} = 90000 - 1800 + 9 = 88209$
$203 ∙ 197 = (200 + 3) (200 - 3) = 40000 - 9 = 39991$

Ćwiczenie 2

Wskaż równości prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ i $a$ .

RHb6DJjTGtTIv

${(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$
${(a + 5)}^{2} = a^{2} + 10 a + 25$
${(2 x - 4)}^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 16$
${(x + 3 \sqrt{2})}^{2} = x^{2} + 6 x \sqrt{2} + 18$
${(\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{4}$
$2 (x - 4) (x + 4) + 32 = 2 x^{2}$

Ćwiczenie 3

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

${(\sqrt{2} + 3)}^{2}$
${(3 - \sqrt{5})}^{2}$
${(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{2}$
${(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2}$

${(\sqrt{2} + 3)}^{2} = 11 + 6 \sqrt{2}$
${(3 - \sqrt{5})}^{2} = 14 - 6 \sqrt{5}$
${(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{2} = 30 + 12 \sqrt{6}$
${(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}$

${(\sqrt{2} + 3)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 2 ∙ 3 ∙ \sqrt{2} + 3^{2} = 11 + 6 \sqrt{2}$
${(3 - \sqrt{5})}^{2} = 3^{2} - 2 ∙ 3 ∙ \sqrt{5} + {(\sqrt{5})}^{2} = 14 - 6 \sqrt{5}$
${(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} + 2 ∙ 3 \sqrt{2} ∙ 2 \sqrt{3} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 18 + 12 \sqrt{6} + 12 = 30 + 12 \sqrt{6}$
${(\frac{1}{2} \sqrt{2} - \frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2} = {(\frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} - 2 ∙ \frac{1}{2} \sqrt{2} ∙ \frac{1}{3} \sqrt{3} + {(\frac{1}{3} \sqrt{3})}^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \sqrt{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \sqrt{6}$

Przykład 1

Zapisz sumę $x^{2} + 8 x + 16$ w postaci potęgi, wykorzystując wzór skróconego mnożenia. Sumę

x^{2} + 8 x + 16

zapiszemy w postaci kwadratu pierwszego wyrażenia, podwojonego iloczynu obu wyrażeń oraz kwadratu drugiego wyrażenia

x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 2 ∙ 4 ∙ x + 4^{2} .

Zatem

x^{2} + 8 x + 16 = x^{2} + 2 ∙ 4 ∙ x + 4^{2} = {(x + 4)}^{2} .

Sprawdź, czy wyrażenie $x^{2} + 5 x + 16$ można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń, wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

Jeśli wyrażenie

x^{2} + 5 x + 16

jest kwadratem sumy dwóch wyrażeń, to oznacza, że pierwszym wyrażeniem jest $x$ , a drugim $4$ (kwadraty tych wyrażeń to odpowiednio $x^{2}$ i $16$ ). Musimy sprawdzić, czy wyrażenie $5 x$ jest podwojonym iloczynem.

2 ∙ 4 ∙ x = 8 x \neq 5 x

Z tego wynika, że sumy $x^{2} + 5 x + 16$ nie można zapisać w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

Przykład 2

Podane wyrażenia zapisz, jeśli będzie to możliwe w postaci iloczynu, wykorzystując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$x^{2} - 25$

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb $x$ i $5$ . Zatem na podstawie wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:

x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5) .

$x^{2} - 10$

Wyrażenie jest różnicą kwadratów liczb $x$ i $\sqrt{10}$ , więc

x^{2} - 10 = x^{2} - {(\sqrt{10})}^{2} = (x - \sqrt{10}) (x + \sqrt{10}) .

$x^{2} + 4$

Wyrażenia nie można zapisać w postaci różnicy liczb rzeczywistych nieujemnych, zatem nie możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

Przykład 3

Wykaż, że liczba $29 + 12 \sqrt{5}$ jest kwadratem liczby $3 + 2 \sqrt{5}$ .
Aby przeprowadzić dowód, wystarczy wykazać, że

{(3 + 2 \sqrt{5})}^{2} = 29 + 12 \sqrt{5 .}

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia (na kwadrat sumy) otrzymamy

{(3 + 2 \sqrt{5} .)}^{2} = 9 + 2 ∙ 3 ∙ 2 \sqrt{5} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 9 + 12 \sqrt{5} + 20 = 29 + 12 \sqrt{5} .

Z tego wynika, że liczba $29 + 12 \sqrt{5}$ jest kwadratem liczby $3 + 2 \sqrt{5}$ .

Przykład 4

Znajdź liczbę postaci $a + b \sqrt{3}$ , gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi, której kwadrat jest równy $19 - 8 \sqrt{3}$ .
W znalezieniu takiej liczby pomoże wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Liczbę $8 \sqrt{3}$ możemy zapisać na przykład w postaci

8 \sqrt{3} = 2 ∙ 2 ∙ 2 \sqrt{3}

lub

8 \sqrt{3} = 2 ∙ 4 ∙ \sqrt{3},

czyli jako podwojony iloczyn liczb odpowiednio $2$ i $2 \sqrt{3}$ lub $4$ i $\sqrt{3}$ . Sprawdzimy, w którym przypadku suma kwadratów tych liczb jest równa $19$ .

Dane
jeśli przyjmiemy, że $8 \sqrt{3} = 2 ∙ 2 ∙ 2 \sqrt{3}$ , to	jeśli przyjmiemy, że $8 \sqrt{3} = 2 ∙ 4 ∙ \sqrt{3},$ to
$2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 4 + 12 \neq 19$	$4^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} = 16 + 3 = 19$

Z tego wynika, że liczbę $19 - 8 \sqrt{3}$ możemy zapisać jako ${(4 - \sqrt{3})}^{2}$ lub jako ${(\sqrt{3} - 4)}^{2} .$
Zatem istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy $19 - 8 \sqrt{3}$ . Jest to liczba $4 - \sqrt{3}$ i liczba do niej przeciwna $\sqrt{3} - 4$ .

Przykład 5

Wykaż, że liczba $\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2}$ jest całkowita.
Wykażemy, że podana liczba jest całkowita, usuwając niewymierność z mianownika ułamka. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ułamka przez takie wyrażenie, aby w mianowniku otrzymać różnicę kwadratów. Zatem

\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} ∙ \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2} = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{4 - 2} + \sqrt{2} = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 .

Liczba $2$ jest całkowita, zatem liczba $\frac{2}{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2}$ jest całkowita.

Ćwiczenie 4

Liczba $\sqrt{2} (5 \sqrt{2} - 6) + 3 (4 - 2 \sqrt{2}) - 22$ jest równa

RU7u0npurHsJv

$6 \sqrt{2}$
$0$
$- 12 \sqrt{2}$
$- 6 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 5

Dla $a = - 1$ wartość wyrażenia $a (3 a - 1) + 2 a (a - 3)$ jest równa

R17EN4iOkYdlx

$12$
$- 2$
$0$
$2$

Ćwiczenie 6

Dla dowolnej liczby $x$ wyrażenie $(3 x^{2} - 4) (2 x^{2} + 6)$ jest równe

Rt0t1uRTAuB5P

$6 x^{4} - 10 x^{2} + 24$
$6 x^{4} + 10 x^{2} + 24$
$6 x^{4} - 10 x^{2} - 24$
$6 x^{4} + 10 x^{2} - 24$

Ćwiczenie 7

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ wyrażenie $- 3 a^{2} + 3 ab + 6 b^{2}$ jest równe

Rglz7hQOuI49h

$3 (a + 2 b) (a - b)$
$- 3 (a + 2 b) (a - b)$
$- 3 (a - 2 b) (a + b)$
$3 (a - 2 b) (a + b)$

Ćwiczenie 8

Jeżeli $a = 6 x - 4$ i $b = \frac{1}{2}$ to

R15yUndBdnOsN

$\frac{1}{2} a^{2} b = 18 x^{2} - 24 x + 8$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 18 x^{2} + 8$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 9 x^{2} - 12 x + 4$
$\frac{1}{2} a^{2} b = 36 x^{2} - 48 x + 16$

Ćwiczenie 9

Dla dowolnych liczb $a$ , $b$ i $c$ wyrażenie $(a - c) (b - a) - (a - b) c$ jest równe

R1amO6KCs5uLa

$bc - a^{2}$
$ab - a^{2}$
$ac - a^{2}$
$- a^{2}$

Ćwiczenie 10

Dla pewnej liczby dodatniej $a$ podstawa trójkąta jest równa $4 a + 6$ . Wysokość opuszczona na tę podstawę jest od niej o $2 a - 2$ krótsza. Pole tego trójkąta jest równe

Rwy3qmuDKZsxh

$8 a^{2} + 20 a + 12$
$4 a^{2} + 22 a + 24$
$8 a^{2} + 44 a + 48$
$4 a^{2} + 10 a + 6$

Ćwiczenie 11

Wyrażenie $1 - 5 x^{2}$ po rozłożeniu na czynniki ma postać

RQSKCMTJZQmKQ

$(1 - \sqrt{5} x) (1 - \sqrt{5} x)$
$(1 - \sqrt{5} x) (1 + \sqrt{5} x)$
$(1 - \sqrt{5} x) (1 + 5 x)$
$(1 - 5 x) (1 + 5 x)$

Ćwiczenie 12

Wartość wyrażenia $(3 x - 2) (3 x + 2) (9 x^{2} + 4)$ dla $x = \sqrt{2}$ jest równa

R1eDsQPiTz6DM

$305$
$307$
$308$
$309$

Ćwiczenie 13

Liczba $\frac{5}{3 - 2 \sqrt{2}}$ jest równa

RIKF68O7eIdlZ

$2 \sqrt{2} + 3$
$10 \sqrt{2} + 15$
$15 + 10 \sqrt{2}$
$- 2 \sqrt{2} - 3$

Ćwiczenie 14

Oblicz w pamięci.

$7 ∙ 89$
$6 ∙ 203$
$8 ∙ 397$

$623$
$1218$
$3176$

Ćwiczenie 15

Oblicz.

$2013^{10} - 2011 ∙ 2013^{9} - 2 ∙ 2013^{9}$
$4004^{- 25} ∙ (4004^{26} - 4004^{25})$

$0$
$4003$

Ćwiczenie 16

Wykonaj mnożenie.

$(1 - 9 x) (2 + 6 x)$
$(2 x + 3) (4 - x^{2})$
$(x + y + z) (xy + y^{3} + x^{2} z)$
$\frac{1}{3} (5 y - 9) (3 y + 4)$
$(\frac{1}{3} x - \frac{2}{3}) (\frac{3}{2} x + \frac{2}{3})$
$(3 x^{2} + 2 x - 1) (2 x - 4)$
$(4 y^{3} - 2 y + 5) (y^{2} + y - 2)$
$(5 x - \sqrt{3}) (\sqrt{2} x + \sqrt{6})$
$\sqrt{3} (a - \sqrt{3}) (3 a - 4 \sqrt{3})$
$(\sqrt{3} x + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} x - \sqrt{2})$

$- 54 x^{2} - 12 x + 2$
$- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x + 12$
$x^{2} z^{2} + y^{3} z + x^{2} yz + xyz + x^{3} z + y^{4} + x y^{3} + x y^{2} + x^{2} y$
$5 y^{2} - \frac{7 y}{3} - 12$
$\frac{2}{9} x^{2} - \frac{2}{9} x - \frac{4}{9}$
${6 x}^{3} - 8 x^{2} - 10 x + 4$
$4 y^{5} + 4 y^{4} - 10 y^{3} + 3 y^{2} + 9 y - 10$
$5 \sqrt{2} x^{2} + 4 x \sqrt{6} x - 3 \sqrt{2}$
$3 \sqrt{3} a^{2} - 21 a + 12 \sqrt{3}$
$6 x^{2} + x \sqrt{6} - 2$

Ćwiczenie 17

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.

$4 a b^{3} - 2 a^{2} b + 6 ab$
$2 x^{3} y + 18 x^{2} y^{2} + 9 x y^{3}$
$4 x (x - 3) + 2 x^{2} (x - 3) - 6 x^{3} (x - 3)$
$3 a (a + 5) (a - 1) + 9 a (a - 1) (a + 3) - 6 a (a - 1) (a + 2)$
$2 {(x - 1)}^{2} (x + 3) + 4 (x - 1) {(x + 3)}^{2} + 6 (x - 1) (x + 3)$
$x^{2} y^{2} + x^{3} y + 3 xy$
$x z^{2} + xyz + x^{2} z + 3 z + x^{2} y + 3 x$

$2 ab ({2 b}^{2} - a + 3)$
$xy (2 x^{2} + 18 xy + 9 y^{2})$
$- 2 x (x - 3) (x - 1) (3 x + 2)$
$6 a (a - 1) (a + 5)$
$2 (x - 1) (x + 3) (3 x + 8)$
$xy (xy + x^{2} + 3)$
$(x + z) (xz + xy + 3)$

Ćwiczenie 18

Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego wartość liczbową dla podanej wartości $x$ .

$(2 x - 3) (3 x - 1) - 3$ dla $x = 2 \sqrt{3}$
$4 x (x - 3) + 2 x (1 - 2 x) + 3$ dla $x = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$
$3 x^{2} (2 x + 1) + x (4 - 3 x)$ dla $x = \sqrt[3]{5}$
$(4 x - 1) (2 - 3 x) - (x - 1) (x - 2)$ dla $x = - 3 \sqrt{5}$
${(2 x - 3)}^{2} + 2 (x^{2} - 4) (x^{2} + 4) - 3 (10 - 4 x)$ dla $x = 3 \sqrt{10}$
$6 (x - 1) (x + 1) + 4 (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 5) (x + 5)$ dla $x = 1 + 2 \sqrt{2}$

$6 x^{2} - 11 x$ . Dla $x = 2 \sqrt{3}$ wartość wyrażenia wynosi $72 - 22 \sqrt{3}$
$- 10 x + 3$ . Dla $x = \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ wartość wyrażenia wynosi $- 2 - 10 \sqrt{2}$
$6 x^{3} + 4 x$ . Dla $x = \sqrt[3]{5}$ wartość wyrażenia wynosi $30 + 4 \sqrt[3]{5}$
$- 13 x^{2} + 14 x - 4$ . Dla $x = - 3 \sqrt{5}$ wartość wyrażenia wynosi $- 589 - 42 \sqrt{5}$
$2 x^{4} + 4 x^{2} - 53$ . Dla $x = 3 \sqrt{10}$ wartość wyrażenia wynosi $16507$
$12 x^{2} - 92$ . Dla $x = 1 + 2 \sqrt{2}$ wartość wyrażenia wynosi $16 + 48 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 19

Każdej figurze przyporządkuj wzór opisujący jej pole.

$P = 2 a^{2} + 5 a$
$P = 2 a^{2} - \frac{5}{2} a - 3$
$P = 2 a^{2} - 3 \frac{1}{2} a - 1$
$P = 2 a^{2} + \frac{5}{2} a$
$P = 2 a^{2} - a - 6$
$P = 2 a^{2} + 3 a$
$P = 2 a^{2} - a + 6$

R1Uv06MyweiIi1
R1c8kcAiJ7Hne1
RxQphfKiBeY3M1
RwNRjLKavs2eU1
RXl2tNklDLf6V1
Ry7yFVHQMSNtG1

$a - I$
$b - II$
$c - III$
$d - IV$
$e - V$
$f - VI$
Element $g$ pozostaje bez przypisanej figury.

Ćwiczenie 20

Boki prostokąta są równe $a + 5$ i $2 a + 5$ , gdzie $a$ jest liczbą dodatnią. O ile zmieni się pole prostokąta, jeśli długość pierwszego boku zwiększymy o $3$ , a długość drugiego zmniejszymy o $4$ ? Podaj odpowiednie założenia.

Różnica pól prostokątów jest równa $(a + 5 + 3) ∙ (2 a + 5 - 4) - (a + 5) ∙ (2 a + 5) = 2 a - 17$ .

Ćwiczenie 21

Zapisz wyrażenie opisujące pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu przestawionego na rysunku. Krawędzie prostopadłościanu są równe $y + 4$ , $z + 6$ , $x + z$ , gdzie $x, y, z$ to liczby dodatnie.

R1Qy8rLf1qSla1

Rysunek prostopadłościanu o wymiarach x +z, y +4, z +6.

$P = 2 ((y + 4) (z + 6) + (y + 4) (x + z) + (x + z) (z + 6) = 2 z^{2} + 4 yz + 2 xz + 28 z + 2 xy + 12 y + 20 x + 48$

Ćwiczenie 22

Wykaż, że równość $\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2} - 1$ jest prawdziwa.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{3} + 4} ∙ \frac{2 \sqrt{3} - 4}{2 \sqrt{3} - 4} = \frac{- 6 \sqrt{3} + 10}{- 4} = \frac{- 6 (\sqrt{3} - 1) + 4}{- 4} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2} - 1$

classicmobile

Ćwiczenie 23

R1Of55WUHFgFV1

Połącz w pary.

$x^{2} - 2 x + 1$
$4 x^{2} - 1$
$4 x^{2} + 4 x + 1$
$x^{2} + 2 x + 1$
$x^{2} - 1$
$4 x^{2} - 4 x + 1$

static

Ćwiczenie 23

Połącz w pary wyrażenia, które są równe

Dane
I	$x^{2} - 2 x + 1$	$(x - 1) (x + 1)$	A
II	${4 x}^{2} - 1$	${(2 x - 1)}^{2}$	B
III	${4 x}^{2} + 4 x + 1$	${(x + 1)}^{2}$	C
IV	$x^{2} + 2 x + 1$	${(2 x + 1)}^{2}$	D
V	$x^{2} - 1$	${(x - 1)}^{2}$	E
VI	${4 x}^{2} - 4 x + 1$	$(2 x - 1) (2 x + 1)$	F

classicmobile

Ćwiczenie 24

RJLpuSBjn0SnG1

Połącz w pary wyrażenia z ich słownym opisem.

kwadrat sumy dwóch wyrażeń
suma kwadratów dwóch wyrażeń
suma odwrotności dwóch wyrażeń
odwrotność sumy dwóch wyrażeń
potrojony iloczyn dwóch wyrażeń
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń

static

Ćwiczenie 24

Niech $p$ , $q$ oznaczają wyrażenia algebraiczne. Uzupełnij tabelę tak, aby każdej nazwie zostało przyporządkowane odpowiadające jej wyrażenie.

Tabela 02.
Nazwa wyrażenia	Zapis symboliczny wyrażenia
kwadrat sumy dwóch wyrażeń	${(p + q)}^{2}$
suma kwadratów dwóch wyrażeń
suma odwrotności dwóch wyrażeń
odwrotność sumy dwóch wyrażeń
różnica kwadratów dwóch wyrażeń
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
podwojony iloczyn dwóch wyrażeń
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń
potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń

Poprawnie uzupełniona tabela.

Tabela 02.
Nazwa wyrażenia	Zapis symboliczny wyrażenia
kwadrat sumy dwóch wyrażeń	${(p + q)}^{2}$
suma kwadratów dwóch wyrażeń	$p^{2} + q^{2}$
suma odwrotności dwóch wyrażeń	$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$
odwrotność sumy dwóch wyrażeń	$\frac{1}{p + q}$
różnica kwadratów dwóch wyrażeń	$p^{2} - q^{2}$
kwadrat różnicy dwóch wyrażeń	${(p - q)}^{2}$
podwojony iloczyn dwóch wyrażeń	$2 pq$
potrojony kwadrat sumy dwóch wyrażeń	${3 (p + q)}^{2}$
potrojona suma kwadratów dwóch wyrażeń	$3 (p^{2} + q^{2})$
odwrotność różnicy kwadratów dwóch wyrażeń	$\frac{1}{p^{2} - q^{2}}$
odwrotność kwadratu różnicy dwóch wyrażeń	$\frac{1}{{(p - q)}^{2}}$
suma kwadratów odwrotności dwóch wyrażeń	$\frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{q^{2}}$

classicmobile

Ćwiczenie 25

R1TLBahpcGLGS1

Połącz w pary.

$4 + 2 \sqrt{3}$
$7 - 4 \sqrt{3}$
$9 + 4 \sqrt{2}$
$9 - 4 \sqrt{2}$
$4 - 2 \sqrt{3}$
$7 + 4 \sqrt{3}$

static

Ćwiczenie 25

Połącz w pary równe liczby.

Dane
I	$4 + 2 \sqrt{3}$	${(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}$	A
II	$7 - 4 \sqrt{3}$	${(\sqrt{3} - 1)}^{2}$	B
III	$9 + 4 \sqrt{2}$	$7 + 4 \sqrt{3}$	C
IV	$9 - 4 \sqrt{2}$	${(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}$	D
V	$4 - 2 \sqrt{3}$	${(\sqrt{3} + 1)}^{2}$	E
VI	${(2 + \sqrt{3})}^{2}$	${(2 - \sqrt{3})}^{2}$	F

Zadania generatorowe

classicmobile

Ćwiczenie 26

RHR3nj0Dl7QPM1

static

Ćwiczenie 26

Uzupełnij.
${(3 + \sqrt{5})}^{2} = \dots + \dots \sqrt{5} .$

classicmobile

Ćwiczenie 27

RBgH25Gch7PsE1

static

Ćwiczenie 27

Uzupełnij.
${(2 - \sqrt{7})}^{2} = \dots - \dots \sqrt{7} .$

classicmobile

Ćwiczenie 28

RWfesAkazvkfu1

static

Ćwiczenie 28

Uzupełnij.
$(3 - \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5}) = \dots$

Przykłady

Potęga o wykładniku wymiernym

Zadania, zadania generatorowe

Zadania generatorowe