Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Figury podobne

Ważne!

Figury, które mają ten sam kształt, ale które mogą mieć inną wielkość, nazywamy podobnymi.

Figura F jest podobna do figury G. Symbolicznie zapisujemy

F~G

Skala podobieństwa

Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2

Pierwszą z fotografii zmniejszono. Wymiary drugiej fotografii stanowią 75% odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Wymiary trzeciej fotografii stanowią 54% odpowiednich wymiarów pierwszej fotografii.
Zatem druga z fotografii jest obrazem pierwszej w skali 75:100, a trzecia jest obrazem pierwszej w skali 54:100.
Prostokąty, w kształcie których są fotografie, to figury podobne. Powiemy, że drugi jest podobny do pierwszego w skali 75100, a trzeci do pierwszego w skali 54100.

Ważne!

Skalą podobieństwa nazywamy liczbę (k>0), wyrażającą stosunek odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych.

Przykład 1

Figurę F przedstawiono w skali 1,2:1, otrzymując figurę G.

Figury FG to figury podobne. Figura F jest podobna do figury G w skali k=1012 . Figura G jest podobna do figury F w skali s=1210.

Ważne!

Niech figury FG będą podobne w skali k.
Jeśli A, B są punktami figury F, a punkty A1, B1 są odpowiadającymi im punktami figury G, to A1B1=kAB.

Ćwiczenie 3

Określ skalę podobieństwa figur.

Przykład 2

Okrąg 01 jest podobny do okręgu 02 w skali k=34. Średnica okręgu O1 jest równa 15. Oblicz pole koła, którego promień jest równy promieniowi okręgu 02.
Oznaczmy
d1 – średnica okręgu 01
d2 – średnica okręgu 02
Okrąg 01 jest podobny do okręgu 02w skali k=34. Zapisujemy wynikającą stąd proporcję i wyznaczamy średnicę drugiego z okręgów.

d1d2=k
15d2=34
3d2=60
d2=20

Średnica okręgu 02 jest równa 20, zatem promień tego okręgu wynosi 10.
Obliczamy pole koła o promieniu 10.

P=π102=100π

Pole koła jest równe 100π.

Ważne!

Każde dwie figury przystające są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi 1.

Przykład 3

Ogrodzenie zbudowane jest z elementów, z których każdy podobny jest do sąsiedniego w skali 1.

W skład porcelanowego serwisu do kawy wchodzi 6 filiżanek, podobnych jedna do drugiej w skali 1.

Przykład 4

Przykłady figur podobnych
W życiu codziennym często spotykamy się z obiektami, które przypominają figury podobne.

Ważne!

Figury geometryczne podobne to na przykład:

  • dwa dowolne odcinki,

  • dwa dowolne okręgi,

  • dwa dowolne kwadraty.

Ważne!

Każde dwa odcinki są podobne. Każde dwa okręgi są podobne. Każde dwa kwadraty są podobne.

Każde dwie kule są podobne.
Każde dwa sześciany są podobne.

Przykład 5

Na planie wykonanym w skali 1:50 dywan leżący w pokoju Wieśka jest przedstawiony jako kwadrat o przekątnej długości 8 cm. W rzeczywistości dywan leży pośrodku pokoju i jest oddalony od każdej ze ścian o 0,75 m. Oblicz pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka.
Kwadrat, w kształcie którego jest dywan leżący w pokoju Wieśka, jest podobny w skali k=50 do kwadratu przedstawiającego go na planie.
Obliczmy rzeczywistą długość d przekątnej dywanu.

d8=50
d=400 cm = 4 m

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i obliczamy długość a boku kwadratu.

d=a2
4=a2
a=42=422=22

Teraz możemy obliczyć długość x boku kwadratu, w kształcie którego jest podłoga.

x=1,5+22
x=1,5+22 m

Obliczamy pole P powierzchni podłogi – jako pole kwadratu.

P=1,5+221,5+22
P=2,25+32+32+8
P=10,25+62
P18,74m2

Pole powierzchni podłogi pokoju Wieśka jest równe około 18,74m2.

Otrzymywanie figur podobnych

Pokażemy na przykładach, jak można skonstruować figurę podobną do danej.

Przykład 6

Skonstruujemy odcinek CD podobny do danego odcinka AB w skali k=3.

Ćwiczenie 4

Narysuj dowolny czworokąt.
Zaproponuj sposób konstrukcji figury podobnej w skali k=0,5 do tego czworokąta.

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 6

Dwa odcinki podobne są w skali 4:5. Krótszy odcinek ma długość 7 cm. Suma długości tych dwóch odcinków jest równa

Ćwiczenie 7

W skali 1:2 podobny jest odcinek AB do odcinka CD, gdy

Ćwiczenie 8

Obwód okręgu O1 jest równy 6π. Promień okręgu O2 jest równy 4. Okrąg O1 jest podobny do okręgu O2 w skali

Ćwiczenie 9

Koło K o promieniu r jest podobne do koła W o promieniu w.
Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Skala podobieństwa

Długość promienia r

Długość promienia w

Obwód koła K

Obwód koła W

Pole koła K

Pole koła W

5
 
9
       
0,2
10
         
     
16π 
2π   
   
         
π 
25π 
Ćwiczenie 10

Narysuj dowolny odcinek.
Znajdź konstrukcyjnie odcinek

  1. dwa razy dłuższy

  2. cztery razy krótszy

  3. trzy razy dłuższy

Ćwiczenie 11

Narysuj trzy różne odcinki i oznacz ich długości literami a, bc. Skonstruuj odcinek takiej długości y, aby spełniona była równość

  1. ab=cy

  2. ya=cb

  3. y=abc

Ćwiczenie 12

Udowodnij, że każda figura osiowosymetryczna składa się z dwóch figur podobnych.

Ćwiczenie 13

Udowodnij, że dwusieczna kąta dzieli ten kąt na dwa katy podobne.

Ćwiczenie 14

Figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k. Figura F2 jest podobna do figury F3 w skali m. Czy figury F1F3 są podobne? Jeśli tak to, w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

Ćwiczenie 15

Figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k. Figura F2 jest przystająca do figury F3. Czy figury F1F3 są podobne? Jeśli tak, to w jakiej skali? Jeśli nie, podaj przykład.

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 17

Zaznacz każde zdanie prawdziwe.
Koło K2 jest podobne do koła K1 w skali k=3. Wycinkowi kola K1 o polu 6π odpowiada kąt środkowy o mierze 60°.

Ćwiczenie 18

Uzupełnij zdania.
Okrąg O2 jest podobny do okręgu O1 w skali 25. W okręgu O1kąt środkowy o mierze 12° jest oparty na łuku długości 2π.
Długość okręgu O1 jest równa …, zatem promień tego okręgu jest równy …
Ponieważ promień okręgu O2 jest równy …, to kąt środkowy w tym okręgu oparty na łuku długości … ma miarę 45°.

Ćwiczenie 19

Koło K2 jest podobne do koła K1 w skali k=4. Promień koła K1 jest równy 5.
Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego przez cięciwę łączącą końce dwóch prostopadłych do siebie promieni koła K2.

Ćwiczenie 20

Uzupełnij zdania.

  1. Jeśli figura F1 jest podobna do figury F2 w skali k, to F2 jest podobna do F1 w skali …

  2. Jeśli koło K jest podobne do koła M w skali …, to promienie tych kół są równe.

  3. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty podobne w skali …