Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Własności trójkątów podobnych

Wiemy już, że wielokąty podobne mają ten sam kształt. Zatem miary kątów trójkątów podobnych są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne.

Przykład 1

Trójkąty ABCDEF są podobne w skali 12.

ACDF=ABDE=BCEF=12
Tabela. Dane

Własności trójkątów podobnych

miary odpowiednich kątów są równe

stosunek długości odpowiednich boków jest równy

CAB=FDE
ABC=DEF
BCA=EFD
ACDF=ABDE=BCEF
Ważne!

Jeżeli trójkąty są podobne, to skali podobieństwa jest równy:

  • stosunek ich obwodów

  • stosunek ich odpowiednich odcinków (np. wysokości, środkowych)

Cechy podobieństwa trójkątów

Przykład 2

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
  • Cecha bok‑bok‑bok (bbb)

Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.

Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A,B,C odpowiadają wierzchołkom odpowiednio A',B',C', to

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA

oraz

A=A', B=B',C=C'.

Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=k

Zauważ, że trójkąty podobne w skali k=1 są przystające.
Podobieństwo trójkątów A'B'C' oraz ABC symbolicznie oznaczamy

A'B'C'~ABC.

Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów

Przykład 3

W trójkąt ABC o bokach długości a, b, c wpisano romb ADEF tak, jak na rysunku. Wykażemy, że długość boku tego rombu jest równa aba+b.

Przykład 4

Można wykazać, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego. Uzasadnij, że jest równy połowie boku trzeciego.
Rozważmy trójkąt ABC, w którym punkty DE są środkami boków odpowiednio ACBC oraz

CB=2a,AB=c,DE=x
Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 2

Trójkąty ABCDEF są podobne. Długości boków trójkąta ABC są równe 8, 612. Najkrótszy bok trójkąta DEF ma długość 3. Zatem najdłuższy bok trójkąta DEF.

Ćwiczenie 3

Trójkąty ABCDEF są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta ABC są równe 126°, 39°. Najmniejszy kąt trójkąta DEF ma miarę

Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy 9: 36 . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

Ćwiczenie 5

Trójkąty ABCDEF są podobne.

Zatem

Ćwiczenie 6

Odcinki BCDE są równoległe.

Zatem

Ćwiczenie 7

Odcinki BCDE są równoległe.

Zatem

Ćwiczenie 8

Zaznacz, która cecha podobieństwa trójkątów pozwala stwierdzić, czy trójkąty na rysunku są podobne.

Ćwiczenie 9

Wiadomo, że odcinki ABCD są równoległe.

Czy wtedy DMCM=MBMA?

Ćwiczenie 10

O dwóch trójkątach równoramiennych wiadomo, że mają jeden kąt równy. Czy są to więc na pewno trójkąty podobne?

Ćwiczenie 11

W trapezie ABCD podstawy ABDC mają długości 20 cm10 cm, a ramię AD ma długość 8 cm. Przedłużenia ramion przecinają się w punkcie E. Oblicz długość odcinka DE.

Ćwiczenie 12

W trójkącie ABC punkt D jest środkiem odcinka AB, punkt E leży na boku BC. Odcinki
ACDE są równoległe. Odcinek AC ma długość 22 cm, odcinek DB ma długość 8 cmCE ma długość 10 cm. Oblicz obwody trójkątów ABCDBE.

Ćwiczenie 13

W trójkącie ABC bok AB ma długość 10 cm. Na boku AC zaznaczono punkt D taki, że odcinek AD jest cztery razy dłuższy od odcinka DC. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która przecięła bok AB w punkcie E. Oblicz długość odcinków AEEB.

Ćwiczenie 14

Trójkąt A’B’C’ o obwodzie 96 dm jest podobny do trójkąta ABC o bokach długości 6 dm, 8dm, 10 dm. Najkrótszy bok trójkąta A’B’C’ ma długość:

Ćwiczenie 15

Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

Ćwiczenie 16

Narysuj dowolny trójkąt i podziel go na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi 4:9.

Ćwiczenie 17

Obrazek ma kształt trójkąta o podstawie długości 10 cm i wysokości 8 cm. Obrazek chcemy powiększyć za pomocą kserografu tak, aby wysokość tak otrzymanego trójkąta była równa 32 cm. Jaką długość będzie miała wówczas podstawa tego trójkąta ?

Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 19

W trapezie równoramiennym, którego boki mają długości 20, 12, 8, 8, przedłużono ramiona, które przecięły się w punkcie S. Oblicz odległości punktu S od obu podstaw.

Ćwiczenie 20

Dane są dwa trójkąty podobne ABC oraz A’B’C’. Podstawy tych trójkątów mają długości AB=16,8 ,A'B'=21. Wysokość CD opuszczona na bok AB ma długość 14,4. Oblicz wysokość C’D’ trójkąta A’B’C’ opuszczoną na bok A’B’.