Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Wiecie, jak wygląda wasze odbicie w lustrze, ale jak wyglądałoby, gdybyście stanęli przed wielkim zwierciadłem, którego powierzchnia odbijająca jest wewnętrzną częścią sfery? Czy potrafilibyście geometrycznie skonstruować powstały obraz, tak jak to robiliśmy w przypadku zwierciadła płaskiego?

Zwierciadło wklęsłe to szczególny rodzaj zwierciadła odbijający światło w specyficzny sposób. Ma ono bardzo szeroki zakres zastosowań i stanowi kluczowy element wielu różnych urządzeń. Stosuje się je m.in. w reflektorach samochodowych (o ściśle określonym kształcie) do uzyskiwania skupionej wiązki światła.
Już wiesz
  • podać definicję zwierciadła płaskiego i przytoczyć przykłady jego zastosowania;

  • podać treść prawa odbicia;

  • wykorzystać prawo odbicia do geometrycznej konstrukcji obrazu w zwierciadle płaskim;

  • podać definicję obrazu prostego i pozornego;

  • opisać zjawisko rozproszenia światła przy odbiciu od chropowatej powierzchni.

Nauczysz się
  • podawać definicję zwierciadła wklęsłego;

  • podawać definicję podstawowych parametrów układu optycznego zwierciadła wklęsłego, takich jak oś optyczna, promień, ognisko i ogniskowa;

  • wymieniać zastosowania zwierciadła wklęsłego;

  • opisywać obrazy powstające w zwierciadle wklęsłym, przy różnych odległościach przedmiotu od niego;

  • konstruować obrazy przedmiotu przy jego różnych odległościach od zwierciadła.

1. Zwierciadła wklęsłe

Gdy obserwujesz uważnie wewnętrzną powierzchnię metalowej łyżki lub chochli bądź też szklany reflektor latarki, możesz zauważyć, że są one wklęsłe i dobrze odbijają padające promienie świetlne. Są one przykładem zwierciadeł wklęsłych.

Przykłady zwierciadeł wklęsłych

Powierzchnia zwierciadeł wklęsłych jest częścią wewnętrznej powierzchni sfery lub innej bryły obrotowej. Zwierciadła latarek i reflektorów samochodowych mają zwykle kształt powierzchni parabolicznych.

Gdy zaczniesz obracać wokół średnicy okrąg, wówczas otrzymasz sferę (powierzchnię kuli). Gdy „odetniesz” jej fragment i sprawisz, by jej wewnętrzna część bardzo dobrze odbijała światło, wówczas uzyskasz wklęsłe zwierciadło kuliste (sferyczne).

Zapamiętaj!

2. Pojęcia i wielkości opisujące zwierciadło kuliste wklęsłe

Do opisu i wyjaśnienia powstawania obrazu przy użyciu zwierciadła kulistego wklęsłego potrzebne będą pewne pojęcia. Ich ilustrację możemy zobaczyć na poniższym rysunku:

Zwierciadło kuliste to fragment gładkiej powierzchni kuli. Jeśli wykorzystujemy jej powierzchnię wewnętrzną, to takie zwierciadło nazywamy zwierciadłem kulistym (sferycznym) wklęsłym

Skoro zwierciadło jest fragmentem powierzchni kuli, to pierwszym ważnym pojęciem charakteryzującym zwierciadło jest promień tej kuli, który nazywamy promieniem krzywizny zwierciadła.
Oś optyczna to prosta przechodząca przez środek krzywizny zwierciadła (O), pokrywająca się z jego osią symetrii. Promień krzywizny to również odcinek między punktem O a punktem, w którym oś optyczna przechodzi przez powierzchnię zwierciadła (niekiedy nazywany wierzchołkiem zwierciadła).
Ognisko zwierciadła (F) jest punktem geometrycznym, gdzie przecinają się wszystkie promienie odbite od powierzchni zwierciadła wklęsłego, które padały na niego przed odbiciem równolegle do jego osi optycznej. Ognisko leży dokładnie w połowie promienia krzywizny zwierciadła.

Ognisko zwierciadła to punkt, w którym przecinają wszystkie promienie, biegnące przed odbiciem równolegle do osi optycznej zwierciadła

Ponieważ punkt F nazywa się ogniskiem zwierciadła, to długość odcinka łączącego ten punkt z powierzchnią zwierciadła (W), wzdłuż osi optycznej, nazywamy odległością ogniskową zwierciadła.
Między ogniskową (f) a promieniem krzywizny (r) zwierciadła kulistego wklęsłego istnieje następująca zależność:

f= r2

Jednostką ogniskowej f w układzie SI jest metr.

Ciekawostka

Kuchnia słoneczna.
W krajach, gdzie nie ma energii elektrycznej lub dostęp do niej jest utrudniony, dostęp do energii słonecznej jest zaś praktycznie nieograniczony, stosuje się zwierciadła wklęsłe.

Kuchnia słoneczna, czyli sposób na obiad prawie za darmo

Korzystając z faktu, że promienie słoneczne biegnące równolegle do osi optycznej przecinają się po odbiciu od zwierciadła w jednym punkcie – jego ognisku, możemy wykorzystać ich energię do przygotowania potraw. Wystarczy, że w ognisku zwierciadła umieścimy garnek pokryty ciemną emalią, a będzie on pochłaniał energię promieniowania świetlnego i podgrzewał jedzenie. Taka kuchenka jest wystarczająca do tego, aby zagotować wodę i ugotować dowolną potrawę. W okolicach równika energia promieniowania słonecznego jest na tyle duża, że z pewnością jesteśmy w stanie nawet coś upiec.

Ciekawostka

Teleskop.

Do dzisiaj jednym z podstawowych narzędzi do prowadzenia obserwacji nieba jest teleskop

Gdyby nie zwierciadła wklęsłe, nie bylibyśmy w stanie prowadzić obserwacji nieba i badać ciał niebieskich oddalonych od nas o miliony lat świetlnych.

Zadania teleskopów to:

  • zbieranie większej ilości światła – powierzchnia obiektywu jest wiele razy większa od powierzchni źrenicy oka, co pozwala na oglądanie ciał bardzo odległych, od których tego światła przychodzi niezwykle mało;

  • zwiększanie odległości kątowej pomiędzy obiektami lub fragmentami obiektów, co pozwala na zobaczenie ich struktury.

Teleskop, przyrząd zaprojektowany przez Izaaka Newtona i używany do dziś, składa się ze zwierciadła wklęsłego, skupiającego dobiegające do niego promienie. Padają one potem na kolejne zwierciadło (płaskie) zmieniające kierunek biegu promieni świetlnych do okularu, a potem do naszego oka. Teleskopy tego typu używane są zarówno przez astronomów amatorów, jak i w największych obserwatoriach astronomicznych świata. Największe zwierciadła teleskopów na świecie mają średnice 5 lub 6 m. Są one wykonane z jednego bloku szkła. Większe teleskopy mają średnice dochodzące do 10 m, ale składają się z wielu segmentów. Projektowany największy teleskop ma mieć średnicę 39 m i składać się będzie z prawie 800 luster.

3. Powstawanie obrazu w zwierciadłach wklęsłych

Jak powstaje obraz w zwierciadle wklęsłym kulistym? Zmieniając odległość zwierciadła od przedmiotów, uzyskujesz różne obrazy – odwrócone, proste, pomniejszone, powiększone... lub czasami nie jesteś w stanie uzyskać żadnego obrazu.
Na pytanie, jak powstaje obraz w tego typu zwierciadłach, znajdziesz odpowiedź, posługując się poniższą aplikacją.

Obraz w zwierciadle wklęsłym
Zapamiętaj!

Promień świetlny jest linią, wzdłuż której rozchodzi się światło. W celu geometrycznej konstrukcji obrazu, między innymi w zwierciadłach, posługujemy się tzw. promieniami konstrukcyjnymi. W zwierciadle kulistym wklęsłym będą to:

  1. promień równoległy do osi optycznej, który po odbiciu przechodzi przez ognisko zwierciadła F. Bieg tego promienia wynika z definicji ogniska;

  2. promień zgodny z promieniem krzywizny zwierciadła, przechodzący przez środek krzywizny zwierciadła O, po odbiciu biegnie tym samym torem. Wynika to z faktu, że kąt padania na powierzchnię zwierciadła jest równy zero;

  3. promień przechodzący przez ognisko zwierciadła F po odbiciu od zwierciadła biegnie równolegle do osi optycznej. Podobnie jak w punkcie 1) wynika to z definicji ogniska.

Doświadczenie 1

Analiza sposobu powstawania obrazów w zwierciadle kulistym wklęsłym.

Instrukcja

Umieść po kolei przedmiot:

  1. W ognisku zwierciadła.

  2. Za środkiem krzywizny zwierciadła.

  3. Między środkiem krzywizny zwierciadła a ogniskiem.

  4. Między ogniskiem a powierzchnią zwierciadła.

Czy i jaki obraz powstaje przy każdym położeniu?

Podsumowanie

Jak widzisz, w zależności od położenia przedmiotu powstaje jego różny obraz obserwowany w zwierciadle kulistym wklęsłym. Może to być obraz pozorny (powstający za powierzchnią zwierciadła) lub rzeczywisty (powstający przed powierzchnią zwierciadła), pomniejszony lub powiększony, prosty lub odwrócony.
Obraz punktu powstaje w miejscu, gdzie się przetną promienie po odbiciu od zwierciadła (obraz rzeczywisty) lub w tam, gdzie przetną się przedłużenia promieni odbitych (obraz pozorny – podobnie jak w zwierciadle płaskim).

Cechy obrazu w zwierciadłach kulistych wklęsłych

Położenie przedmiotu (x)

Położenie obrazu (y)

Cechy obrazu powstałego w zwierciadle wklęsłym

odległość przedmiotu mniejsza od ogniskowej

< f

obraz za zwierciadłem

pozorny, prosty, powiększony

odległość przedmiotu równa się ogniskowej

= f

po odbiciu promienie świetlne biegną równolegle do siebie

brak obrazu

odległość przedmiotu jest większa od ogniskowej i mniejsza od podwójnej ogniskowej < x < 2f lub < x < r

> r

rzeczywisty, odwrócony, powiększony

odległość przedmiotu równa jest podwójnej ogniskowej = 2f lub = r

= r

rzeczywisty, odwrócony, ma takie same rozmiary jak przedmiot

odległość przedmiotu większa od podwójnej ogniskowej > 2f lub > r

< y < r

rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony

Ciekawostka

Zwierciadło wypukłe.
W tym podrozdziale poznaliście zwierciadła wklęsłe. Ale nie jest to jedyny typ zwierciadeł o krzywej powierzchni, od której odbija się światło. Zapewne nie raz zdarzyło ci się przeglądać w bombce choinkowej. Jest to także zwierciadło. Jeżeli bombka ma kształt kuli, to jest to zwierciadło kuliste wypukłe.

Odbicie w bombce choinkowej jako przykład odbicia w zwierciadle kulistym wypukłym

Nie tylko powierzchnia bombki choinkowej może być zwierciadłem wypukłym, może nim być równie dobrze sferyczna część chochli lub łyżki.

Polecenie 1

Na kartce papieru narysuj oś optyczną, zaznacz środek krzywizny O i z tego punktu zakreśl przy pomocy cyrkla łuk okręgu. Zaznacz położenie ogniska F. Niech przedmiotem, którego obraz będziesz konstruował, stanie się odcinek AB (prostopadły do osi optycznej, punkt A leży na tej osi). Następnie umieść ten „przedmiot” na rysunku po kolei w odległości &gt; r; = r; r&gt; x &gt; f; = f; x&lt;f i dla każdego przypadku wykonaj konstrukcję obrazu punktu A. Na końcu sprawdź, czy otrzymane obrazy spełniają relacje podane w tabelce powyżej.

4. Powiększenie

Obraz otrzymany za pomocą zwierciadła wklęsłego może być mniejszy od przedmiotu, większy od niego lub być takiej samej wielkości. Mówimy, że obraz może mieć różne powiększenie.

Zapamiętaj!

Powiększenie p definiujemy jako stosunek wysokości powstałego obrazu h2 do wysokości przedmiotu h1.

p= h2h1

Nazywamy je powiększeniem liniowym, jest ono wielkością bezwymiarową.

Polecenie 2

Oblicz wysokość przedmiotu, jeśli jego obraz powstały w zwierciadle wklęsłym kulistym ma 5 cm wysokości, a powiększenie wynosi 0,5?

Podsumowanie

  • Zwierciadło kuliste wklęsłe jest zwierciadłem, którego powierzchnia odbijająca promienie świetlne jest wewnętrzną powierzchnią części kuli.

  • Układ optyczny zwierciadła kulistego (sferycznego) wklęsłego opisuje:

    • oś optyczna – prosta przechodząca przez środek krzywizny zwierciadła, czyli przez środek sfery, z której powstało, łącząca środek krzywizny zwierciadła z jego wierzchołkiem;

    • promień krzywizny zwierciadła – odcinek między środkiem krzywizny zwierciadła a punktem, w którym oś optyczna przechodzi przez powierzchnię zwierciadła;

    • ognisko zwierciadła – punkt na osi optycznej, w którym przecinają się promienie odbite od zwierciadła, które były przed odbiciem równoległe do osi optycznej. Punkt ten leży w połowie promienia krzywizny zwierciadła;

    • ogniskowa – długość odcinka położonego na osi optycznej i łączącego ognisko z powierzchnią zwierciadła.

  • Ogniskową f z promieniem zwierciadła wklęsłego r kulistego łączy związek f= r2Jednostką ogniskowej f w układzie SI jest metr.

  • Promień świetlny jest linią, wzdłuż której rozchodzi się światło. W celu geometrycznej konstrukcji obrazu, między innymi w zwierciadłach, posługujemy się tzw. promieniami konstrukcyjnymi. W zwierciadle kulistym wklęsłym będą to:

    • promień równoległy do osi optycznej, który po odbiciu przechodzi przez ognisko zwierciadła F;

    • promień zgodny z promieniem krzywizny zwierciadła, przechodzący przez środek krzywizny zwierciadła O, po odbiciu powraca tym samym torem, którym przybył;

    • promień przechodzący przez ognisko zwierciadła F, po odbiciu opuszcza zwierciadło torem równoległym do osi optycznej.

  • Zwierciadła wklęsłe znalazły zastosowanie jako reflektory w lampach samochodowych, latarkach, antenach i teleskopach astronomicznych.

  • Powiększenie (p) definiujemy jako stosunek wysokości powstałego obrazu przedmiotu (h2) do wysokości przedmiotu (h1).
    p= h2h1

  • Powiększenie jest wielkością bezwymiarową.

Praca domowa
Polecenie 3.1

Wykonaj konstrukcję obrazu przedmiotu znajdującego się pomiędzy środkiem zwierciadła a ogniskiem.

Polecenie 3.2

Jaki obraz powstaje w zwierciadle wklęsłym kulistym, gdy przedmiot umieścimy między ogniskiem a wierzchołkiem zwierciadła?

Polecenie 3.3

Uzasadnij, dlaczego kąt padania i kąt odbicia promienia biegnącego wzdłuż promienia krzywizny mają wartości równe zero.

Polecenie 3.4

Poszukaj w Internecie informacji o budowie różnych teleskopów zwierciadlanych.

Słowniczek

bryła obrotowa

– bryła geometryczna powstała wskutek obrotu figury płaskiej wokół pewnej osi.

ognisko zwierciadła

– punkt na osi optycznej, w którym skupiają się promienie odbite od zwierciadła, które biegły przed odbiciem równolegle do osi optycznej. Punkt ten leży w połowie promienia krzywizny zwierciadła.

ogniskowa zwierciadła

– odległość ogniska od zwierciadła.

oś optyczna

– prosta przechodząca przez środek krzywizny zwierciadła, czyli przez środek sfery, z którego powstało, oraz przez wierzchołek zwierciadła.

powiększenie

– stosunek (p) wysokości powstałego obrazu (h2) do wysokości przedmiotu (h1). Jest to wielkość bezwymiarowa. Obraz powiększony ma powiększenie &gt; 1, obraz pomniejszony ma powiększenie &lt; 1.

promień krzywizny zwierciadła

– odcinek między środkiem krzywizny zwierciadła a punktem, w którym oś optyczna przebija powierzchnię zwierciadła.

zwierciadło wklęsłe

– część wewnętrznej, gładko wypolerowanej powierzchni sfery, elipsoidy lub innej bryły obrotowej, wykonanej zwykle z metalu lub szkła pokrytego cienką warstwą metalu.

Zadania podsumowujące lekcję

Ćwiczenie 1
Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3