Przeczytaj

Na lekcji pokażemy całą kolekcję równań trygonometrycznych, do rozwiązania których będziemy wykorzystywać wszystkie poznane dotychczas wzory i metody.

Przypomnijmy najpierw najbardziej typowe strategie rozwiązywania równań trygonometrycznych:

Zawsze na początku piszemy, co jest dziedziną równania, czyli jaki jest zbiór elementów, dla których równanie ma sens.
Każde równanie staramy się sprowadzić do postaci: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ lub $tg x = a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą rzeczywistą.
Bardzo wygodną postacią równania, która ułatwia rozwiązanie równań, jest taka postać, aby po jednej stronie równania znajdował się iloczyn wyrażeń trygonometrycznych, a po drugiej liczba 0.
Częstym motywem dla bardziej złożonych równań jest wprowadzenie podstawienia, które sprowadza równanie trygonometryczne do postaci równanie kwadratowego, wielomianowego lub wymiernego.
W bardziej złożonych zadaniach musimy skorzystać z poznanych wzorów na: funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów, funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu, sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych.

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

sinus sumy argumentów

\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

sinus różnicy argumentów

\sin (x - y) = \sin x \cdot \cos y - \cos x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

cosinus sumy argumentów

\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

cosinus różnicy argumentów

\cos (x - y) = \cos x \cdot \cos y + \sin x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

tangens sumy argumentów

tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}

gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

tangens różnicy argumentów

tg (x - y) = \frac{tg x - tg y}{1 + tg x tg y}

gdy $x \neq \frac{π}{2} + k π, y \neq \frac{π}{2} + k π, x - y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Funkcje trygonomeryczne podwojonego argumentu

sinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tangens podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{π}{4} + \frac{π}{2} k$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

suma oraz różnica sinusów

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

suma oraz różnica cosinusów

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

suma oraz różnica tangensów

tg x + tg y = \frac{\sin (x + y)}{\cos x \cos y}

tg x - tg y = \frac{\sin (x - y)}{\cos x \cos y}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos x \neq 0$ i $\cos y \neq 0$

Przykład 1

Zapoznaj się z poniższym filmem. Zwróć uwagę w przykładach 2 i 3 na zapisanie założeń. W przykładzie 2 zastosowano charakterystyczne podstawienie prowadzące do równania kwadratowego. W przykładzie 3 zwróć ponadto uwagę na zastosowanie wzoru na różnicę sinusów do przekształcenia równania.

R169UPK0Au8d2

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCOv7sROl

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący rozwiązywania równań z funkcją sinus.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $\sin 3 x \cdot \sin 5 x = \cos 4 x \cdot \cos 2 x$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że problemem w tym zadaniu są iloczyny funkcji trygonometrycznych, które znajdują się po obu stronach równania. Nie spotkaliśmy się dotąd ze wzorem, który zamieniałby tego typu iloczyn na inne wyrażenie.

Ale we wzorze na różnicę cosinusów mamy:

$\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2}$ .

Stąd mamy $\sin \frac{α + β}{2} \sin \frac{α - β}{2} = \frac{1}{2} (\cos β - \cos α)$ .

Jeżeli zapiszemy, że $x = \frac{α + β}{2}$ i $y = \frac{α - β}{2}$ , to $α = x + y$ i $β = x - y$ .

Zatem $\sin x \sin y = \frac{1}{2} (\cos (x - y) - \cos (x + y))$ .

Analogicznie możemy wyprowadzić wzór: $\cos x \cos y = \frac{1}{2} (\cos (x + y) + \cos (x - y))$ .

Wykorzystajmy te zależności do rozwiązania zadania:

$\frac{1}{2} (\cos (5 x - 3 x) - \cos (5 x + 3 x)) = \frac{1}{2} (\cos (4 x + 2 x) + \cos (4 x - 2 x))$ ,

$\cos 2 x - \cos 8 x = \cos 6 x + \cos 2 x$ ,

$\cos 6 x + \cos 8 x = 0$ .

Stosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów:

$2 \cos \frac{6 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{8 x - 6 x}{2} = 0$ ,

$\cos 7 x \cdot \cos x = 0$ .

Zatem otrzymujemy:

$\cos 7 x = 0$ lub $\cos x = 0$ .

$7 x = \frac{π}{2} + k π$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Odpowiedź: $x = \frac{π}{14} + \frac{k π}{7}$ lub $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Zapoznaj się z filmem. Zwróć uwagę na metodę podstawiania zastosowaną w przykładzie 2. W przykładzie 3 został wykorzystany wzór, który pojawił się w zadaniu 2.

RRzK8x63EJWyC

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCOv7sROl

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący rozwiązywania równań z funkcją cosinus.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie: $\sin^{2} x + \sin^{2} 2 x = \sin^{2} 3 x + \sin^{2} 4 x$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy z przekształconego wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątawzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ .

Otrzymamy wówczas:

$\frac{1 - \cos 2 x}{2} + \frac{1 - \cos 4 x}{2} = \frac{1 - \cos 6 x}{2} + \frac{1 - \cos 8 x}{2}$ .

Po uproszczeniu otrzymujemy:

$\cos 2 x + \cos 4 x = \cos 6 x + \cos 8 x$ .

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów:

$2 \cos 3 x \cdot \cos x - 2 \cos 7 x \cdot \cos x = 0$ .

Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias i korzystamy ze wzoru na różnicę cosinusówwzoru na różnicę cosinusów:

$2 \cos x \cdot (\cos 3 x - \cos 7 x) = 0$ ,

$2 \cos x \cdot (- 2 \sin 5 x \cdot \sin (- 2 x)) = 0$ .

Korzystając z postaci iloczynowej, otrzymujemy:

$\cos x = 0$ lub $\sin 5 x = 0$ lub $\sin 2 x = 0$ .

Stąd mamy:

$x = \frac{π}{2} + k π$ lub $x = \frac{k π}{5}$ lub $x = \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Otrzymujemy zatem odpowiedź: $x = \frac{k π}{5}$ lub $x = \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

cosinus podwojonego kąta

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

wzory na sumę oraz różnicę sinusów

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cdot \cos \frac{x + y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2}

\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x - y}{2}

dla dowolnych $x, y \in ℝ$

Wprowadzenie

Animacja

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów

sinus sumy argumentów

sinus różnicy argumentów

cosinus sumy argumentów

cosinus różnicy argumentów

tangens sumy argumentów

tangens różnicy argumentów

Funkcje trygonomeryczne podwojonego argumentu

sinus podwojonego kąta

cosinus podwojonego kąta

tangens podwojonego kąta

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

suma oraz różnica sinusów

suma oraz różnica cosinusów

suma oraz różnica tangensów

Słownik