Obliczanie długości boków w trójkącie prostokątnym
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa Jednym z ważniejszych twierdzeń w matematyce jest twierdzenie zwane dzisiaj twierdzeniem Pitagorasa. Twierdzenie to prawdopodobnie znali już starożytni Egipcjanie, Chińczycy i Hindusi. Starożytni Grecy jego odkrycie i dowód przypisywali greckiemu matematykowi Pitagorasowi .
Ciekawostka
Pitagoras to grecki filozof i matematyk, urodzony około r. p.n.e. Założył szkołę filozoficzną, która przekształciła się w związek pitagorejski. Pitagoras i jego uczniowie zajmowali się wieloma dziedzinami wiedzy. Dokonali też wielu odkryć matematycznych, np. udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa kątowi półpełnemu. Jako pierwsi wyodrębnili liczby parzyste i nieparzyste, odkryli liczby niewymierne, wprowadzili pojęcie podobieństwa figur. Sformułowali zasady budowy wielościanów foremnych.
Przykład 1
REH7Y5VzfEg6Z1
Animacja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Na przeciwprostokątnej trójkąta zbudowany kwadrat A B E D. Na przyprostokątnych zbudowane kwadraty A C G F i B C J H. Kwadrat B C J H jest podzielony na trójkąt prostokątny i trzy czworokąty, każdy ma jeden kąt prosty. Kwadrat A C G F nie jest podzielony. Następnie umieszczamy wszystkie elementy kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Konstrukcja ta jest dowodem twierdzenia Pitagorasa.
Animacja przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Na przeciwprostokątnej trójkąta zbudowany kwadrat A B E D. Na przyprostokątnych zbudowane kwadraty A C G F i B C J H. Kwadrat B C J H jest podzielony na trójkąt prostokątny i trzy czworokąty, każdy ma jeden kąt prosty. Kwadrat A C G F nie jest podzielony. Następnie umieszczamy wszystkie elementy kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Konstrukcja ta jest dowodem twierdzenia Pitagorasa.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Na podstawie wykonanego ćwiczenia możemy stwierdzić, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Odkryta przez nas własność nosi nazwę twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie to można sformułować też inaczej, wykorzystując zależność między długościami boków trójkąta prostokątnego.
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie: Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli i są długościami przyprostokątnych, zaś długością przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, to zachodzi związek
RC5nyXiDt9Yl51
Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
O dowodach twierdzenia Pitagorasa Znanych jest wiele dowodów twierdzenia Pitagorasa, zarówno geometrycznych, jak i algebraicznych. Oryginalne dowody tego twierdzenia podało wiele znanych postaci historycznych, niezwiązanych bezpośrednio z matematyką, np. jeden z prezydentów Stanów Zjednoczonych, Leonardo da Vinci, francuski pisarz Ernest Renan.
A
Ćwiczenie 1
Przekształć kwadraty zbudowane na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego w równoległoboki. Zauważ, że pola tych równoległoboków są takie same jak pola kwadratów, z których powstały. Otrzymane równoległoboki przekształć w prostokąty. Przesuń prostokąty, tak aby pokryły w całości kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej. Sformułuj wniosek.
REWvtDjVTeAqA1
Animacja prezentuje w ośmiu krokach dowód, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego A B C, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. Dany jest trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. W pierwszym kroku konstrukcji kwadraty zbudowane na przyprostokątnych zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawach równych przeciwprostokątnej trójkąta A B C i polach równych polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W kolejnym kroku równoległoboki zostały przekształcone w prostokąty, których pola są takie same jak pola równoległoboków, gdyż mają takie same podstawy i wysokości. W ostatnim kroku prostokąty umieszczono w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Tak wykonana konstrukcja twierdzenia Pitagorasa pochodzi od Euklidesa, który ok. 330 roku przed naszą erą udowodnił to twierdzenie.
Animacja prezentuje w ośmiu krokach dowód, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego A B C, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta. Dany jest trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. W pierwszym kroku konstrukcji kwadraty zbudowane na przyprostokątnych zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawach równych przeciwprostokątnej trójkąta A B C i polach równych polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W kolejnym kroku równoległoboki zostały przekształcone w prostokąty, których pola są takie same jak pola równoległoboków, gdyż mają takie same podstawy i wysokości. W ostatnim kroku prostokąty umieszczono w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Tak wykonana konstrukcja twierdzenia Pitagorasa pochodzi od Euklidesa, który ok. 330 roku przed naszą erą udowodnił to twierdzenie.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
ioVHB3V81J_d5e212
A
Ćwiczenie 2
Sprawdź, że dla trójkąta ostrokątnego teza twierdzenia Pitagorasa nie zachodzi. Elementy kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta ostrokątnego nie mieszczą się w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku.
RKD1BIosu5YB41
Animacja prezentuje trójkąt ostrokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Kwadraty zbudowane na dwóch krótszych bokach zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawie równej najdłuższemu bokowi trójkąta A B C i polom równym polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W trakcie tworzenia równoległoboków z kwadratów nie zmieniły się ich wysokości. Ostatecznie równoległoboków nie udało się umieścić w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku trójkąta ostrokątnego. Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta nie jest równa polu kwadratu zbudowanego na trzecim boku.
Animacja prezentuje trójkąt ostrokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Kwadraty zbudowane na dwóch krótszych bokach zostały przekształcone w równoległoboki, o podstawie równej najdłuższemu bokowi trójkąta A B C i polom równym polom kwadratów, z których powstały, ponieważ mają wspólne podstawy. W trakcie tworzenia równoległoboków z kwadratów nie zmieniły się ich wysokości. Ostatecznie równoległoboków nie udało się umieścić w kwadracie zbudowanym na najdłuższym boku trójkąta ostrokątnego. Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na dwóch bokach trójkąta nie jest równa polu kwadratu zbudowanego na trzecim boku.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Można udowodnić, że suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku tylko w przypadku trójkątów prostokątnych. Dla trójkątów ostrokątnych oraz trójkątów rozwartokątnych równość ta nie zachodzi.
RUbnLZOKCHucj1
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód twierdzenia Pitagorasa. Dany jest kwadrat A B C D o boku długości a +b. Na bokach kwadratu umieszczone są cztery przystające trójkąty prostokątne o bokach długości a, b i c. Na przeciwprostokątnych tych trójkątów powstał kwadrat o boku c. Pole tego kwadratu jest równe c do potęgi drugiej. W kolejnym kroku, wzdłuż boków kwadratu A B C D, przesuwamy dwa trójkąty prostokątne do pozostałych dwóch trójkątów. Powstały dwa prostokąty o bokach a i b oraz kwadrat o boku b i kwadrat o boku a. Kwadrat o boku c przekształcił się w dwa kwadraty o bokach a i b. Stąd, a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat. Zależność ta wyraża ona własność znaną jako twierdzenie Pitagorasa: Suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego kwadratu.
Animacja prezentuje w siedmiu krokach dowód twierdzenia Pitagorasa. Dany jest kwadrat A B C D o boku długości a +b. Na bokach kwadratu umieszczone są cztery przystające trójkąty prostokątne o bokach długości a, b i c. Na przeciwprostokątnych tych trójkątów powstał kwadrat o boku c. Pole tego kwadratu jest równe c do potęgi drugiej. W kolejnym kroku, wzdłuż boków kwadratu A B C D, przesuwamy dwa trójkąty prostokątne do pozostałych dwóch trójkątów. Powstały dwa prostokąty o bokach a i b oraz kwadrat o boku b i kwadrat o boku a. Kwadrat o boku c przekształcił się w dwa kwadraty o bokach a i b. Stąd, a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat. Zależność ta wyraża ona własność znaną jako twierdzenie Pitagorasa: Suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego kwadratu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2
Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano prostokąty. Zmieniaj wielkość tych prostokątów. Porównuj w każdym przypadku sumę pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych z polem prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Co zauważasz? W przypadku odpowiednich prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego również spełniony jest związek wynikający z twierdzenia Pitagorasa. Okazuje się, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy dowolne wielokąty podobne (czyli takie, że jeden z nich jest obrazem drugiego w pewnej skali), to suma tych pól, które są zbudowane na przyprostokątnych, jest równa polu tego wielokąta, który jest zbudowany na przeciwprostokątnej.
RDHY8V73hTNlX1
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Wiemy, że na podstawie twierdzenia Pitagorasa, suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W kolejnych krokach, proporcjonalnie, przekształcamy kwadraty zbudowane na bokach trójkąta A B C w prostokąty o jednym boku pokrywającym się z bokiem trójkąta. Zauważamy, że suma pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych nadal jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Po zmierzeniu podstaw prostokątów (podstawy to boki równoległe do boków trójkąta) odczytujemy stosunek długości wysokości każdego z prostokątów do długości jego podstawy. Z obliczeń wynika, że te stosunki długości tych odcinków dla wszystkich prostokątów są jednakowe. Oznacza to, że prostokąty są podobne. Jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy prostokąty podobne, wówczas suma pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano kwadraty. Wiemy, że na podstawie twierdzenia Pitagorasa, suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W kolejnych krokach, proporcjonalnie, przekształcamy kwadraty zbudowane na bokach trójkąta A B C w prostokąty o jednym boku pokrywającym się z bokiem trójkąta. Zauważamy, że suma pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych nadal jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej. Po zmierzeniu podstaw prostokątów (podstawy to boki równoległe do boków trójkąta) odczytujemy stosunek długości wysokości każdego z prostokątów do długości jego podstawy. Z obliczeń wynika, że te stosunki długości tych odcinków dla wszystkich prostokątów są jednakowe. Oznacza to, że prostokąty są podobne. Jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy prostokąty podobne, wówczas suma pól prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu prostokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
A
Ćwiczenie 3
Zmieniaj odpowiednio kształt i wielkość wielokątów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego. Sprawdź, że dla pól tych wielokątów spełniony jest związek między polami wielokątów, wynikający z twierdzenia Pitagorasa.
R1NNwkBAx7jRr1
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano wielokąty. W kolejnych przekształceniach obserwujemy sumę pól dwóch wielokątów zbudowanych na przyprostokątnych, pole wielokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej oraz jeden z kątów odpowiadających wielokątów. Zauważamy, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy wielokąty podobne, wówczas suma pól wielokątów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu wielokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Animacja prezentuje trójkąt prostokątny A B C, na bokach którego zbudowano wielokąty. W kolejnych przekształceniach obserwujemy sumę pól dwóch wielokątów zbudowanych na przyprostokątnych, pole wielokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej oraz jeden z kątów odpowiadających wielokątów. Zauważamy, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy wielokąty podobne, wówczas suma pól wielokątów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta jest równa polu wielokąta zbudowanego na przeciwprostokątnej.
