Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku
Definicja: definicja ogólna prawdopodobieństwa

W doświadczeniu losowym określimy zbiór zdarzeń elementarnych

Ω=w1,w2,w3,...,wn,

a zdarzeniom elementarnym w1,w2,w3,...,wn przypiszemy takie liczby nieujemne odpowiednio p1,p2,p3,...,pn, że p1+p2+p3+...+pn=1. Wówczas prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia AΩ nazywamy liczbę PA, która jest sumą prawdopodobieństw przypisanych do zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.

Definicja: Dominanta

Dominantą (modą, wartością najczęstszą) nazywamy tę wartość, która występuje w próbie najczęściej.

Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

Definicja: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz prostą k, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny p. Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym l na płaszczyznę p.

Definicja: k‑elementowa kombinacja zbioru n‑elementowego

Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego (0k n) nazywa się zwyczajowo k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego.

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Rozpatrzmy doświadczenie losowe, w którym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a Ω jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem PA zdarzenia AΩ nazywamy wówczas iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:

PA=AΩ.
editor.block.RuleProperty: Liczba elementów sumy n zbiorów rozłącznych

Jeżeli zbiory A1,A2,...,An są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru A1A2...An jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów A1,A2,...,An:
A1A2...An=A1+A2+...+An.
Regułę, która jest zapisana w powyższym wzorze, nazywamy regułą dodawania.

Twierdzenie: liczba k‑elementowych kombinacji zbioru n‑elementowego

Liczba nk wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego jest równa

n!k!n-k!=nn-1n-2...n-k+1kk-1k-2...1.
Definicja: liczba k–elementowych podzbiorów zbioru n–elementowego

Rozpatrzmy zbiór A=a1,a2,...,an, który ma (n1) elementów.
Symbolem nk oznaczamy liczbę jego wszystkich podzbiorów k–elementowych (k0kn) .
Zapis symboliczny nk odczytujemy „n po k”, stąd np.:

  • 52 czytamy „pięć po dwa”,

  • 71 czytamy „siedem po jeden”,

  • 60 czytamy „sześć po zero”.

editor.block.RuleProperty: liczba k‑wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego jest równa

nn-1n-2n-k+1k czynników
editor.block.RuleProperty: liczba k‑wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich k– wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n– elementowego jest równa nk.

Definicja: Mediana

Medianą (wartością środkową) uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n liczb x1x2x3xn jest:

  • dla nieparzystej liczby n środkowy wyraz ciągu, czyli wyraz xn+12,

  • dla parzystej liczby n średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu, czyli 12(xn2+xn2+1).

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym liczb x1, x2, , xn nazywamy liczbę

x1-x-+x2-x-++xn-x-n
Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym σ liczb x1, x2, , xn nazywamy liczbę

σ=(x1-x-)2+(x2-x-)2++(xn-x-)2n

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem σ2, czyli

σ2=(x1-x-)2+(x2-x-)2++(xn-x-)2n
Twierdzenie: o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Jeżeli płaszczyzna przecina każdą z dwóch płaszczyzn równoległych, to otrzymane krawędzie przecięcia są prostymi równoległymi.

Twierdzenie: o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Jeżeli dwie różne płaszczyzny p1p2 mają wspólne dwa różne punkty AB, to prosta AB leży zarówno w płaszczyźnie p1, jak i w płaszczyźnie p2. Mówimy wtedy, że prosta AB jest krawędzią przecięcia tych płaszczyzn.
W przestrzeni istnieją również pary płaszczyzn, które nie mają punktów wspólnych.

Twierdzenie: o prawdopodobieństwie sumy dwóch zdarzeń

Załóżmy, że A oraz B są zdarzeniami ze zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Wtedy prawdopodobieństwo sumy AB zdarzeń A oraz B wyraża się wzorem

PAB=PA+PB-PAB,

gdzie AB to zdarzenie, które jest iloczynem (częścią wspólną) zdarzeń A, B.

Twierdzenie: o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego

Załóżmy, że A jest zdarzeniem ze zbioru zdarzeń elementarnych Ω. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A’, przeciwnego do A, wyraża się wzorem

PA'=1-PA.
Twierdzenie: o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz dwie zawarte w tej płaszczyźnie proste lm, które przecinają się w punkcie O. Jeżeli prosta k przebija płaszczyznę p w punkcie O tak, że jest prostopadła zarówno do prostej m, jak i do prostej l, to jest ona prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie p i przechodzącej przez punkt O.

Definicja: Ostrosłup

Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Reguła: o trzech prostych prostopadłych

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz prostą k, która przebija tę płaszczyznę w punkcie P. Oznaczmy przez  l prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę p.
Wówczas dowolna prosta m leżąca w płaszczyźnie p jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.

Dowód

Rozpatrzmy na prostej k punkt K różny od P. Jego rzutem prostokątnym jest punkt L, który leży na prostej l.

Wtedy prosta KL jest prostopadła do płaszczyzny p, a więc każda płaszczyzna, która zawiera prostą KL, jest prostopadła do p. Jedną z takich płaszczyzn jest ta, którą wyznaczają proste kl. Nazwijmy tę płaszczyznę p’.
Rozpatrzmy prostą n leżącą w płaszczyźnie p’, przechodzącą przez punkt P i równoległą do KL.

Ponieważ prosta n jest prostopadła do płaszczyzny p, więc jest również prostopadła do prostej m.
Zatem:

  • jeżeli m jest także prostopadła do k, to jest prostopadła do płaszczyzny p’ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: n oraz k), zatem i do prostej l,

  • jeżeli m jest także prostopadła do l, to jest prostopadła do płaszczyzny p’ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: n oraz l), zatem i do prostej k.

Oznacza to, że prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.
To spostrzeżenie kończy dowód.

Definicja: prosta przebijająca płaszczyznę

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie jest do tej płaszczyzny równoległa, ma dokładnie jeden punkt wspólny z tą płaszczyzną. Mówimy, że prosta przebija płaszczyznę w tym punkcie.

Definicja: prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie ma z tą płaszczyzną punktów wspólnych, jest równoległa do tej płaszczyzny.

Definicja: prostej prostopadłej do płaszczyzny

Prostą k, przebijającą płaszczyznę p w punkcie O nazywamy prostopadłą do tej płaszczyzny, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie p i przechodzącej przez punkt O.

Definicja: proste skośne w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy prostymi skośnymi.

Twierdzenie: Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z k1 sposobów, druga – na jeden z k2 sposobów, trzecia – na jeden z k3 sposobów i tak dalej do n-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kn sposobów, jest równa

k1k2k3...kn

Powołując się na regułę mnożenia, można pokazać, że liczba n, która w rozkładzie na czynniki pierwsze daje się zapisać w postaci

n=p1α1p2α2...pkαk,

gdzie p1,p2,...,pk są różnymi liczbami pierwszymi, a α1,α2,...,αk są dodatnimi liczbami całkowitymi,
ma

α1+1α2+1...αk+1

dodatnich dzielników całkowitych.

Definicja: Różne płaszczyzny równoległe

Dwie różne płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych, nazywamy płaszczyznami równoległymi.

Definicja: Stożek

Stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych x1,x2, ,xn nazywamy liczbę x-=x1+x2++xnn.

Definicja: Średnia ważona

Średnią ważoną liczb x1,x2, ,xn, którym przyporządkowane są odpowiednio dodatnie wagi w1,w2, ,wn, nazywamy liczbę x-w=x1w1+x2w2++xnwnw1+w2++wn.

Definicja: Walec

Walec jest to bryła, która powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.

Twierdzenie: Wariancja liczb

Wariancja liczb x1, x2, , xn jest równa

σ2=x12+x22++xn2n-x-2
Dowód

Przekształcając wzór z definicji wariancji ,otrzymujemy

σ2=x1-x-2+x2-x-2++xn-x-2n=
=x12-2x1x-+x-2+x22-2x2x-+x-2++xn2-2xnx-+x-2n=
=x12+x22++xn2n-2x-x1+x2+xnn+nx-2n=
=x12+x22++xn2n-2x-2+x-2=x12+x22++xn2n-x-2
Definicja: Zdarzenie

Dowolny podzbiór zbioru Ω będziemy nazywać zdarzeniem, a elementy takiego podzbioru będziemy nazywać zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi temu zdarzeniu.
Zbiór pusty, czyli zdarzenie, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne, nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Zbiór Ω, czyli zdarzenie, któremu sprzyja każde zdarzenie elementarne, nazywamy zdarzeniem pewnym.

Definicja: zdarzenie przeciwne

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, należącego do zbioru zdarzeń elementarnych Ω, nazywamy takie zdarzenie A’ należące do Ω, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, które nie sprzyjają zdarzeniu A.
Z tej definicji wynika, że również zdarzenie A jest zdarzeniem przeciwnym do A’.