Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Bryły obrotowe

Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej p, zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą p nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

Przykład 1

Przykłady brył obrotowych

Przykład 2

Przez całą noc padał deszcz i beczka na deszczówkę została napełniona w połowie. Beczka ma wysokość 1,4 m. Jej średnica w najszerszym miejscu wynosi 1 m, a w najwęższym 80 cm.
Ile litrów wody znajduje się w beczce ? Przyjmij, że π=227. Skorzystaj z podanego wzoru na pojemność beczki.
Wzór na pojemność beczki.

V=112πH2D2+d2
  • V – pojemność

  • H – wysokość beczki

  • D – średnica w najszerszym miejscu

  • d - średnica w najwęższym miejscu

Mamy podać pojemność beczki w litrach.
Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Zapisujemy więc wymiary beczki w decymetrach.

 H= 1, 4 m = 14 dm
D= 1 m = 10 dm
d=80 cm = 8 dm

Beczka napełniona jest w połowie, zatem obliczamy połowę jej pojemności.

12V=12112πH2D2+d2
12V=124227142102+82
12V=4424264
12V=484

W beczce jest 484 l wody.

Przykład 3

Bryła G powstaje w wyniku obrotu figury F wokół prostej p.

Przykład 4
Ciekawostka

Nasza planeta nie ma kształtu idealnej kuli. Na skutek ruchu wirowego (czyli ruchu wokół własnej osi) Ziemia uległa spłaszczeniu przy biegunach. W wyniku tego powstała bryła zwana geoidą ( z greckiego: gea Ziemia, eidos kształt).
Bryłą najbardziej zbliżoną kształtem do Ziemi jest elipsoida obrotowa.

Przekroje brył obrotowych

Figurę płaską, która powstanie po przecięciu bryły płaszczyzną, nazywamy przekrojem tej bryły.

Ważne!

Przekrój osiowy bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.
Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

Przykład 5
Przykład 6

Określ, jaki kształt mają przekroje narysowanych brył. Jeśli nie wiesz, jak nazywa się dana figura, sprawdź w internecie jej nazwę.

Przykład 7

Arbuz przekrojono na pół. Otrzymany przekrój jest w kształcie koła o polu 452, 16 cm2. Oblicz średnicę tego koła. Przyjmij π=3,14.
Korzystamy ze wzoru na pole koła o promieniu r.

P=πr2
452,16=3,14r2
r2=144
r=144=12

bo

r>0

Obliczamy średnicę koła.

212 cm = 24 cm

Średnica koła, będąca przekrojem arbuza, jest równa 24 cm.

Przykład 8
Ćwiczenie 1

Narysuj bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej p.

Ćwiczenie 2

Narysuj bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

  1. na której leży jeden z boków

  2. równoległej do dłuższego boku

  3. równoległej do krótszego boku

Ćwiczenie 3

Bryła na rysunku powstała w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej dookoła prostej.
Narysuj tę figurę i tę prostą.

Ćwiczenie 4

Naszkicuj przekrój osiowy przedstawionych figur.

Ćwiczenie 5

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. trójkątem równoramiennym

  2. trójkątem równobocznym

Ćwiczenie 6

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. prostokątem

  2. kwadratem

Ćwiczenie 7

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

Ćwiczenie 8

Bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta P wokół jednego z jego boków. Przekątna prostokąta P ma długość 5 cm i jest nachylona do jego boku pod kątem 60°. Jaką długość ma promień r podstawy tej bryły? Znajdź wszystkie rozwiązania.

Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 10

Uzupełnij zdania.

  1. Część wspólna bryły obrotowej z płaszczyzną zawierającą oś obrotu to przekrój … bryły.

  2. Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną … do osi obrotu.

Ćwiczenie 11

Arbuz przekrojono na pół. Pole tak otrzymanego przekroju jest w kształcie koła o polu 530,66 cm2. Skóra arbuza ma grubość 2 cm. Oblicz, ile procent przekroju stanowi miąższ arbuza. Przyjmij π=3.14. Odpowiedź zaokrąglij do jednej cyfry po przecinku.

Ćwiczenie 12

Narysuj bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

  1. trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia

  2. trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy