Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Próbując poznać fragment otaczającego nas świata możemy zastosować metody ilościowe albo jakościowe.

Przeprowadzając badania ilościowe, mamy do czynienia ze zbiorami danych. Jeżeli tych danych jest kilka, to możemy stwierdzić, która jest największa, która najmniejsza, która występuje najczęściej itp. Jednak, żeby wyciągnąć wniosek o jakimś zjawisku, potrzebujemy tych danych dużo więcej. Im więcej danych zbierzemy, tym trafniejsze będzie nasze wnioskowanie. Oczywiście najlepiej byłoby mieć wszystkie informacje, co zwykle jest niemożliwe lub bardzo kosztowne. Dlatego najczęściej bierzemy pod uwagę jedynie niektóre dane z tzw. próby. Na przykład producent spodni męskich przeznaczonych na rynek polski powinien dysponować informacją o zapotrzebowaniu na poszczególne rozmiary spodni. Dobrze przeprowadzone badania ilościowe pozwolą z dużą trafnością odpowiedzieć na to pytanie.

Przykład 1

Zapytaliśmy uczniów pewnej szkoły, ile godzin przeznaczają tygodniowo na naukę. Każdą otrzymaną odpowiedź zanotowaliśmy, zapisując też informację o płci ucznia i o klasie. Otrzymane dane zestawiliśmy w tabeli.

Tabela. Dane

Nr badanego ucznia

Płeć

Klasa

Liczba godzin tygodniowo przeznaczonych na naukę

1.
k
Ia
9
2.
m
IIb
13
3.
m
Ic
10
...
...
...
...

Nasza tabela składa się z 384 wierszy. Bezpośrednia obserwacja takiej tabeli niewiele daje. Danych jest zbyt wiele, żeby je przyswoić i wyciągnąć z nich wnioski. Dane te wymagają pewnego zorganizowania w zależności od tego, co chcemy z nich wywnioskować. Gdy chcemy odpowiedzieć na pytanie, czy dziewczęta poświęcają tygodniowo na naukę więcej czasu niż chłopcy, to musimy pogrupować nasze dane ze względu na płeć. Gdy interesuje nas, której klasy uczniowie poświęcają najwięcej czasu na naukę, pogrupujemy je ze względu na klasę.
Oczywiście samo pogrupowanie danych jeszcze nie rozwiązuje problemu. Aby porównać interesującą nas wielkość, w każdej z wyodrębnionych grup, obliczamy pewną liczbę, reprezentującą tę wielkość. Tego typu liczby nazywamy parametrami danych statystycznych, czy też statystykami.
Zacznijmy od takich parametrów, które w pewien sposób wyznaczają „środek” danej próby, czyli są tzw. miarami tendencji centralnej. Należą do nich różnego rodzaju średnie, mediana i dominanta.

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych x1,x2, ,xn nazywamy liczbę x-=x1+x2++xnn.

Przykład 2

W celu ustalenia średniej ceny sprzedaży pewnej książki zbadano jej cenę w ośmiu księgarniach. Ceny te były równe: 34,00 zł; 36,90 zł; 29,99 zł; 30,00 zł; 32,35 zł; 36,00 zł; 38,90 zł; 31,00 zł. Średnia cena tej książki jest więc równa:

x-=34+36,90+29,99+30+32,35+36+ 38,90+318=269,148=33,64 

Średniej często używa się, żeby stworzyć jakiś wzorzec. Jeżeli obliczę, na podstawie rachunków z ostatniego roku, że średnia miesięczna opłata w moim mieszkaniu za energię elektryczną wynosi 102 zł, to mogę przewidywać, że w kolejnych miesiącach też zapłacę około 100 zł miesięcznie, przy założeniu, że warunki nie zmienią się (nie kupię nowego sprzętu elektrycznego, nie zmieni się cena prądu itp). Średnia jest wielkością, z którą wygodnie jest porównywać konkretne dane. Jeżeli z badań przeprowadzonych na grupie 100 tys. licealistów wynika, że średnio poświęcają na naukę 63 minuty dziennie, to możesz oszacować, czy uczysz się więcej, czy mniej niż przeciętny licealista.

Przykład 3

Średnia cena pięciu filmów zakupionych przez pana Kowalskiego jest równa 24 zł. Po dokupieniu szóstego filmu, średnia cena wzrosła do 26 zł. Ile kosztował szósty z filmów?
Za pięć filmów zapłacono 245 zł=120 . Oznaczmy cenę szóstego filmu przez x. Wtedy średnia cena zakupu filmu jest równa 120+x6 zł. Cenę tę mamy podaną, jest ona równa 26 zł. Pozostaje rozwiązać równanie

120+x6=26.

Stąd 120+x=156, czyli x=36 .
Zauważ, że jeżeli średnia arytmetyczna pewnych liczb jest równa x- i dodasz do nich liczbę a>x-, to po dodaniu średnia nowego zestawu liczb zwiększy się. Jeżeli dodasz liczbę a<x-, to średnia nowego zestawu liczb zmniejszy się. Jeżeli dodamy a=x-, to średnia nie ulegnie zmianie.

Przykład 4

W pewnej szkole są trzy klasy trzecie. Średni wynik próbnej matury uczniów klasy IIIa, liczącej 30 osób, jest równy 20 punktów, średni wynik klasy IIIb, liczącej 20 uczniów, jest równy 40 punktów, a średni wynik klasy IIIc, liczącej 25 uczniów, to 30 punktów. Ile jest równy średni wynik próbnej matury w całej szkole?
Zaczniemy od zsumowania liczby punktów uzyskanych z tej matury przez wszystkich uczniów w szkole. Klasa IIIa: 3020=600 punktów.

  • Klasa IIIb: 2040=800 punktów.

  • Klasa IIIc: 2530=750 punktów.

W sumie w całej szkole uczniowie zdobyli 2150 punktów. Ponieważ uczniów w klasach trzecich tej szkoły jest 30+20+25=75, więc szukana średnia jest równa 21507528,67.
Zauważ, że średnia ta nie jest średnią arytmetyczną podanych średnich w poszczególnych klasach, czyli nie jest ona równa:

20+40+303=30.

Tak jest, gdyż liczby osób w klasach są różne. Średni wynik klasy III a w większym stopniu wpływa na obliczony średni wynik szkoły niż wynik każdej z pozostałych dwóch klas, ponieważ klasa IIIa jest najliczniejsza. Spośród wszystkich 75 uczniów klas trzecich tej szkoły 30 to uczniowie klasy IIIa, więc możemy przyjąć, że mamy 30 uczniów, z których każdy ma wynik 20 punktów. Analogicznie możemy przyjąć, że mamy 20 uczniów z wynikiem średnim 40 punktów i 25 uczniów z wynikiem 30 punktów. Średni wynik jest więc równy:

x-w=20+20++2030 składników+40+40++4020 składników+30+30++3025 składników30+20+25=200+4020+302530+20+25=21507528,67.

Liczebności, z jakimi występowały wyniki 20, 4030, a więc liczby 30, 2025, są wagami tych wyników, a obliczona średnia to średnia ważona.

Definicja: Średnia ważona

Średnią ważoną liczb x1,x2, ,xn, którym przyporządkowane są odpowiednio dodatnie wagi w1,w2, ,wn, nazywamy liczbę x-w=x1w1+x2w2++xnwnw1+w2++wn.

Ważne!

Uwaga
Niekiedy wygodniej jest zapisać wzór w postaci:

x-w=w1w1+w2++wnx1+w2w1+w2++wnx2++wnw1+w2++wnxn

Wtedy przyjmujemy, że wagami, z jakimi występują liczby x1,x2, ,xn, są ułamki:

u1=w1w1+w2++wn,u2=w2w1+w2++wn, ...un=wnw1+w2++wn

Ułamki te są dodatnie i ich suma jest równa 1. Zatem

x-w=u1x1+u2x2++unxn,

gdzie u1+u2++un=1.

Jeżeli liczymy średnie z dwóch równolicznych grup danych, to średnia ze wszystkich liczb jest średnią arytmetyczną średniej policzonej w pierwszej grupie i średniej policzonej w drugiej grupie. Jeżeli jednak grupy nie są równoliczne, to średnia wszystkich liczb najczęściej nie jest średnią z policzonych wcześniej średnich w każdej grupie.

Przykład 5

Aby zaliczyć przedmiot „Matematyka” na pewnym kierunku studiów, student musi uzyskać 3 oceny: z ćwiczeń, laboratorium i egzaminu, przy czym każda z ocen musi być pozytywna (co najmniej równa 3). Wówczas ocena z przedmiotu „Matematyka” jest średnią ważoną tych trzech ocen: ocena z ćwiczeń ma wagę 3, z laboratorium - wagę 1, a ocena z egzaminu - wagę 4. W tabeli zestawiono oceny cząstkowe Tomka i Michała. Jaką ocenę otrzyma każdy z nich na zaliczenie?

Tabela. Dane
 

ćwiczenia

laboratorium

egzamin

Tomek

3
5
3,5

Michał

3,5
3
5

Średnia ważona ocen Tomka jest równa x-w=33+51+3,543+1+4=288=3,5.
Średnia ważona ocen Michała jest równa x-w=3,53+31+543+1+4=33,58=4,19.
Zwróć uwagę, że mimo iż obaj chłopcy cząstkowe oceny mieli takie same, czyli 3, 3,5 oraz 5 na koniec dostaną inną ocenę. Tak jest dlatego, gdyż Tomek ma najwyższą ocenę z laboratorium, czyli tę o najniższej wadze, za to Michał najwyższą ocenę ma z egzaminu, czyli tę o najwyższej wadze.
Średnia arytmetyczna ma pewne wady. Bardzo duży wpływ na nią mają wartości skrajne, czyli te największe i najmniejsze, zwłaszcza jeżeli są wyraźnie większe albo mniejsze od pozostałych. W takich przypadkach średnia nie oddaje prawdziwego poziomu interesującej nas wielkości.

Przykład 6

Chcemy rozpocząć pracę w pewnej firmie. Dowiadujemy się, że średnia pensja w tej firmie to 1380 zł. Czy należy się spodziewać, że będziemy zarabiać około 1300 - 1400 zł? Otóż niekoniecznie. Gdyby w tej firmie pracowało 9 osób, z których 8 to szeregowi pracownicy o zarobkach odpowiednio: 720 zł, 800 zł, 850 zł, 850 zł, 900 zł, 900 zł, 950 zł950 zł oraz 1 prezes, którego zarobki to 5500 zł, to średnia pensja w tej firmie jest równa 1380 zł. Należy przypuszczać, że nowo zatrudniony pracownik w takiej firmie nie będzie zarabiał więcej niż najwięcej zarabiający aktualnie pracownik szeregowy, a więc 950 zł.
W takich przypadkach, gdy wyniki skrajne znacznie odbiegają od pozostałych i w efekcie zaburzają średnią, lepiej posłużyć się inną miarą tendencji centralnej. Możemy np. obliczyć medianę.

Definicja: Mediana

Medianą (wartością środkową) uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n liczb x1x2x3xn jest:

  • dla nieparzystej liczby n środkowy wyraz ciągu, czyli wyraz xn+12,

  • dla parzystej liczby n średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu, czyli 12(xn2+xn2+1).

Przykład 7

Policzmy medianę zarobków w firmie z przykładu 6. Pensje już są ustawione w ciąg niemalejący

720 800  850 850  900  900  950 950  5500.

Medianę liczymy z 9 liczb, czyli środkową jest stojąca na pozycji piątej. Mediana jest więc równa 900. Wielkość ta dużo lepiej, niż średnia arytmetyczna oddaje realia zarobków szeregowych pracowników w rozważanej firmie.

Przykład 8

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 4, 5, 8, 3, 3, 11,12,x jest równa 7. Oblicz medianę tego zestawu danych.
Suma danych liczb jest równa: 4+5+8+3+3+11+12+x=46+x. Ponieważ średnia arytmetyczna tych danych jest równa 7, otrzymujemy równanie 46+x8=7, stąd 46+x=56. Mamy więc x=10. Ustawiamy dane liczby w niemalejący ciąg

33458101112

Liczba wyrazów ciągu jest równa 8, a więc jest parzysta. Stąd mediana jest równa średniej arytmetycznej wyrazów stojących na dwóch środkowych pozycjach. W tym przypadku na czwartej i piątej. Jest więc równa 5+82=132=6,5.

  • Innym sposobem na zmniejszenie wrażliwości średniej na wyniki skrajne jest odrzucenie pewnej liczby największych i najmniejszych danych i policzenie średniej z pozostałych danych. Taka średnia nosi nazwę średniej ucinanej (obciętej). Spotykamy ją w liczeniu noty końcowej przyznawanej przez sędziów w wielu dyscyplinach sportowych, np. w skokach narciarskich, jeździe figurowej na lodzie, czy gimnastyce artystycznej.

  • Sposobem na znalezienie „środka” danej próby jest podanie tzw. dominanty. Przydaje się ona szczególnie w tych przypadkach, gdy opisywane wielkości nie mają wartości liczbowej, czyli nie można policzyć dla nich średniej czy mediany.

Definicja: Dominanta

Dominantą (modą, wartością najczęstszą) nazywamy tę wartość, która występuje w próbie najczęściej.

Przykład 9

W sondzie ulicznej stu losowo wybranym osobom zadano pytanie: jaką herbatę piją najchętniej? Wyniki badania przedstawiono na diagramie.

Dominantą tego badania jest herbata czarna.

Przykład 10

W pewnym domu kultury prowadzone są zajęcia plastyczne, w których bierze udział 90 dzieci. Porównaj ze sobą średnią wieku, medianę i dominantę uczestników tych zajęć.

Średnia wieku uczestników jest równa:

x-w=77+813+923+1021+1114+125+132+14890=92290=10,24

Dominantą jest wiek 9 lat. Medianą będzie średnia arytmetyczna wieku stojącego na 4546 pozycji w niemalejącym ciągu wieku uczestników. Zauważmy, że jeżeli zsumujemy liczby siedmio-, ośmio- i dziewięciolatków, otrzymamy 40 osób, czyli od pozycji 41 do pozycji 61 będzie stała wartość 10 lat, więc mediana jest równa 10.

Średnie, mediana, dominanta, czyli statystyki wyznaczające środek zestawu danych. Zadania

Ćwiczenie 1

Średnia arytmetyczna liczb: x, 12, 10, 5, 8, 8 jest równa 8. Wtedy mediana jest równa

Ćwiczenie 2

Mediana zestawu danych: 4, 12,14, a, 5, 7 jest równa 9. Wówczas

Ćwiczenie 3

Rzucono kością sześć razy i otrzymano wyniki: 2, 3, 6, 1, 3, 2. Wtedy

Ćwiczenie 4

W pewnej grupie rodzin zbadano liczbę dzieci i dane przedstawiono na wykresie.

Mediana przedstawionych na wykresie danych jest równa

Ćwiczenie 5

Mediana liczb: 4, 6, 10, x, 8, 5, 9 wynosi 6. Wtedy liczba x spełnia warunek

Ćwiczenie 6

Średnia ważona liczb: x, 5, 8 z wagami odpowiednio: 5, 3, 2 jest równa 8,1. Wtedy liczba x jest równa

Ćwiczenie 7
Ćwiczenie 8
Ćwiczenie 9
Ćwiczenie 10

Wyniki sprawdzianu z matematyki i z języka polskiego w klasie III c są przedstawione na diagramie

  1. Ilu uczniów ze sprawdzianu z matematyki otrzymało ocenę wyższą niż średnia ocen?

  2. Ilu uczniów ze sprawdzianu z języka polskiego otrzymało ocenę niższą niż mediana ocen?

Ćwiczenie 11

W tabeli zestawiono oceny z matematyki na koniec roku uczniów pewnej klasy.

Tabela. Dane

Ocena

1
2
3
4
5
6

Liczba ocen

0
3
12
10
x
1

Oblicz liczbę piątek, jeżeli średnia ocen z matematyki w tej klasie jest równa 3,5.

Ćwiczenie 12

W sklepie przygotowano mieszankę trzech rodzajów cukierków składającą się z 14 kg cukierków w cenie 12 zł za kg, 9 kg cukierków w cenie 14 zł za kg oraz 7 kg cukierków w cenie 18 zł za kg. Ile powinien kosztować 1 kg mieszanki?

Ćwiczenie 13

Średni staż pracy 10 robotników w pewnym zakładzie jest równy 7 lat. Jeżeli dodać do badanych brygadzistę, to średni wiek pracy zwiększy się do 9 lat. Ile lat pracuje w tym zakładzie brygadzista?

Ćwiczenie 14

Średnia wieku uczestników wycieczki wynosiła 14 lat. Jeżeli doliczymy do tej średniej wiek opiekuna, który ma 40 lat, to średnia zwiększy się do 15 lat. Ilu było uczestników wycieczki?

Ćwiczenie 15

W pewnej firmie średnia pensja jest równa 2000 zł. O ile procent zwiększy się średnia pensja, jeżeli każdy z pracowników dostanie podwyżkę?

  1. 500 zł

  2. 10%

Ćwiczenie 16

W celu zakupienia obuwia dla zawodników drużyny piłkarskiej sprawdzono rozmiary obuwia poszczególnych zawodników i dane umieszczono na diagramie.

Oblicz medianę, modę i średnią arytmetyczną rozmiaru.

Ćwiczenie 17

W pewnej szkole dwie klasy trzecie napisały próbną maturę z matematyki. W klasie IIIa, liczącej 30 uczniów, średni wynik z tej matury wyniósł 60%, a w klasie III b, liczącej 20 uczniów średni wynik z tej matury wyniósł 80%. Jaki jest średni wynik z próbnej matury w tej szkole?

Ćwiczenie 18
Ćwiczenie 19

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c jest równa 8. Oblicz, ile wynosi średnia arytmetyczna podanych liczb:

  1. 3a, 3b, 3c

  2. a+1, b+2, c+3

  3. a,b,c,6

Ćwiczenie 20

Trzech uczniów napisało maturę z matematyki, zdobywając średnio 40 punktów na 50 możliwych. Mediana ich wyników jest równa 50 punktów. Ile punktów zdobyli poszczególni uczniowie na maturze z matematyki?

Ćwiczenie 21

Małgosia na koniec roku szkolnego, uzyskała średnią ocen 4,4. Spośród dziesięciu przedmiotów otrzymała tylko jedną 3, a poza tym same 45. Oblicz, ile 5 na świadectwie miała Małgosia.