Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Przypomnijmy, że każdą funkcję kwadratową $f$ określoną wzorem

f (x) = a x^{2} + bx + c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera, możemy zapisać w postaci kanonicznej

f (x) = a {(x - p)}^{2} + q,

gdzie $p = \frac{- b}{2 a}$ i $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .
Ponadto każdą taką funkcję kwadratową, której wyróżnik jest nieujemny, możemy też zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}),

gdzie $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ i $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ to miejsca zerowe tej funkcji.

W poniższych przykładach pokażemy, w jaki sposób można wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.

Przykład 1

Funkcja kwadratowa $f (x) = x^{2} + 4 x + c$ osiąga wartość najmniejszą równą $- 7$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $c$ .
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że współrzędna $q$ wierzchołka wykresu funkcji $f$ jest równa $- 7$ . Możemy z tego skorzystać w jeden z następujących sposobów.

sposób $I$

Obliczamy wyróżnik funkcji $f$

Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot c = 16 - 4 c

Podstawiamy do wzoru $q = \frac{- Δ}{4 a}$ .

q = \frac{- Δ}{4 a} = \frac{- (16 - 4 c)}{4 \cdot 1} = - 7 .

Stąd $4 c - 16 = - 28$ , $4 c = - 12$ , $c = - 3$ .

sposób $II$

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka wykresu funkcji $p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ . Wobec tego

f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + c = - 7

stąd $c = - 3$ .

sposób $III$

Ze wzoru odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka: $p = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2$ i $f (- 2) = - 7$ . Wobec tego funkcję f można zapisać wzorem w postaci kanonicznej $f (x) = {(x + 2)}^{2} - 7$ , stąd

f (x) = x^{2} + 4 x + 4 - 7 = x^{2} + 4 x - 3,

czyli $c = - 3 .$

sposób $IV$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci kanonicznej

f (x) = x^{2} + 4 x + c = (x^{2} + 4 x + 4) - 4 + c = {(x + 2)}^{2} + c - 4 .

Zatem funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą $c - 4$ dla $x = - 2$ . Ponieważ $f (- 2) = - 7$ , to $c - 4 = - 7$ , czyli $c = - 3$ .

RO7hyVemMa5ir1

E-podręczniki z matematyki — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtBIQjboVluee1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = - 3 x^{2} + bx - 14$ jest $7$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ .
Rozwiązanie

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że

f (7) = - 3 \cdot 7^{2} + b \cdot 7 - 14 = 0 .

Zatem $- 147 + 7 b - 14 = 0$ , stąd $7 b = 161$ , czyli $b = 23$ .

sposób $II$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f (x) = - 3 x^{2} + bx - 14$ można zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = - 3 (x - 7) (x - x_{2}),

gdzie $x_{2}$ to drugie miejsce zerowe funkcji $f$ .
Postać iloczynową przekształcamy do postaci ogólnej, stąd

f (x) = - 3 (x^{2} - 7 x - x_{2} x + 7 x_{2}) = - 3 x^{2} + (21 + 3 x_{2}) x - 21 x_{2} .

Porównując współczynniki, stwierdzamy, że $- 21 x_{2} = - 14$ oraz $b = 21 + 3 x_{2}$ . Zatem drugim pierwiastkiem jest $x_{2} = \frac{2}{3}$ , więc $b = 21 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 23$ .

sposób $III$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f (x) = - 3 x^{2} + bx - 14$ można zapisać w postaci iloczynowej

f (x) = - 3 (x - 7) (x - x_{2}),

gdzie $x_{2}$ to drugie miejsce zerowe funkcji $f$ .
Jedynym wyrazem niezależnym od $x$ w tym wzorze jest $- 3 \cdot (- 7) \cdot x_{2}$ , zatem $- 3 \cdot (- 7) \cdot x_{2} = - 14$ , a stąd
$x_{2} = \frac{2}{3}$ . Liczba $\frac{2}{3}$ jest więc miejscem zerowym funkcji $f$ , zatem

f (\frac{2}{3}) = - 3 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + b \cdot \frac{2}{3} - 14 = 0 .

Wobec tego $- \frac{4}{3} + \frac{2}{3} b - 14 = 0$ , $\frac{2}{3} b = 14 \frac{2}{3}$ , $\frac{2}{3} b = \frac{46}{3}$ , czyli $b = 23$ .

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f (x) = - (x + 1) (x - 3) .

Rozwiązanie

sposób $I$

Przekształcamy wzór funkcji $f$ do postaci ogólnej

f (x) = - (x + 1) (x - 3) = - (x^{2} + x - 3 x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3 .

Wobec tego współrzędne wierzchołka tej paraboli to: $p = \frac{- 2}{2 \cdot (- 1)} = 1$ , $q = f (1) = - 1^{2} + 2 + 3 = 4$ . Zatem wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 4)$ .

sposób $II$

Ponieważ $f (x) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 1$ lub $x = 3$ , to funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe $- 1$ oraz $3$ . Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ to jednocześnie symetralna odcinka, którego końcami są punkty $(- 1, 0)$ i $(3, 0)$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych $(\frac{- 1 + 3}{2}, 0)$ , więc jest to prosta o równaniu $x = 1$ . Stąd $p = 1$ oraz $q = f (1) = - (1 + 1) (1 - 3) = 4$ . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W = (1, 4)$ .

RyOuhiBPPK5VJ1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJrgQocTC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iF2jXRqhtN_d5e291

Oś symetrii funkcji kwadratowej

Twierdzenie: Oś symetrii funkcji kwadratowej

Jeżeli funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + bx + c

ma dwa miejsca zerowe $x_{1}$ i $x_{2}$ , to oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ ma równanie

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}

Dowód
Jak zauważyliśmy, oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ , to jednocześnie symetralna odcinka o końcach w punktach $(x_{1}, 0)$ i $(x_{2}, 0)$ . Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, stwierdzamy, że ta symetralna przechodzi przez punkt o współrzędnych $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, 0)$ . Dla dowodu wystarczy więc pokazać, że

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = p .

Ponieważ

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ} + (- b + \sqrt{Δ})}{2 a} = \frac{- b}{a},

więc

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- b}{2 a} = p .

Przykład 4

RPmc7C94BeoV31

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DJrgQocTC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 5

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f (x) = - 3 x^{2} + bx + c$ jest parabola o wierzchołku $W = (2, 7)$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ i współczynnika $c$ .
Rozwiązanie

sposób $I$
Z treści zadania wynika, że funkcję $f$ można zapisać w postaci kanonicznej $f (x) = - 3 {(x - 2)}^{2} + 7$ . Zatem

f (x) = - 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 7 = - 3 x^{2} + 12 x - 5,

czyli współczynniki mają wartości $b = 12$ , $c = - 5$ .

sposób $II$
Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

\{\begin{array}{l} \frac{- b}{2 a} = 2 \\ \frac{- Δ}{4 a} = 7 . \end{array}

Uwzględniając w drugim równaniu $Δ = b^{2} - 4 ac$ oraz wstawiając $a = - 3$ , otrzymujemy

\{\begin{array}{l} \frac{- b}{2 \cdot (- 3)} = 2 \\ \frac{- (b^{2} - 4 \cdot (- 3 c))}{4 \cdot (- 3)} = 7 \end{array}

stąd

\{\begin{array}{l} - b = - 12 \\ - (b^{2} + 12 c) = - 84 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 12 \\ 1 2^{2} + 12 c = 84 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 12 \\ 12 c = 84 - 144 \end{array}

Mamy zatem

\{\begin{array}{l} b = 12 \\ c = - 5 \end{array}

Przykład 6

Funkcja kwadratowa $f (x) = 2 x^{2} + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = 4$ . Wyznaczymy wartość współczynnika $b$ i współczynnika $c$ .
Rozwiązanie.

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że funkcję $f$ można zapisać w postaci iloczynowej.

f (x) = 2 (x + 5) (x - 4)

Zatem

f (x) = 2 (x^{2} + 5 x - 4 x - 20) = 2 x^{2} + 2 x - 40 .

Współczynniki mają wartości: $b = 2$ , $c = - 40$ .

sposób $II$

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji $f$ są $x_{1} = - 5$ i $x_{2} = 4$ , więc $f (- 5) = 0$ oraz $f (4) = 0$ . Aby wyznaczyć wartości współczynników, rozwiązujemy układ równań.

\{\begin{array}{l} 2 \cdot 4^{2} + b \cdot 4 + c = 0 \\ 2 \cdot {(- 5)}^{2} + b \cdot (- 5) + c = 0 \end{array}

\{\begin{array}{l} 32 + 4 b + c = 0 \\ 50 - 5 b + c = 0 \end{array}

\{\begin{array}{l} 4 b + c = - 32 \\ - 5 b + c = - 50 \end{array}

Otrzymany układ równań możemy rozwiązać dowolną metodą, np. podstawiania lub przeciwnych współczynników.
Wybierzmy metodę podstawiania

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ - 5 b - 4 b - 32 = - 50 \end{array}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ - 9 b - 32 = - 50 \end{array}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ - 9 b = - 18 \end{array}

\{\begin{array}{l} c = - 4 b - 32 \\ b = 2 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 2 \\ c = - 4 \cdot 2 - 32 \end{array}

\{\begin{array}{l} b = 2 \\ c = - 40 \end{array}

Rozwiązanie układu

\{\begin{array}{l} 4 b + c = - 32 \\ - 5 b + c = - 50 \end{array}

metodą przeciwnych współczynników (lub każdą inną, prowadzącą do wyznaczenia wartości każdego ze współczynników) pozostawiamy jako osobne ćwiczenie.

sposób $III$

Ponieważ miejscami zerowymi funkcji $f$ są $x = - 5$ oraz $x = 4$ , więc osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta $x = \frac{- 5 + 4}{2}$ , czyli $x = - \frac{1}{2}$ . Możemy więc zapisać postać kanoniczną funkcji

f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + q .

Wykorzystując jeszcze raz informację o miejscach zerowych, otrzymamy, że np. $f (4) = 0$ , stąd

2 \cdot {(4 + \frac{1}{2})}^{2} + q = 0

q = - 2 \cdot {(\frac{9}{2})}^{2},

czyli

q = - \frac{81}{2} .

Wobec tego

f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{81}{2} = 2 (x^{2} + x + \frac{1}{4}) - \frac{81}{2} = 2 x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} - \frac{81}{2} = 2 x^{2} + 2 x - 40 .

Zatem współczynniki mają wartości $b = 2$ , $c = - 40$ .
Uwaga. Zapisując wzór funkcji $f$ w postaci $f (x) = 2 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + q$ i wykorzystując informację o drugim miejscu zerowym funkcji $f : f (- 5) = 0$ , doprowadzimy do tej samej zależności, co otrzymana powyżej $q = - 2 \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2} = - 2 ∙ {(\frac{9}{2})}^{2}$ . Fakt ten wynika stąd, że prosta $x = - \frac{1}{2}$ jest symetralną odcinka o końcach w punktach $(- 5, 0)$ i $(4, 0)$ .

Przykład 7

Funkcja kwadratowa $f (x) = a x^{2} + bx + c$ osiąga największą wartość równą $4$ dla $x = - 2$ , a na jej wykresie leży punkt $A = (0, 0)$ . Obliczymy wartości współczynników $a$ , $b$ i $c$ .
Rozwiązanie

sposób $I$

Z treści zadania wynika, że punkt $W = (- 2, 4)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$ . Wobec tego wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f (x) = a {(x + 2)}^{2} + 4$ . Wiemy ponadto, że punkt $A$ leży na wykresie funkcji $f$ , zatem $f (0) = 0$ . Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f (0) = a {(0 + 2)}^{2} + 4 = 0,

stąd $4 a = - 4$ , czyli $a = - 1$ . Stąd wynika wzór funkcji $f$

f (x) = - 1 {(x + 2)}^{2} + 4 = - (x^{2} + 4 x + 4) + 4 = - x^{2} - 4 x .

Współczynniki mają zatem wartości: $a = - 1, b = - 4, c = 0$ .

sposób $II$

Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest $0$ , a osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x = - 2$ . Wynika stąd, że $- 4$ jest drugim miejscem zerowym funkcji $f$ . Zatem wzór funkcji f możemy zapisać w postaci $f (x) = ax (x + 4)$ . Wiemy ponadto, że punkt $(- 2, 4)$ leży na wykresie funkcji $f$ , więc $f (- 2) = 4$ . Łącząc oba uzyskane wnioski, otrzymujemy

f (- 2) = a (- 2) (- 2 + 4) = 4,

stąd $- 4 a = 4$ , czyli $a = - 1$ . Wobec tego wzór funkcji $f$ to

f (x) = - 1 x (x + 4) = - (x^{2} + 4 x) = - x^{2} - 4 x .

Współczynniki mają więc wartości: $a = - 1, b = - 4, c = 0$ .

sposób $III$

Z treści zadania odczytujemy, że punkt $f (x) = 0$ oraz punkt $W = (- 2, 4)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$ . Korzystając ze wzorów na współrzędne wierzchołka, otrzymujemy układ równań

\{\begin{matrix} a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0 \\ \frac{- b}{2 a} = - 2 \\ \frac{- Δ}{4 a} = 4 \end{matrix}

Przekształcamy ten układ, uwzględniając w drugim równaniu $Δ = b^{2} - 4 ac$

\{\begin{matrix} c = 0 \\ \begin{array}{l} - b = - 4 a \\ - (b^{2} - 4 ac) = 16 a \end{array} \end{matrix}

\{\begin{matrix} c = 0 \\ \begin{array}{l} b = 4 a \\ b^{2} = - 16 a \end{array} \end{matrix}

Stąd wniosek, że $b^{2} = {(4 a)}^{2} = - 16 a$ , więc $16 a^{2} = - 16 a$ , czyli $a^{2} + a = 0$ , stąd $a (a + 1) = 0$ . Ponieważ funkcja $f$ jest kwadratowa, więc $a \neq 0$ . Zatem $a = - 1$ , stąd $b = 4 \cdot (- 1) = - 4$ . Oznacza to, że $a = - 1, b = - 4, c = 0$ .

iF2jXRqhtN_d5e550

Ćwiczenie 1

Ustal współrzędne wierzchołka $W$ paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = - \frac{1}{4} (x - 5) (x + 7)$ .

$W = (- 1, 9)$

Ćwiczenie 2

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej $x$ sumę tej liczby i kwadratu liczby o $2$ od niej większej. Ustal zbiór wartości tej funkcji i znajdź jej miejsca zerowe.

Funkcja $f$ dana jest wzorem $f (x) = x + {(x + 2)}^{2}$ , stąd $f (x) = x^{2} + 5 x + 4$ . Zbiór wartości tej funkcji to $⟨- 2 \frac{1}{4}, + \infty)$ , a jej miejscami zerowymi są liczby $- 4$ i $- 1$ .

Ćwiczenie 3

Do wykresu funkcji kwadratowej $f (x) = x^{2} + 5 x + c$ należy punkt $A = (- 3, 0)$ . Wyznacz wartość współczynnika $c$ .

$c = 6$

Ćwiczenie 4

Prosta $x = - 4$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f (x) = - x^{2} + bx$ . Wyznacz wartość współczynnika $b$ .

$b = - 8$

Ćwiczenie 5

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + c$ jest $⟨- 9, + \infty)$ . Ustal wartość współczynnika $c$ .

$c = - 4$

Ćwiczenie 6

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = x^{2} + bx + c$ . Wyznacz wartości każdego ze współczynników $b$ oraz $c$ , wiedząc, że wykres funkcji $f$ ma z osią $Ox$ tylko jeden punkt wspólny $A = (- 3, 0)$ .

$b = 6$ , $c = 9$

iF2jXRqhtN_d5e669

Ćwiczenie 7

Funkcja kwadratowa $g$ określona jest wzorem $g (x) = - x^{2} + bx + c$ . Funkcja ta osiąga wartość największą równą $17$ dla $x = - 5$ . Wyznacz wartości współczynników $b$ i $c$ .

$b = - 10$ , $c = - 8$

Ćwiczenie 8

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $g (x) = - 15 x^{2} + bx + c$ są $- \frac{2}{3}$ i $\frac{4}{5}$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $b$ , $c$ .

$b = 2$ , $c = 8$ .

Ćwiczenie 9

Wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - 4 x^{2} + bx + c$ jest parabola o wierzchołku $W = (\frac{3}{2}, 8)$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $b$ , $c$ .

$b = 12$ , $c = - 1$

Ćwiczenie 10

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

R1F1mhx5zWyIl1

Wykresy sześciu różnych funkcji kwadratowych. Na pierwszym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (1, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 1). Na drugim wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-3, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (-2, -1). Na trzecim wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-1, 0). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (1, 2). Na czwartym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-2, 2). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 0). Na piątym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (2, -1). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (-1, 2). Na szóstym wykresie wierzchołek paraboli ma współrzędne (-1, 3). Do wykresu należy punkt o współrzędnych (3, -1). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a = 1, b = - 2, c = 1$
$a = - 1, b = - 6, c = - 9$
$a = \frac{1}{2}, b = 1, c = \frac{1}{2}$
$a = - \frac{1}{2}, b = - 2, c = 0$
$a = \frac{1}{3}, b = - \frac{4}{3}, c = \frac{1}{3}$
$a = - \frac{1}{4}, b = - \frac{1}{2}, c = \frac{11}{4}$

Ćwiczenie 11

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $g (x) = a x^{2} + bx + c$ . Ustal wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

RJ4kqmMMbV0wS1

Wykresy sześciu różnych funkcji kwadratowych Na pierwszym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-1 i x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, -2). Na drugim wykresie parabola ma miejsca zerowe x =0 i x =3. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2, 2). Na trzecim wykresie parabola ma miejsca zerowe x =0 i x =1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (2, 1). Na czwartym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =2 i x =1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (0, 3). Na piątym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-3 i x =-1. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (1, 4). Na szóstym wykresie parabola ma miejsca zerowe x =-3 i x =2. Do wykresu należy punkt o współrzędnych (3, -2). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$a = 1, b = - 1, c = - 2$
$a = - 1, b = 3, c = 0$
$a = \frac{1}{2}, b = - \frac{1}{2}, c = 0$
$a = - \frac{3}{2}, b = - \frac{3}{2}, c = 3$
$a = \frac{1}{2}, b = 2, c = \frac{3}{2}$
$a = - \frac{1}{3}, b = - \frac{1}{3}, c = 2$

Ćwiczenie 12

Funkcja kwadratowa $g (x) = a x^{2} + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe $x_{1} = - 6$ oraz $x_{2} = 10$ . Najmniejszą wartością tej funkcji jest $- 16$ . Ustal wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = \frac{1}{4}$ , $b = - 1$ Indeks dolny , $c = - 15$

Ćwiczenie 13

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $A = (1, 9)$ . Jednym z punktów przecięcia tej paraboli z osią $Ox$ jest punkt $B = (- \frac{1}{2}, 0)$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = - 4$ , $b = 8$ Indeks dolny , $c = 5$

Ćwiczenie 14

Funkcja kwadratowa $g (x) = a x^{2} + bx + c$ osiąga najmniejszą wartość równą $- 5$ dla $x = 3$ , a jej wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $A = (0, - 2)$ . Oblicz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = \frac{1}{3}$ , $b = - 2$ , $c = - 2$

Ćwiczenie 15

Funkcja kwadratowa $f (x) = a x^{2} + bx + c$ ma dwa miejsca zerowe $x_{1} = - \frac{2}{5}$ i $x_{2} = 4$ , a jej wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu $y = - 121$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = 25$ , $b = - 90$ Indeks dolny , $c = - 40$

iF2jXRqhtN_d5e866

Ćwiczenie 16

Wykresem funkcji kwadratowej $g (x) = a x^{2} + bx + c$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $A = (- 3, 5)$ , do której należy też punkt $B = (1, - 27)$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = - 2$ , $b = - 12$ Indeks dolny , $c = - 13$

Ćwiczenie 17

Wykresem funkcji kwadratowej $g (x) = a x^{2} + bx + c$ jest parabola, na której leżą punkty $A = (- 1, 5)$ i $B = (2, - 1)$ . Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x = 1$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = 2$ , $b = - 4$ Indeks dolny , $c = - 1$

Ćwiczenie 18

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f (x) = a x^{2} + bx + c$ . Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja $f$ maleje, jest $⟨- 3, + \infty)$ . Parabola będąca wykresem funkcji $f$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą o równaniu $y = 1$ . Ponadto na wykresie tej funkcji leży punkt $P = (- 1, - 1)$ . Ustal wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$ , $b = - 3$ Indeks dolny , $c = - \frac{7}{2}$

Ćwiczenie 19

Punkty $A = (- 3, 5)$ i $B = (- 1, 1)$ leżą na paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ . Wykaż, że punkt $C = (1, - 3)$ nie leży na tej paraboli.

Załóżmy wbrew tezie, że każdy z punktów $A, B$ i $C$ leży na wykresie funkcji $f$ . Wówczas $f (- 3) = 5, f (- 1) = 1, f (1) = - 3$ , więc współczynniki $a, b, c$ spełniają układ równań

\{\begin{array}{l} 9 a - 3 b + c = 5 \\ a - b + c = 1 \\ a + b + c = - 3 \end{array}

Odejmując drugie równanie tego układu od trzeciego, otrzymujemy $2 b = - 4$ , stąd $b = - 2$ . Wobec tego

\{\begin{array}{l} b = - 2 \\ 9 a + c = - 1 \\ a + c = - 1 \end{array}

Odejmując trzecie równanie powyższego układu od drugiego, otrzymujemy $8 a = 0$ , stąd $a = 0$ i $c = - 1$ .
Funkcja $f$ ma więc wzór $f (x) = 0 \cdot x^{2} - 2 x - 1$ . Jednak wtedy funkcja $f$ nie jest funkcją kwadratową.
Wobec otrzymanej sprzeczności stwierdzamy, że punkt $C = (1, - 3)$ nie leży na wykresie funkcji $f$ .

Ćwiczenie 20

Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + bx + c$ jest parabola , która ma dokładnie jeden punkt wspólny z osią $Ox$ . Na tej paraboli leżą punkty $A = (1, - 9)$ oraz punkt $B = (- 3, - 1)$ . Wyznacz wartość każdego ze współczynników $a$ , $b$ i $c$ . Rozpatrz wszystkie przypadki.

$\{\begin{array}{l} a = - 1 \\ b = - 4 \\ c = - 4 \end{array}$ lub $\{\begin{array}{l} a = - \frac{1}{4} \\ b = - 2 \frac{1}{2} \\ c = - 6 \frac{1}{4} \end{array}$

Ćwiczenie 21

Wyznacz wszystkie wartości $b$ , dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $f (x) = x^{2} - 2 bx + b + 25$ leży na prostej $y = x$ .

$b = 5$ lub $b = - 5$

Ćwiczenie 22

Wyznacz wszystkie wartości $c$ , dla których miejscem zerowym funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = x^{2} - 2 cx + c + 2$ jest liczba $x = c$ .

$c = - 1$ lub $c = 2$

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Równanie kwadratowe

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie