Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Czy piłka tenisowa może mieć taką samą energię jak biegnący pies?

Rozpędzone ciało ma energię – możemy się o tym łatwo przekonać, gdy próbujemy złapać rzucony nam przedmiot lub odbić piłkę tenisową rakietą
Już wiesz
  • podać definicję energii jako wielkości fizycznej opisującej stan ciała lub układu ciał, wyrażającej jego zdolność do wykonania pracy;

  • przedstawiać energię mechaniczną jako sumę energii potencjalnej i kinetycznej;

  • podać definicję jednostki energii;

  • podać definicję energii potencjalnej.

Nauczysz się
  • od czego i jak zależy energia kinetyczna ciała;

  • obliczania energii kinetycznej ciała;

  • rozwiązywania zadań rachunkowych związanych z energią kinetyczną.

W jednym z ostatnich podrozdziałów wspomnieliśmy o rozpędzonej kuli do gry w kręgle. Stwierdziliśmy wówczas, że praca włożona w rozpędzanie kuli może zostać chociaż częściowo zwrócona, gdy kula przesuwa i przewraca kręgle. Oznacza to, że kula dzięki wykonanej nad nią pracy zyskała energię. Ponieważ związana jest ona z ruchem kuli, nazywamy ją energią kinetyczną.

Od czego zależy energia kinetyczna poruszającej się kuli? Zacznijmy od doświadczenia.

Doświadczenie 1

Ustalenie, od czego zależy energia kinetyczna ciała.

Co będzie potrzebne
  • dwa przedmioty w kształcie walca o jednakowych średnicach i różnych masach (mogą to być puszki po napojach lub dezodorantach – jedna pusta, druga pełna);

  • dwa jednakowe drewniane klocki lub inne niezbyt ciężkie przedmioty w kształcie prostopadłościanu (np. pudełka zapałek);

  • linijka;

  • kawałek kredy lub łatwo zmywalny mazak;

  • ściereczka lub nawilżona chusteczka do zmywania śladów kredy lub flamastra.

Instrukcja
  1. Połóż drewniany klocek mniej więcej na środku ławki.

  2. Zaznacz kredą lub flamastrem początkowe położenie klocka.

  3. Połóż jeden z walców w pobliżu krótszej krawędzi ławki i lekko popchnij go w stronę klocka.

    Rozłożenie przyrządów potrzebnych do przeprowadzenia doświadczenia na ławce

  4. Toczący się walec przesunął klocek – zaznacz miejsce, gdzie klocek się zatrzymał, i zmierz przesunięcie klocka.

  5. Zanotuj wynik w tabeli 1 i zetrzyj ślady na ławce.

  6. Powtórz czynności z pkt. 3–5, zwiększając wartość początkowej prędkości walca.

    Tabela do doświadczenia 1.

    Prędkość walca

    Przesunięcie klocka [cm]

    mała

     

    średnia

     

    duża

     
  7. Teraz na środku ławki połóż dwa drewniane klocki, a bliżej krótszej krawędzi – dwa walce o różnych masach.

  8. Zaznacz położenia początkowe pudełek. Przy ich ustawianiu ważne jest, aby odległość między walcem a klockiem była jednakowa dla obu par przyrządów.

  9. Za pomocą linijki popchnij jednocześnie oba walce, tak aby uzyskały jednakową prędkość początkową.

    Linijka wprawia w ruch jednocześnie oba walce

  10. Każdy z walców przesunął „swój klocek” – zaznacz miejsca, gdzie klocki się zatrzymały, i zmierz przesunięcia klocków.

  11. Zanotuj wyniki w tabeli 2, zetrzyj ślady na ławce.

    Tabela do doświadczenia 2.

    Walec

    Przesunięcie klocka [cm]

    o mniejszej masie

     

    o większej masie

     
  12. Wprawianie walców w ruch tak, aby toczyły się po linii prostej, popychały klocki – a nie odbijały się od nich, oraz aby przesunięcia klocków nie były większe od długości ławki, wymaga nieco wprawy. Dlatego czynności opisane w tej instrukcji warto powtórzyć kilka razy.

Podsumowanie
  1. Jeśli przesunięcia klocka zanotowane w drugiej kolumnie tabeli 1 były coraz większe, oznacza to, że praca wykonana przez walec była coraz większa. Walec wykonywał pracę kosztem swojej energii kinetycznej. Jeśli mógł wykonać większą pracę, to znaczy, że miał większą energię. Możemy zapisać wniosek, że energia kinetyczna toczącego się walca zależy od jego prędkości, przy czym większa wartość prędkości oznacza większą energię kinetyczną.

  2. Jeśli walec o większej masie przesunął pudełko na większą odległość, to znaczy, że wykonał większą pracę. Podobnie jak poprzednio walce wykonywały pracę kosztem energii kinetycznej. Większa praca została wykonana przez ten walec, który miał więcej energii. Z wyników w tabeli 2 wynika, że większą energię miał walec o większej masie. Ponieważ oba walce miały taką samą wartość prędkości, możemy zapisać wniosek, że energia kinetyczna toczącego się walca zależy od jego masy, przy czym większa masa oznacza większą energię kinetyczną.

Nasze doświadczenie miało charakter jakościowy, nie mierzyliśmy bowiem prędkości walców, ale wnioski z tego doświadczenia można rozszerzyć na inne ciała znajdujące się w ruchu.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała rośnie wraz ze wzrostem masy ciała oraz ze wzrostem jego prędkości.

W celu wyprowadzenia wzoru opisującego zależność energii kinetycznej od masy i prędkości ciała przeprowadźmy doświadczenie wirtualne.

Obliczmy pracę wykonaną przez siłę F przy rozpędzaniu samochodu:

W=F·s

gdzie siła F zgodnie z drugą zasadą dynamiki jest równa F=m·a, a drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym można wyrazić wzorem:

s= 12·a·t2

Zatem po podstawieniu do wzoru na pracę wyrażeń na siłę i drogę otrzymujemy zależność:

W=F·s=m·a· 12·a·t2= 12·m·(a·t) 2=12·m·v2

Skorzystaliśmy tutaj z przemienności mnożenia oraz ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym: v=(a·t).

Zgodnie z przyjętą wcześniej definicją praca sił zewnętrznych jest równa przyrostowi energii ciała – w tym wypadku energii kinetycznej.
Ostatecznie możemy zapisać:

Ekin=12·m·v2
energia kinetyczna

– jedna z form energii mechanicznej, którą posiadają ciała będące w ruchu. Energia kinetyczna zależy od masy ciała oraz wartości jego prędkości. Energia ta równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m rozpędzić do prędkości v (lub zatrzymać ciało będące w ruchu). Jednostką energii kinetycznej, tak jak wszystkich innych form energii, jest dżul.
Wartość energii kinetycznej ciała jest równa iloczynowi połowy masy ciała i kwadratu wartości prędkości ciała:

energia kinetyczna=12·masa·prędkość2
Ekin=12·m·v2

* Wzór ten jest poprawny tylko w pewnym zakresie prędkości

Zadania do lekcji

Ćwiczenie 1

Przejdźmy teraz do sposobów obliczania energii kinetycznej. Oto kilka przykładów.

Przykład 1

Oblicz energię kinetyczną wózka widłowego o masie 300 kg, poruszającego się z prędkością 5 ms.
Dane:
= 300 kg
v=5 ms
Szukane:
Ekin=? 
Rozwiązanie:
Energię kinetyczną obliczamy, korzystając z wcześniej zapisanego wzoru:
Ekin=12·m·v2=12·300 kg·(5 ms)2=150·25 kg·m2s2=3750 J.
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wynosi 3750 dżuli.

Przykład 2

Jak i ile razy zmieni się energia kinetyczna wózka opisanego w przykładzie poprzednim, gdy po załadowaniu towarami jego masa wzrośnie dwukrotnie, a prędkość pozostanie niezmieniona?
Dane:
= 300 kg
m2=2·m=2·300 kg=600 kg
v2=v=5ms
Szukane:
Ekin2Ekin=? 
Rozwiązanie:
Sposób 1:
Obliczamy nową wartość energii kinetycznej wózka:
Ekin2=12·m·v2=12·600 kg·(5 ms)2=300·25 kg·m2s2=7500 J
i dzielimy ją przez wcześniejszą wartość energii kinetycznej:
Ekin2Ekin=7500 J3750 J=2.
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wzrosła dwukrotnie.
Sposób 2:
Zapisujemy wzór na energię kinetyczną wózka o dwukrotnie większej masie:
Ekin2=12·m2·v2=12·2·m·v2=2·12·m·v2=2·Ekin
(skorzystaliśmy tu z zasady przemienności mnożenia).
Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka załadowanego towarami jest dwa razy większa niż energia kinetyczna wózka pustego.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała jest wprost proporcjonalna do masy ciała. To znaczy, że na przykład ciało o trzykrotnie większej masie ma trzy razy większą energię kinetyczną przy tej samej wartości prędkości.

Przykład 3

Samochód o masie 2000 kg jechał początkowo z prędkością o wartości 10ms, następnie przyspieszył do 20ms. Jak i ile razy zmieniła się energia kinetyczna samochodu?
Dane:
=2 000kg
v1=10 ms
v2=20 ms=2·v1
Szukane:
Ekin2Ekin=? 
Rozwiązanie:
Sposób 1
Obliczamy wartość początkowej energii kinetycznej samochodu oraz jej wartość po zwiększeniu prędkości:
Ekin1=12·m·v12=12· 2 000 kg·10ms2=1 000·100kg·m2s2=100 000 J=100 kJ,
Ekin2=12·m·v22=12·2 000 kg·20ms2=1000·400kg·m2s2=400 000 J=400 kJ,
a następnie dzielimy te wartości przez siebie:
Ekin2Ekin1=400 kJ100 kJ=4.
Odpowiedź:
Gdy samochód zwiększył swą prędkość dwukrotnie, jego energia kinetyczna wzrosła czterokrotnie.
Sposób 2
Obliczamy iloraz energii kinetycznych po przyspieszeniu i przed przyspieszeniem:
Ekin2Ekin1=12·m·v2212·m·v12=(2·v1)2v12=4·v12v12=4.
Odpowiedź:
Po dwukrotnym wzroście prędkości energia kinetyczna samochodu wzrosła czterokrotnie.

Zapamiętaj!

Energia kinetyczna ciała jest proporcjonalna do kwadratu prędkości, co oznacza, że na przykład trzykrotny wzrost prędkości danego ciała (o stałej masie) powoduje aż dziewięciokrotny wzrost jego energii kinetycznej.

Przykład 4

Cząsteczki tlenu i wodoru mają takie same energie kinetyczne. Masa cząsteczki tlenu jest 16 raz większa od masy cząsteczki wodoru. Która z tych cząsteczek porusza się szybciej i ile razy?
Rozwiązanie:
mtlenu=16·mwodoru
Ekintlenu=Ekinwodoru.
Taka sama wartość energii kinetycznej nie oznacza takiej samej prędkości, bo energia kinetyczna zależy też od masy. Skoro masa cząsteczki tlenu jest większa, to tę samą wartość energii kinetycznej cząsteczka ta osiągnie przy mniejszej prędkości. Policzmy:
Ekintlenu=Ekinwodoru,
12·mtlenu·vtlenu2=12·mwodoru·vwodoru2,
16·mwodoru·vtlenu2=mwodoru·vwodoru2,
16·vtlenu2=vwodoru2,
4·vtlenu=vwodoru.

Odpowiedź:
Większą prędkość ma cząsteczka wodoru. Prędkość ta jest 4 razy większa od prędkości cząsteczki tlenu.

Zapamiętaj!

Ciała o różnych masach mogą mieć takie same energie kinetyczne, jeśli mają różne prędkości. Ciało o masie mniejszej osiągnie tę samą energię kinetyczną co ciało masywniejsze, jeśli jego prędkość będzie większa. Przy czym prędkość silniej wpływa na wartość energii kinetycznej i już 10 razy większa prędkość wystarczy, aby uzyskać taką energię, jaką ma ciało o masie 100 razy większej, bez zmiany wartości prędkości.

Polecenie 1

Wyszukaj w dostępnych ci źródłach informacji o masach i prędkościach osiąganych przez słonie i pociski karabinowe oraz odpowiedz na pytanie postawione we wstępie do tego modułu: czy pocisk może mieć taką samą energię, jak rozpędzony słoń?

Przykład 5

Marek i Krzysiek z II c siedzieli w autokarze, którym z całą klasą wyjeżdżali na wycieczkę. Piotrek – ich kolega z II b stał na parkingu i patrzył z zazdrością na odjeżdżających. Na najbliższej lekcji fizyki nauczyciel polecił Markowi i Piotrkowi, aby obliczyli energię kinetyczną Krzyśka podczas jazdy autobusu.
Marek stwierdził, że skoro Krzysiek siedzi obok niego, to jego prędkość jest równa zero, a więc również energia kinetyczna kolegi ma wartość zero, i taką odpowiedź wysłał nauczycielowi.
Piotrek zaś policzył: połowa masy Krzyśka to 25 kg, szybkość Krzyśka jest taka jak całego autokaru, czyli około 10 metrów na sekundę. 10 do kwadratu wynosi 100. Wynik: energia kinetyczna Krzyśka to 2500 J i takiej udzielił odpowiedzi.
Który z chłopców podał prawidłowy wynik zadania?
Rozwiązanie:
Obaj udzielili poprawnej odpowiedzi. Każdy z nich liczył energię kinetyczną względem siebie (a więc w układach odniesienia związanych z obserwatorem), a ponieważ prędkość ciała (w tym wypadku Krzyśka) zależy od układu odniesienia, to tak samo jest w przypadku wartości energii kinetycznej.

Zapamiętaj!

Wartość energii kinetycznej zależy od układu odniesienia, ponieważ prędkość ciała zależy od układu odniesienia.

Przykład 6

Pocisk o masie m=5 g przed uderzeniem w drewnianą belkę poruszał się z prędkością o wartości 500ms. Po uderzeniu w belkę zagłębił się w drewno na głębokość 20 cm. Oblicz:

  1. energię kinetyczną pocisku przed uderzeniem w przeszkodę;

  2. pracę, jaką wykonała siła oporu podczas ruchu pocisku w drewnie;

  3. średnią wartość siły oporu (czyli zakładamy, że ta wartość jest stała).

Dane:
m =5 g=0,005 kg,
v=500 ms,
s =20 cm=0,2 m.
Rozwiązanie:

  1. Ekin=12·m·v2=12·0,005 kg·500ms2=0,0025·250000kg·m2s2=625 J;

  2. Praca wykonana przez siły oporu ma wartość równą zmianie energii kinetycznej pocisku, czyli: Woporu=625 J.

  3. Korzystamy ze wzoru na pracę:
    Woporu=Foporu·s,
    Foporu=Woporus=625 J0,2 m=3125 N.

Odpowiedź:
Energia kinetyczna pocisku wynosiła 625 J. Siła oporu zmniejszyła ją do zera, wykonując pracę o takiej właśnie wartości. Aby zatrzymać ten pocisk na drodze 20 cm, siła ta musiała mieć średnią wartość 3125 N.

Podsumowanie

  • Energia kinetyczna to jedna z form energii mechanicznej. Mają ją ciała będące w ruchu i zależy ona od masy danego ciała oraz wartości jego prędkości.

  • Energia kinetyczna ciała równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m rozpędzić do prędkości v (lub zatrzymać ciało będące w ruchu).

  • Jednostką energii kinetycznej, tak jak wszystkich innych form energii, jest dżul (1 J).

  • Wartość energii kinetycznej ciała równa jest połowie iloczynu masy ciała i kwadratu wartości jego prędkości: energia kinetyczna=12·masa·prędkość2
     Ekin=12·m·v2

  • Energia kinetyczna ciała jest wprost proporcjonalna do masy ciała. To oznacza, że na przykład ciało o dwukrotnie większej masie ma dwa razy większą energię kinetyczną przy tej samej wartości prędkości.

  • Energia kinetyczna ciała jest proporcjonalna do kwadratu prędkości. To oznacza, że na przykład trzykrotny wzrost wartości prędkości danego ciała powoduje aż dziewięciokrotny wzrost jego energii kinetycznej.

  • Wartość energii kinetycznej zależy od układu odniesienia, ponieważ prędkość ciała zależy od układu odniesienia.

  • Ciała o różnych masach mogą mieć takie same energie kinetyczne, jeśli mają różne prędkości. Ciało o masie na przykład 100 razy mniejszej będzie miało tę samą energię kinetyczną co ciało masywniejsze, jeśli jego prędkość będzie 10 razy większa.

Praca domowa
Polecenie 2.1

Samochód o masie 1200 kg jedzie z prędkością o wartości 30 m/s, a następnie hamuje do 20 m/s. Oblicz:

  1. początkową i końcową energię kinetyczną;

  2. zmianę tej energii.

Wskazówka

Zmianę danej wielkości fizycznej obliczamy, odejmując od końcowej wartości tej wielkości jej wartość początkową.

Polecenie 2.2

Samochód o masie m= 1700 kg jechał z prędkością v=36kmh, a po włączeniu hamulców zatrzymał się, przejechawszy jeszcze drogę s=10 metrów.

  1. Oblicz energię kinetyczną samochodu przed włączeniem hamulców.

  2. Oblicz wartość średniej siły i pracę, jaką wykonała podczas zatrzymywania samochodu.

  3. Ile metrów przejechałby ten hamujący samochód, gdyby jego prędkość początkowa była dwa razy większa? Możemy przyjąć, że siła hamowania była taka sama w obu przypadkach.

Wskazówka

Pamiętaj o zamianie jednostek.

Polecenie 2.3

Dwie piłeczki mają taką samą energię kinetyczną. Pierwsza piłeczka ma masę mI=9 g i porusza się z prędkością o wartości vI=36ms. Oblicz prędkość drugiej piłeczki, która ma masę mII=1 g.

Zadania podsumowujące lekcję

Ćwiczenie 2
Ćwiczenie 3
Ćwiczenie 4
Ćwiczenie 5