Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie S i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest mniejsza bądź równa r.

K(S,r) – koło o środku w punkcie S i promieniu r

Pole koła

Ważne!

Pole koła o promieniu r jest równe iloczynowi liczby π i kwadratu promienia .

P=πr2

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu 4 dm.
Do wzoru na pole koła wstawiamy = 4.

P=π42=16π

Pole koła jest równe 16π dm2.

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi 60π cm. Oblicz, ile cm2 blachy potrzeba na jego wykonanie.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L=2πr
60π=2πr/:2π
r=30 cm

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P=πr2
P=π302
P=900π cm2

Przyjmijmy π3,14, wtedy

P9003,14=2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około 2826 cm2 blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe 4πmm2. Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o boku długości 1,2 cm?
Obliczamy najpierw średnicę d koła, w kształcie którego jest konfetti.

4π=πr2
r2=4
r=2

bo r>0

d=2r
d=4 mm

Ponieważ 1,2 cm = 12 mm, zatem w kwadracie o boku 12 mm zmieści się 9 kół o średnicy 4 mm każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć 9 konfetti.

Przykład 4

Hipokrates z Chios badał własności figur, zwanych obecnie księżycami Hipokratesa. Księżyce Hipokratesa to figury w kształcie księżyców, związane z wielokątami i okręgami.
Rozważmy trójkąt prostokątny ABC. Budujemy okręgi, których średnicami są boki trójkąta ABC.

Figury ograniczone łukami okręgu opartego na przeciwprostokątnej oraz półokręgami opartymi na przyprostokątnych to księżyce Hipokratesa.

Ćwiczenie 1

Oznacz a, b przyprostokątne trójkąta ABC, c – przeciwprostokątną. Oblicz pole trójkąta. Oblicz sumę pół księżyców Hipokratesa. Co zauważasz?

Przykład 5

Salinon (po grecku solniczka) to figura ograniczona 4 półkolami swoim kształtem przypominająca solniczkę. Opisywał ją już Archimedes.

Rozważ salinon oparty na średnicy AB. Niech FG będzie odcinkiem prostopadłym do tej średnicy i przechodzącym przez jej środek. Punkty FG niech leżą na półkolach ograniczających salinon.
Wykaż, że pole salinonu jest równe polu koła, którego średnicą jest odcinek FG.
Odpowiedź
Niech

GF=2R
|CE|= r

Wtedy

|AE|= 2R-r
|AC|=2 2r

Suma pół półkoli opartych na średnicach ADEB jest równa

πR-r2

Pole salinonu jest równe

π2R-r22+πr22-πR-r2=
π4R2-4Rr+r22+πr22-πR2-2Rr+r2
=π2R2-2Rr+r22+r22-R2+2Rr-r2=πR2
Ćwiczenie 2

Niech AB będzie średnicą koła o środku w punkcie S. Punkt C niech leży na odcinku AB, natomiast punkt P niech leży na okręgu o średnicy AB.

Wykaż, że pole arbelosa jest równe polu koła K(S, |SB|).

Przykład 6

Na trójkącie prostokątnym opisano koło o polu 2,25π. Oblicz sumę kwadratów długości przyprostokątnych tego trójkąta.

Wiemy już, że środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest zarazem środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Oznaczmy przez r promień tego koła, natomiast przez a, b – przyprostokątne trójkąta wpisanego w to koło.
Pole koła jest równe 2,25π. Stąd

πr2=2,25π /:π
r2=2,25
r=2,25=1,5

bo r>0
Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego wpisanego w koło jest równa 2r, czyli 3.
Rozważany trójkąt jest prostokątny, możemy więc skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zapisując związek między długościami jego boków.

a2+b2=c2
a2+b2=32
a2+b2=9

Wynika z tego, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta jest równa 9.

Ćwiczenie 3

Pole koła o obwodzie 2,6π jest równe

Ćwiczenie 4

Obwód koła o polu 4981π jest równy

Ćwiczenie 5

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy 11 cm, a większego 17 cm.

Pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te koła jest równe

Ćwiczenie 6

Średnica pokrywki od garnka jest równa 30 cm. Ile blachy użyto na jej wykonanie?

Ćwiczenie 7

Zapisz, jak zmieni się pole koła, gdy jego średnicę

  1. zwiększymy dwukrotnie

  2. zmniejszymy sześciokrotnie

  3. zwiększymy o 40%

  4. zmniejszymy o 20%

Ćwiczenie 8

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe 1.

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 9

W kwadrat o boku długości 10 cm wpisano koło K. Na tym kwadracie opisano też koło K1. Stosunek pola koła K1 do pola koła K jest równy

Ćwiczenie 10

Pole powierzchni okrągłego klombu jest równe 1 a. Przybliżona długość promienia koła, w kształcie którego jest klomb, jest równa

Ćwiczenie 11

Punkt B jest środkiem koła. Punkt A nie należy do tego kola. Prosta przechodząca przez punkt A jest styczna do koła w punkcie C. Wiadomo, że |AB| =10 cm|AC|=8 cm. Oblicz pole koła.

Ćwiczenie 12

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Gdyby koła te były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków wynosiłaby 8 cm. Oblicz pola tych kół.

Ćwiczenie 13

Odległość środków dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 10 cm. Promienie kół pozostają w stosunku 4: 1. Oblicz pola tych kół.

Ćwiczenie 14

Oblicz obwód kwadratu, którego pole jest równe polu koła o średnicy 18.

Ćwiczenie 15

Oblicz stosunek obwodu koła o polu 16π do obwodu koła o polu 169π.

Ćwiczenie 16

Promień koła o polu 30 cm2 jest równy r. Promień koła o obwodzie 30 cm jest równy R.
Wskaż nierówność prawdziwą.

Ćwiczenie 17

Koło i kwadrat mają równe pola. Oblicz stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.

Ćwiczenie 18

Punkt P( -1,3) leży na okręgu o środku = (0,5). Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Ćwiczenie 19

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ćwiczenie 20

Dokończ zdanie.

  1. Pole koła jest równe 16π. Średnica tego koła wynosi …

  2. Obwód koła jest równy π. Pole tego koła jest równe …

Ćwiczenie 21

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Średnica koła

Pole koła

Obwód koła

 8
   
 
π
 
   
24 π
Ćwiczenie 22

Koło oraz romb o przekątnych długości 8 cm6 cm mają takie same obwody. Pole koła wynosi

Ćwiczenie 23

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Długość boku trójkąta równobocznego

Promień koła opisanego na tym trójkącie

Pole koła opisanego na tym trójkącie

63 
 
12
   
   
3π 
π 
   
Ćwiczenie 24

Witraż ma kształt trójkąta równobocznego o boku długości 24 cm. Pomarańczowa część witraża jest w kształcie koła wpisanego w ten trójkąt. Pozostała część witraża jest niebieska.

Oblicz pole niebieskiej figury.

Ćwiczenie 25

W okrąg wpisano kwadrat i na ty samym okręgu opisano kwadrat. Stosunek pola kwadratu opisanego na okręgu do pola kwadratu wpisanego w ten okrąg

Ćwiczenie 26

Pole koła o środku w punkcie O jest równe 1,69π. W odległości 0,5 od punktu O poprowadzono cięciwę.
Zaznacz każde zdanie prawdziwe.

Ćwiczenie 27

Na trójkącie równobocznym o boku długości 3 opisano okrąg i w ten trójkąt wpisano okrąg .
Wykaż, że pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez te okręgi jest równe 34π.

Ćwiczenie 28

Pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym jest równe 72π.
Oblicz obwód tego trójkąta.