Rozważmy prostą oraz okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Prosta oraz okrąg, leżące w tej samej płaszczyźnie, mogą mieć jeden punkt wspólny, mogą mieć dwa punkty wspólne lub nie mają punktów wspólnych.

R1NT7rq2gINfp1

Animacja pokazuje trzy położenia prostej i okręgu. Prosta rozłączna nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Prosta sieczna ma 2 punkty wspólne z okręgiem.

Animacja pokazuje trzy położenia prostej i okręgu. Prosta rozłączna nie ma punktów wspólnych z okręgiem. Prosta styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem. Prosta sieczna ma 2 punkty wspólne z okręgiem.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DdQwMDfgB

Dane

Wzajemne położenie prostej i okręgu
Nazwa prostej	Liczba punktów wspólnych prostej i okręgu	Interpretacja graficzna
Sieczna okręgu	dwa	R5S4096QC20vH1 Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną sieczną AB okręgu. $A$, $B$ – punkty wspólne prostej i okręgu
Styczna do okręgu	jeden	R3Loe27im6YgW1 Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną styczną w punkcie A do okręgu. $A$ – punkt wspólny prostej i okręgu
Rozłączna z okręgiem	zero	Rjriu2l3j097J1 Rysunek okręgu o środku w punkcie S i promieniu r wraz z poprowadzoną prostą rozłączną z okręgiem. Prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.

 Styczna do okręgu

Twierdzenie:  Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia tego okręgu poprowadzonego z punktu styczności.

R19dSEXlUTvY91

Rysunek okręgu o środku S i promieniu r i stycznej do okręgu w punkcie C.

Rozważmy okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$ oraz punkt $A$ leżący na zewnątrz tego okręgu. Poprowadźmy dwie styczne do tego okręgu przechodzące przez punkt $A$. Punkty styczności oznaczmy $B$ i $C$.

RWlijNbn7kfT91

Rysunek dwóch stycznych AB i AC do okręgu o środku S przecinających się w punkcie A. Promień okręgu wraz z styczną tworzą kąt prosty.

RbG0cOy9ezSAf1

Animacja prezentuje, w 6 krokach, dowód twierdzenia o odcinkach stycznych. Na okręgu o środku S i promieniu r zaznaczono punkty B, C i D oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Udowodnimy, że odcinek AB jest równy odcinkowi AC. Prowadzimy odcinek AS. Zauważamy, że odcinki SB i SC. są równe promieniowi okręgu r. Bok SA jest równoodległy od ramion kąta, więc należy do dwusiecznej kąta B A C. Kąty A C S i A B S to kąty proste, więc kąty A S C i A S B mają równe miary. Z cechy b k b wynika, że trójkąty A B S i A C S są przystające, więc boki AB i AC są równe.

Animacja prezentuje, w 6 krokach, dowód twierdzenia o odcinkach stycznych. Na okręgu o środku S i promieniu r zaznaczono punkty B, C i D oraz punkt A leżący na zewnątrz tego okręgu. Udowodnimy, że odcinek AB jest równy odcinkowi AC. Prowadzimy odcinek AS. Zauważamy, że odcinki SB i SC. są równe promieniowi okręgu r. Bok SA jest równoodległy od ramion kąta, więc należy do dwusiecznej kąta B A C. Kąty A C S i A B S to kąty proste, więc kąty A S C i A S B mają równe miary. Z cechy b k b wynika, że trójkąty A B S i A C S są przystające, więc boki AB i AC są równe.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DdQwMDfgB

Poprowadźmy odcinek $\mathrm{AS}$ . Trójkąty $\mathrm{ABS}$ i $\mathrm{ACS}$ są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną $\mathrm{SA}.$ Przyprostokątne $\mathrm{SB}$ i $\mathrm{SC}$ mają taką samą długość $r$. Obliczając z twierdzenia Pitagorasa trzeci z boków w obu trójkątach, otrzymujemy

oraz

zatem

Rozważmy dwa okręgi: jeden o środku w punkcie $S_1$ i promieniu $r_1$, drugi o środku w punkcie $S_2$ i promieniu $r_2$, przy czym $S_1\ne S_2.$ Dwa okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny lub nie mają punktów wspólnych.

Rp5mfKzkrZ45W1

Animacja pokazuje, w 10 krokach, trzy wzajemne położenia dwóch okręgów. Okręgi mogą być rozłączne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, bez punktów wspólnych, styczne z jednym punktem wspólnym i przecinające się z dwoma punktami wspólnymi.

Animacja pokazuje, w 10 krokach, trzy wzajemne położenia dwóch okręgów. Okręgi mogą być rozłączne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, bez punktów wspólnych, styczne z jednym punktem wspólnym i przecinające się z dwoma punktami wspólnymi.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DdQwMDfgB

Dane

Wzajemne położenie dwóch okręgów o różnych promieniach
Nazwa okręgów	Liczba punktów wspólnych	Zależność między środkami $S_1$, $S_2$ okręgów a ich promieniami $r_1$, $r_2$	Interpretacja graficzna
Okręgi przecinające się	dwa	$\left|r_1-r_2\right|<\left|S_1{S}_2\right|$ $<r_1+r_2$	R1JxUk0dYmmf11 Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi przecinają się w dwóch punktach.
Okręgi styczne zewnętrznie	jeden	$\left|S_1{S}_2\right|=r_1+r_2$	R5tmhIoYqJPOm1 Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są styczne zewnętrznie więc mają jeden punkt wspólny.
Okręgi styczne wewnętrznie	jeden	$0<\left|S_1{S}_2\right|=\left|r_1-r_2\right|$	ReF1Ue8OmZxuG1 Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są styczne wewnętrznie więc mają jeden punkt wspólny.
Okręgi rozłączne zewnętrznie	zero	$\left|S_1{S}_2\right|>r_1+r_2$	R7P5oVSrs7b7Y1 Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są rozłączne zewnętrznie więc nie mają punktów wspólnych.
Okręgi rozłączne wewnętrznie	zero	$\left|S_1{S}_2\right|<\left|r_1-r_2\right|$	R12rAZT5ljImz1 Rysunek dwóch okręgów. Jeden o środku S z indeksem dolnym jeden i promieniu r z indeksem dolnym jeden oraz drugi o środku S z indeksem dolnym dwa i promieniu r z indeksem dolnym dwa. Okręgi są rozłączne wewnętrznie więc nie mają punktów wspólnych.