Proste równoległe, proste prostopadłe

iDvVAVc0GR_d5e82

W klasie pierwszej, w rozdziale o własnościach funkcji liniowej ustaliliśmy, że jeżeli wykresy funkcji liniowych są do siebie równoległe, to ich współczynniki kierunkowe są równe.

R1VBcpJtcYQ2v1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DePf7G83i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

R1KfE1s1P2toL1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DePf7G83i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Proste równoległe

Twierdzenie: Proste równoległe

Proste o równaniach

$m : y = a_{1} x + b_{1}$
$k : y = a_{2} x + b_{2}$

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.

a_{1} = a_{2}

Przykład 1

Wyznacz równanie prostej $k$ , która jest równoległa do prostej o równaniu $y = - 3 x + 4$ i przechodzi przez punkt

P = (- 2, 3) .

Ponieważ proste są równoległe, to ich współczynniki są równe. Zatem równanie prostej $k$ możemy zapisać

y = - 3 x + b .

Współrzędne punktu $P = (- 2, 3)$ spełniają równanie prostej $y = - 3 x + b$ . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy

3 = - 3 ∙ (- 2) + b,

więc

b = - 3 .

Wynika z tego, że prosta $k$ ma równanie $y = - 3 x - 3$ .

RpKd24XGUsgrC1

Rysunek prostej y =-3x +4 i prostej k przechodzącej przez punkt P =(-2, 3) w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RP3BA1impP3CW1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iDvVAVc0GR_d5e197

Przykład 2

Dana jest prosta $m$ o równaniu $y = ax (a \neq 0)$ . Ta prosta jest przekątną prostokąta $ABCD$ , w którym $B = (1, a)$ i $D = (0, 0)$ . Zbudujmy prostokąt $A_{1} B_{1} C_{1} D$ , w którym $B_{1} = (- a, 1)$ .
Oba prostokąty są przystające, a zatem odpowiednie kąty między bokami i przekątnymi są równe.

RFz1pm0KTRlzH1

Rysunek prostych prostopadłych m oraz k w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że kąt między prostymi zawierającymi przekątne prostokątów jest sumą dwóch kątów

β = α + (90 ° - α),

czyli

β = 90 ° .

Zatem proste $k$ i $m$ są prostopadłe.
Prosta $k$ ma równanie $y = a_{1} x$ , a punkt $B_{1}$ ma współrzędne $(- a, 1)$ . Po podstawieniu współrzędnych punktu $B_{1}$ do równania prostej otrzymamy

1 = a_{1} ∙ (- a)

- 1 = a_{1} ∙ a .

R1sDf009EGKky1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DePf7G83i

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Proste prostopadłe

Twierdzenie: Proste prostopadłe

Proste o równaniach $m : y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $k : y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek

a_{1} ∙ a_{2} = - 1

Ważne!

Jeśli współczynnik kierunkowy jednej z prostych jest równy $0$ , a więc prosta jest równoległa do osi $Ox$ , to prosta do niej prostopadła jest równoległa do osi $Oy$ i opisana jest równaniem $x = x_{0}$ .

Przykład 3

Napisz równanie prostej $k$ , która jest prostopadła do prostej o równaniu $y = 2 x - 1$ i przechodzi przez punkt $P = (- 2, 3)$ .

R1BYNpikYV2iK1

Rysunek prostej y =2x -1 i prostej k przechodzącej przez punkt P =(-2, 3) w układzie współrzędnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współczynnik kierunkowy $a$ prostej $y = 2 x - 1$ jest równy $2$ . Równanie prostej $k$ ma postać

y = a_{1} x + b .

Ponieważ proste są prostopadłe, to ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek $- 1 = {a ∙ a}_{1}$ . Po podstawieniu $a = 2$ otrzymamy

- 1 = {2 ∙ a}_{1}

a_{1} = - \frac{1}{2}

Równanie prostej $k$ możemy zapisać w postaci $y = - \frac{1}{2} x + b$ .
Współrzędne punktu $P = (- 2, 3)$ spełniają równanie prostej $y = - \frac{1}{2} x + b$ . Po ich podstawieniu do równania otrzymujemy

3 = - \frac{1}{2} ∙ (- 2) + b,

więc

b = 2

Wynika z tego, że prosta $k$ ma równanie

y = - \frac{1}{2} x + 2 .

iDvVAVc0GR_d5e317

Przykład 4

Sprawdź, czy proste o równaniach $5 x + 2 y - 15 = 0$ i $- x + 3 y - 10 = 0$ są prostopadłe.
Oba równania zapiszemy w postaci kierunkowej.

y = - \frac{5}{2} x + \frac{15}{2}

y = \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

Współczynniki kierunkowe tych prostych są równe $a_{1} = - \frac{5}{2}$ i $a_{2} = \frac{1}{3}$ .
Sprawdzimy, czy spełniony jest warunek $a_{1} ∙ a_{2} = - 1$ .
Otrzymujemy $- \frac{5}{2} ∙ \frac{1}{3} \neq - 1$ . Wynika z tego, że proste o równaniach

y = - \frac{5}{2} x + \frac{15}{2}

y = \frac{1}{3} x + \frac{10}{3}

nie są prostopadłe.

Przykład 5

Punkty $A = (1, 5),$ $B = (4, 0)$ i $C = (5, 4)$ są wierzchołkami trójkąta. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny.
Aby wykazać, że ten trójkąt jest prostokątny, wystarczy stwierdzić, że dwie proste zawierające boki trójkąta są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki trójkąta obliczymy ze wzoru $a = \frac{y_{A} - y_{B}}{x_{A} - x_{B}}$ .

Tabela. Dane
bok $AB$	bok $AC$	bok $BC$
$a_{AB} = \frac{0 - 5}{4 - 1} = - \frac{5}{3}$	$a_{AC} = \frac{4 - 5}{5 - 1} = - \frac{1}{4}$	$a_{BC} = \frac{4 - 0}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4$

Dla prostych zawierających boki $AC$ i $BC$ zachodzi warunek

a_{AC} {∙ a}_{BC} = - \frac{1}{4} ∙ 4 = - 1 .

Wynika z tego, że te proste są prostopadłe. Zatem trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

R1CtUlrgcJQLF1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych. Współrzędne punktów wierzchołka: A =(1, 5), B =(4, 0), C =(5, 4). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ ma współrzędne $(1, 6)$ , a bok $AB$ leży na prostej opisanej równaniem $x + 6 y - 8 = 0$ . Wyznacz równanie prostej $m$ zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok $AB$ .
Równanie prostej, na której leży bok $AB$ , można zapisać w postaci kierunkowej

y = - \frac{1}{6} x + 1 \frac{1}{3} .

Prosta, zawierająca wysokość opuszczoną na ten bok, jest do niej prostopadła, czyli jej współczynnik kierunkowy musi spełniać warunek

- \frac{1}{6} ∙ a_{1} = - 1 .

Zatem

a_{1} = 6 .

Równanie prostej $m$ możemy zapisać w postaci

y = 6 x + b .

Wierzchołek $C$ trójkąta leży na tej prostej, a jego współrzędne spełniają to równanie. Możemy obliczyć wartość współczynnika $b$

6 = 6 ∙ 1 + b

b = 0

Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta, opuszczoną na bok $AB$ , ma postać $y = 6 x$ .

R1X1GJVRhf7ot1

Rysunek trójkąta A B C w układzie współrzędnych. Poprowadzona prosta m, która zawiera wysokość trójkąta i opuszczona jest na bok AB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Dla jakiej wartości $m$ prosta $y = \frac{1}{3} x - 2$ jest prostopadła do prostej $y = (m^{2} - 12) x + m - 1$ ?
Ponieważ proste są do siebie prostopadłe, to spełniony jest warunek

\frac{1}{3} ∙ (m^{2} - 12) = - 1

m^{2} - 12 = - 3

m^{2} = 9

Wynika z tego, że proste $y = \frac{1}{3} x - 2$ i $y = (m^{2} - 12) x + m - 1$ są prostopadłe dla $m = 3$ lub $m = - 3$ .
Równania tych prostych to $y = - 3 x + 2$ i $y = - 3 x - 4$ .

iDvVAVc0GR_d5e437

Ćwiczenie 1

RP4wz3iE28X6x1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $y = \frac{2}{3} x - 4$ i przechodzącej przez punkt $A = (- 3, 5)$ .
Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu $6 x - 2 y + 3 = 0$ i przechodzącej przez punkt $B = (2, 1)$ .
Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ o wierzchołkach w punktach $A = (2, - 2), B = (6, 0), C = (5, 3)$ i $D = (3, 2)$ jest trapezem.

$y = \frac{2}{3} x + 7$
$y = 3 x - 5$
Prosta zawierająca bok $AB$ ma równanie $y = \frac{1}{2} x - 3$ , a prosta zawierająca bok $CD$ ma równanie $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ . Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy $a = \frac{1}{2}$ , więc $AB ∥ CD$ . Wynika z tego, że $ABCD$ jest trapezem.

Uwaga.
Aby wykazać, że dwie proste, opisane równaniami kierunkowymi są równoległe, wystarczy wykazać, że ich współczynniki kierunkowe są równe.

Ćwiczenie 3

Bok $BC$ równoległoboku $ABCD$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = - 2 x - 1$ , a bok $AB$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = - 1 .$ Wierzchołek $D$ ma współrzędne $D = (3,3)$ . Wyznacz równania prostych zawierających boki $AD$ i $CD$ tego równoległoboku.

Bok $AD$ leży na prostej $y = - 2 x + 9$ , a bok $CD$ na prostej $y = 3 .$

Rlyty5TyHU9ks1

Rysunek równoległoboku A B C D oraz prostych zawierających boki równoległoboku w układzie współrzędnych. Rozwiązanie zadania. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z własności równoległoboku wynika, że bok $AD$ leży na prostej równoległej do $BC$ przechodzącej przez wierzchołek D.
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, zatem równanie prostej $AD$ możemy zapisać w postaci $y = - 2 x + b .$ Współczynnik $b$ obliczymy po podstawieniu do tego równania współrzędnych punktu $D$ .

3 = - 2 ∙ 3 + b

b = 9

Wynika z tego, że bok $AD$ leży na prostej o równaniu $y = - 2 x + 9$ .
Bok $CD$ leży na prostej równoległej do $AB$ i przechodzącej przez punkt $D$ . Prosta $CD$ jest również równoległa do osi $Ox$ i opisuje ją równanie $y = 3$ .

Ćwiczenie 4

R8r56NZ6ApYMB1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RCgHlhsA8OGIo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Ryh876msVUrvo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iDvVAVc0GR_d5e571

Ćwiczenie 7

RLcO7trkjlFgT1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu $y = \frac{3}{5} x - 2$ i przechodzącej przez punkt $A = (3, 1)$ .
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu $- x + 2 y + 6 = 0$ i przechodzącej przez punkt $B = (1, - 1)$ .
Uzasadnij, że trójkąt $ABC$ o wierzchołkach $A = (1, - 1), B = (- 3, 1)$ i $C = (4, 5)$ jest prostokątny.

$y = - \frac{5}{3} x + 6$
$y = - 2 x + 1$
Prosta zawierająca bok $AB$ ma równanie $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ , a prosta zawierająca bok $AC$ ma równanie $y = 2 x - 3$ . Iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy $- \frac{1}{2} ∙ 2 = - 1$ , zatem $AB ⊥ AC$ . Wynika z tego, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Ćwiczenie 9

R17EFdFzuuNhW1

Połącz w pary równania prostych prostopadłych.

$- x - 2 y = - 4$
$x - 4 y =- 1$
$- x + 3 y = 10$
$- x + \frac{1}{2} y = 2 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R11XhNG6IbDX81

Połącz w pary równanie prostej z równaniem prostej równoległej przechodzącej przez punkt $A$ .

$- 2 x + 3 y = - 5$
$- 2 x + y = - 5$
$- 4 x + 3 y = 9$
$4 x + 3 y = 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Wierzchołki trójkąta $ABC$ to punkty o współrzędnych: $A = (4,1)$ , $B = (0,3)$ , $C = (2, - 5)$ . Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A .$

$y = \frac{1}{4} x$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej $y = - 2 x + 3$ jest równy

RY6lr3LPbLpE9

$- \frac{1}{2}$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$2$

static

Ćwiczenie 12

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej $y = - 2 x + 3$ jest równy

R1XXB0XYYdnZf

$- \frac{1}{2}$
$- 2$
$\frac{1}{2}$
$2$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej $y = 3 x - 1$ i przechodzącej przez punkt $P (- 2, - 3)$ .

R1U24tn7LPJ3w

$y = - 3 x - 9$
$y = - 2 x - 3$
$y = 3 x + 3$
$y = 3 x - 3$

static

Ćwiczenie 13

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej $y = 3 x - 1$ i przechodzącej przez punkt $P (- 2, - 3)$ .

R1JSrSgmpruBa

$y = - 3 x - 9$
$y = - 2 x - 3$
$y = 3 x + 3$
$y = 3 x - 3$

iDvVAVc0GR_d5e757

classicmobile

Ćwiczenie 14

Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej $y = 2 x + 3$ ?

R1OGiaqmYqNEc

$y = 2 x - 3$
$y = \frac{1}{2} x + 2$
$y = - 2 x - 7$
$y = - \frac{1}{2} x + 4$

static

Ćwiczenie 14

Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej $y = 2 x + 3$ ?

RarM4jmS0F3uF

$y = 2 x - 3$
$y = \frac{1}{2} x + 2$
$y = - 2 x - 7$
$y = - \frac{1}{2} x + 4$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Proste o równaniach $y = 3 x - 5$ i $y = \frac{1}{5} x + 3$

RnlZnYSTkYCPv

są równoległe i różne
są prostopadłe
przecinają się pod kątem innym niż kąt prosty
pokrywają się

static

Ćwiczenie 15

Proste o równaniach $y = 3 x - 5$ i $y = \frac{1}{5} x + 3$

R1Q1JV5Um8VSH

są równoległe i różne
są prostopadłe
przecinają się pod kątem innym niż kąt prosty
pokrywają się

classicmobile

Ćwiczenie 16

Prosta $- x + 4 y - 6 = 0$ jest prostopadła do prostej $y = ax + 3$ . Wynika z tego, że

R26V4nt4jdBTd

$a = - \frac{1}{4}$
$a = 4$
$a = \frac{1}{4}$
$a = - 4$

static

Ćwiczenie 16

Prosta $- x + 4 y - 6 = 0$ jest prostopadła do prostej $y = ax + 3$ . Wynika z tego, że

RQdjAo5Z66jqb

$a = - \frac{1}{4}$
$a = 4$
$a = \frac{1}{4}$
$a = - 4$

classicmobile

Ćwiczenie 17

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $y = - \frac{\sqrt{2} + 1}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równy

RZ1v18iLt937h

$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
$\frac{- \sqrt{2} - 1}{2}$
$2 \sqrt{2} - 2$
$2 \sqrt{2} + 2$

static

Ćwiczenie 17

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej $y = - \frac{\sqrt{2} + 1}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest równy

R1Ht0ZaoNxngK

$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
$\frac{- \sqrt{2} - 1}{2}$
$2 \sqrt{2} - 2$
$2 \sqrt{2} + 2$

Ćwiczenie 18

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $y = - \frac{1}{5} x + 2$ i przechodzącej przez punkt

$M = (- 1, 3)$
$M = (0, 0)$
$M = (4, 0)$
$M = (0, 5)$

$y = 5 x + 8$
$y = 5 x$
$y = 5 x - 20$
$y = 5 x + 5$

Ćwiczenie 19

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 2)$ i jest prostopadły do prostej $y = - 2 x + 3$ .

$y = \frac{1}{2} x - 2$

Ćwiczenie 20

Punkty $A = (3, 5)$ , $B = (- 2, - 4)$ , $C = (6, - 1)$ są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie prostej, na której leży wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka $C$ .

$y = - \frac{5}{9} x + \frac{7}{3}$

Ćwiczenie 21

Punkty $A = (2, 6)$ , $B = (2, 1)$ , $C = (- 2, - 2)$ i $D = (- 2, 3)$ są wierzchołkami czworokąta $ABCD$ . Uzasadnij, że ten czworokąt jest równoległobokiem.

Boki $AB$ i $DC$ czworokąta leżą na prostych o równaniach $x = 2$ i $x = - 2$ . Wynika z tego, że są do siebie równoległe.
Bok $CB$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$ , a bok $AD$ na prostej o równaniu $y = \frac{3}{4} x + 4 \frac{1}{2}$ . Te proste są do siebie równoległe.
Wynika z tego, że czworokąt $ABCD$ ma dwie pary boków równoległych , czyli jest równoległobokiem.

Ćwiczenie 22

Dla jakich wartości parametru $m$ proste $k : y = (m + 2) x - 1$ i $l : y = (3 m - 2) x + m$ są równoległe?

$m = 2$

Ćwiczenie 23

Dla jakich wartości parametru $m$ proste $y = (m + 5) x - 2 m$ i $y = \frac{1}{2} x + 7$ są prostopadłe?

$m = - 7$

Ćwiczenie 24

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach $A = (0, 2)$ , $B = (3, 1)$ , $C = (2, 3)$ jest prostokątny.

Bok $AC$ leży na prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 2$ , a bok $CB$ na prostej $y = - 2 x + 7$ .
$\frac{1}{2} ∙ (- 2) = - 1$ , zatem boki $AC$ i $CB$ są do siebie prostopadłe, czyli trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Ćwiczenie 25

Podstawa $AB$ trapezu $ABCD$ zawiera się w prostej $y = - 3 x + 5$ . Wyznacz równanie prostej, w której zawiera się podstawa $CD$ , jeżeli $C = (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ .

$y = - 3 x - 2$

Ćwiczenie 26

Punkty $A = (1, - 1)$ , $B = (3, 3)$ , $C = (0, 6)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$ . Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki tego równoległoboku oraz współrzędne wierzchołka $D$ .

$y = - x$ , $y = - x + 6$ , $y = 2 x - 3$ , $y = 2 x + 6$ , $D = (- 2,2)$

Równanie prostej w postaci ogólnej oraz w postaci kierunkowej

Długość odcinka. Środek odcinka