Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Ten materiał nie może być udostępniony
 Wartość bezwzględna
Definicja:  Wartość bezwzględna

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

  • Odległość liczby od liczby 0 na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną liczby a.

  • Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy a.

 Własności wartości bezwzględnej
Własność:  Własności wartości bezwzględnej

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:

  • wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa 0, czyli

x0, dla dowolnej liczby rzeczywistej x,

  • jeśli x=0, to x=0,

  • wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli

x=-x dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Przykład 1
RWGbRhR2E2IQ91
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy zaznaczyć liczby oddalone od liczby 0 o 4. Są dwie takie liczby: 4 i -4. Ich odległości od liczby 0 są takie same i wynoszą 4.
Przykład 2
R1JX0OGFWae0B1
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
A
Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.

  1. x=6

  2. x=5

  3. x=29-1 

RoyX6AKn28j3M1
Animacja pokazuje na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby x <a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest mniejsza od a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z liczby x <a jest przedział (-a, a).
Przykład 3
R1ZET0nhszI3N1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy znaleźć na osi liczbowej wszystkie liczby, których odległość od liczby 0 jest mniejsza niż 4. W tym celu na osi liczbowej zaznaczamy odległości od liczby 0 liczb -4 i 4, równe 4. Liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 4 należą do przedziału(-4, 4). Możemy zatem powiedzieć, że przedział (-4, 4) zawiera liczby, które spełniają nierówność wartość bezwzględna z liczby x <4.
R1Td51zoR4Ri71
Animacja pokazuje na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby x >a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest większa od a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z liczby x > a jest suma przedziałów (minus nieskończoność, -a) i (a, plus nieskończoność).
Przykład 4
Rhilyl66tfh9U1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy znaleźć na osi liczbowej wszystkie liczby, których odległość od liczby 0 jest większa niż 4. W tym celu na osi liczbowej zaznaczamy odległości od liczby 0 liczb -4 i 4, równe 4. Liczby, których odległość od 0 jest większa niż 4 należą do sumy przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (4, plus nieskończoność). Możemy zatem powiedzieć, że zbiór przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (4, plus nieskończoność) zawiera liczby, które spełniają nierówność wartość bezwzględna z liczby x >4.

Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi liczbowej.

Przykład 5

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb 2,59.

R1R0RXqnWOOWj1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami 9 oraz dwa i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby (9 – dwa i jedna druga) = wartość bezwzględna z liczby (dwa i jedna druga -9) = sześć i jedna druga.

Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli

9-2,5=6,5.

Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, która z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.

9-2,5=2,5-9=6,5.
Przykład 6

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb -17,5.

RvSiB8GSdWTHl1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami -1 oraz siedem i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby [siedem i jedna druga -(-1)] = wartość bezwzględna z liczby (-1, siedem i jedna druga) = osiem i jedna druga.
 Odległość liczb na osi liczbowej
Definicja:  Odległość liczb na osi liczbowej
  • Odległość liczb ab na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy a-b.

  • Zapis x-5=3 możemy czytać następująco: odległość liczby x od liczby 5 na osi liczbowej jest równa 3.

Przykład 7

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie

x-2=4.

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby x, których odległość na osi liczbowej od 2 jest równa 4.

RqouZParilJcT1
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x -2 =4. Szukamy takiej liczby x, której odległość na osi liczbowej od liczby 2 wynosi 4. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej 2. Od liczby 2 zaznaczamy odległość 4 do liczb -2 i 6. Szukane liczby to x z indeksem dolnym jeden =-2 i x z indeksem dolnym dwa =6.

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że w  odległości 4 od liczby 2 znajdują się liczby -26. Są to liczby spełniające równanie.

x-2=4.
Przykład 8

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

x-14.
R11O3QtwLJ2D21
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby (x -1) mniejsza lub równa 4. Szukamy takich liczb x, której odległość na osi liczbowej od liczby 1 jest mniejsza lub równa 4. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej 1. Od liczby 1 zaznaczamy odległość 4 do liczb -3 i 5. Szukane liczby należą do przedziału <-3, 5>.

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność x-14 spełniają liczby należące do przedziału -3,5.

Przykład 9

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

x+1>3.

Jeśli nierówność x+1>3 zapiszemy jako x--1>3, to będzie można ją odczytać: odległość liczby x od liczby -1 jest większa od 3 .
Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.

R10HJQYI192EM1
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby (x +1) >3. Wartość bezwzględna z liczby [x –(-1)] >3. Szukamy takich liczb x, której odległość na osi liczbowej od liczby 1 jest większa od 3. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej -1. Od liczby -1 zaznaczamy odległość 3 do liczb -4 i 2. Szukane liczby należą do sumy przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (2, plus nieskończoność).

Nierówność x+1>3 spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów -,-42,.

classicmobile
Ćwiczenie 2
R17IzrK0fP7Dn1
Zadanie interaktywne
static
A
Ćwiczenie 3

Rozwiązaniem nierówności x<3 jest zbiór

R18TCEwc8Hxgf
A
Ćwiczenie 4

Liczby spełniające równanie x-5=4 to

RHwoYiVtjriVS
A
Ćwiczenie 5

Rozwiązaniem nierówności x+46 jest przedział

R1UrmVhPD3mIp
classicmobile
Ćwiczenie 6
Rg9wiLrwE9zMX1
Zadanie interaktywne
static
A
Ćwiczenie 7

Liczba 154 należy do przedziału

RUDzooYOZTtV1
A
Ćwiczenie 8

Równanie -2x+4=1 spełnia liczba należąca do przedziału

R16dK2Rdzy0OC
A
Ćwiczenie 9

Liczba x=13-2 spełnia warunek

RxQqx4T9RcPj7
A
Ćwiczenie 10

Rozwiązaniem nierówności x+12x2 jest przedział

R1afoTaGuXrFe
A
Ćwiczenie 11

Liczba 5-5 należy do przedziału

R1YGBWLse6lOE
A
Ćwiczenie 12

Liczby należące jednocześnie do przedziałów -5,3-1,5 przedstawione są na rysunku.

R16hdjif7p7J2
Wysłuchaj nagrania abstraktu, ułóż do niego pytania i zadaj je koledze.
A
Ćwiczenie 13

Ile liczb całkowitych należy do przedziału -3,2?

R1T2dkdgbAv3p
B
Ćwiczenie 14

Dane są liczby a=3212+14-2123 oraz b=1,6-32. Liczba a+b należy do przedziału

R1430drUwlWnU
A
Ćwiczenie 15

Wskaż nierówność, którą spełniają liczby należące do przedziału zaznaczonego na rysunku.

RasHv6dKVQsL51
Rz4t3CAhD10u4
A
Ćwiczenie 16

Które zdanie jest prawdziwe?

REvLqpytM9lZ1
A
Ćwiczenie 17

Rozwiąż nierówności.

  1. -4x-60

  2. -45x+34

  3. 7x-6>-3x+5

  4. 3x+16<13x-5

  5. x+74<2x-36

  6. 3x-432x-35+x

A
Ćwiczenie 18

Rozwiąż nierówności.

  1. 2-3x-633x+4

  2. 5x-6>7-25x

  3. 2x+6<7+8x

  4. 6x+47+12x

  5. 7x-37+21x

  6. 2x+74<23x-36

A
Ćwiczenie 19

Rozwiąż nierówności.

  1. 4x+32-4x+2x-2<5

  2. x+22>x2+4

  3. 2x+32+1-2x1+2x<2x-4

  4. 9x+162<13x-5+3x-162

  5. x3-2x3+2<x-223

  6. 3x-4233x-32+x

A
Ćwiczenie 20

Zapisz przedział, do którego należą wszystkie liczby spełniające warunek

  1. x13

  2. x<22

  3. x1+3

  4. -7x8

  5. 3<x7

  6. x-3 lub x>5

  7. x-4x<10

A
Ćwiczenie 21

Wypisz wszystkie liczby całkowite

  1. należące do przedziału-,3 i do przedziału -2,1

  2. należące do przedziału-4,8 i do przedziału 0,6

  3. należące do przedziału-5,-3 i do przedziału -4,

  4. należące do przedziału-5,-3

A
Ćwiczenie 22

Zapisz za pomocą układu nierówności zbiór wszystkich liczb, które należą do przedziału

  1. 42,43

  2. -126,-116

  3. -215,210

  4. 5-6, 5-2

  5. -,518

  6. -7,

  7. -,59,

A
Ćwiczenie 23

Rozwiąż równanie.

  1. x-10=6

  2. x+55=11

  3. x-12=13

  4. x+534=314

  5. 2x-4=7

  6. 3x-5=9

  7. 4-x=6

  8. 5+x=78

  9. x-2=3

B
Ćwiczenie 24

Wyznacz liczby spełniające równanie.

  1. x=6,251015

  2. x-210=29

  3. x+3,210-15=410-15

  4. x-2,(32)=2

  5. x+4=2,(21)

A
Ćwiczenie 25

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału wszystkie liczby spełniające podany warunek.

  1. -3<x<3x32x<3

  2. x>5-7x10

Zadania generatorowe

classicmobile
Ćwiczenie 26
R1dwe1Kk5NFJS1
Zadanie interaktywne
static