Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Reguła mnożenia

Przykład 1

W pudełku jest 11 kul, ponumerowanych od 1 do 11. Z tego pudełka losujemy jedną kulę, zapisujemy jej numer i wrzucamy wylosowaną kulę z powrotem do pudełka. Następnie operację losowania powtarzamy, zapisując wynik drugiego losowania.
Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników takiego doświadczenia.
Pojedynczy wynik takiego doświadczenia zapisujemy, notując dwie liczby: najpierw wynik pierwszego losowania -w1, a następnie wynik drugiego losowania -w2.
Wszystkie możliwe wyniki doświadczenia możemy przedstawić np. za pomocą tabeli.

Tabela. Dane
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
(1, 7)
(1, 8)
(1, 9)
(1, 10)
(1, 11)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
(2, 7)
(2, 8)
(2, 9)
(2, 10)
(2, 11)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
(3, 7)
(3, 8)
(3, 9)
(3, 10)
(3, 11)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
(4, 7)
(4, 8)
(4, 9)
(4, 10)
(4, 11)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
(5, 7)
(5, 8)
(5, 9)
(5, 10)
(5, 11)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
(6, 7)
(6, 8)
(6, 9)
(6, 10)
(6, 11)
7
(7, 1)
(7, 2)
(7, 3)
(7, 4)
(7, 5)
(7, 6)
(7, 7)
(7, 8)
(7, 9)
(7, 10)
(7, 11)
8
(8, 1)
(8, 2)
(8, 3)
(8, 4)
(8, 5)
(8, 6)
(8, 7)
(8, 8)
(8, 9)
(8, 10)
(8, 11)
9
(9, 1)
(9, 2)
(9, 3)
(9, 4)
(9, 5)
(9, 6)
(9, 7)
(9, 8)
(9, 9)
(9, 10)
(9, 11)
10
(10, 1)
(10, 2)
(10, 3)
(10, 4)
(10, 5)
(10, 6)
(10, 7)
(10, 8)
(10, 9)
(10, 10)
(10, 11)
11
(11, 1)
(11, 2)
(11, 3)
(11, 4)
(11, 5)
(11, 6)
(11, 7)
(11, 8)
(11, 9)
(11, 10)
(11, 11)

Każdy wynik doświadczenia został w powyższej tabeli utożsamiony z przyporządkowaną mu parą liczb w1,w2. Jeżeli np. w pierwszym losowaniu otrzymamy 3, a w drugim 8, to wynik tego losowania zapiszemy jako 3, 8. Z kolei zapisanie pary 11,2 to informacja, że za pierwszym razem wylosowano 11, a za drugim – 2.
Ponieważ rozpatrywane doświadczenie losowe to wykonanie jedna po drugiej dwóch czynności, polegających za każdym razem na wyborze jednego elementu z jedenastoelementowego zbioru {1, 2, 3, , 11}, to wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest 1111=121.

Przykład 2

Ustalimy, ile dodatnich dzielników całkowitych ma każda z liczb: 72, 360 oraz 1410.
Skorzystamy z zapisu każdej z tych liczb w postaci rozkładu na czynniki pierwsze.
Ponieważ 72=2332, więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby 72 jest liczbą postaci 2n3m, przy czym n jest liczbą ze zbioru 0,1,2,3, natomiast m jest liczbą ze zbioru 0,1,2. Zauważmy, że wybór dzielnika liczby 72 polega na wykonaniu dwóch czynności: wyborze wykładnika dla czynnika 2 – co można zrobić na 4 sposoby, a następnie na wyborze wykładnika dla czynnika 3 - co można zrobić na 3 sposoby.
Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że 72 ma 43=12 dzielników, które przedstawia poniższa tabela.

Tabela. Dane
 
30
31
32
20
2030=1
2031=3
2032=9
21
2130=2
2131=6
2132=18
22
2230=4
2231=12
2232=36
23
2330=8
2331=24
2332=72

Ponieważ 360=23325, więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby 360 jest liczbą postaci 2n3m5k, przy czym n jest liczbą ze zbioru 0,1,2,3, m jest liczbą ze zbioru 0,1,2, natomiast k jest liczbą ze zbioru 0,1. Zauważmy, że wybór dzielnika liczby 360 polega na wykonaniu trzech czynności, z których pierwsza może skończyć się na jeden z 4 sposobów, druga - na jeden z 3 sposobów, a trzecia - na jeden z 2 sposobów.
Jeżeli najpierw rozpatrzymy wszystkie przypadki związane z wykonaniem dwóch pierwszych czynności (jest ich 12), a następnie wykonamy trzecią czynność, to dostaniemy 24 możliwości.
Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że 360 ma 432=24 dodatnie dzielniki całkowite , które przedstawia poniższa tabela.

Tabela. Dane
 
2030
2130
2230
2330
2031
2131
2231
2331
2032
2132
2232
2332
50
1
2
4
8
3
6
12
24
9
18
36
72
51
5
10
20
40
15
30
60
120
45
90
180
360

Ponieważ 1410=23547, więc każdy dodatni czynnik całkowity liczby 1410 jest liczbą postaci 2n3m5k47l, przy czym każda z liczb n, m, k, l wybierana jest ze zbioru 0,1. Zauważmy, że wybór dzielnika liczby 1410 polega na wykonaniu czterech czynności, z których każda może skończyć się na jeden z 2 sposobów.
Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że 1410 ma 2222=16 dzielników.

Reguła mnożenia
Rozumując podobnie jak w przedstawionych powyżej przykładach, stwierdzimy, że:

  • liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z n sposobów, druga – na jeden z m sposobów, jest równa mn,

  • liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z n sposobów, druga – na jeden z m sposobów, a trzecia – na jeden z k sposobów, jest równa kmn.

Zasada, którą w podobnych przypadkach stosujemy, nazywa się regułą mnożenia.

Twierdzenie: Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z k1 sposobów, druga – na jeden z k2 sposobów, trzecia – na jeden z k3 sposobów i tak dalej do n-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kn sposobów, jest równa

k1k2k3...kn

Powołując się na regułę mnożenia, można pokazać, że liczba n, która w rozkładzie na czynniki pierwsze daje się zapisać w postaci

n=p1α1p2α2...pkαk,

gdzie p1,p2,...,pk są różnymi liczbami pierwszymi, a α1,α2,...,αk są dodatnimi liczbami całkowitymi,
ma

α1+1α2+1...αk+1

dodatnich dzielników całkowitych.

Przykład 3

Ustalimy, ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na:

  1. siedmiokrotnym rzucie symetryczną monetą.
    W pojedynczym rzucie symetryczną monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników: „orzeł” lub „reszka”. Doświadczenie polega więc na siedmiokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z 2 sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
    2222222=27=128.

  2. pięciokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
    W pojedynczym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry możemy otrzymać jeden z sześciu wyników: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Doświadczenie polega więc na pięciokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z 6 sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
    66666=65=7776

  3. zapisaniu liczby trzycyfrowej, utworzonej wyłącznie za pomocą cyfr ze zbioru 1,2,3,4,5,6,7,8 (cyfry mogą się powtarzać).
    Wybierając każdą cyfrę takiej liczby, możemy otrzymać jeden z ośmiu wyników. Oznacza to, że doświadczenie polega na trzykrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z 8 sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
    888=83=512

  4. rozmieszczeniu 4 różnych notatników w 7 różnych teczkach.
    Wyboru teczki dla każdego z czterech notatników możemy dokonać na 7 sposobów. Doświadczenie polega więc na czterokrotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem może skończyć się na jeden z 7 sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników jest równa
    7777=74=2401

Wariacje z powtórzeniami

W doświadczeniach rozpatrywanych w poprzednim przykładzie mieliśmy do czynienia z tym samym schematem: każde z nich polegało na k- krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem mogła się skończyć na jeden z n sposobów. Korzystając z reguły mnożenia, stwierdzamy, że liczba wszystkich wyników w doświadczeniu tego typu jest równa

nn...nk czynników=nk

Doświadczenie polegające na k–krotnym powtórzeniu czynności, która za każdym razem mogła się skończyć na jeden z  n sposobów, nazywa się zwyczajowo k– wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego.
Modelem dla tego typu doświadczenia jest k–wyrazowy ciąg o elementach wybieranych dowolnie ze zbioru n–elementowego (czyli z powtórzeniami – dowolny element zbioru może wystąpić wielokrotnie w ciągu).
Na podstawie spostrzeżenia poczynionego powyżej formułujemy twierdzenie.

editor.block.RuleProperty: liczba k‑wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich k– wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n– elementowego jest równa nk.

Przykład 4

Stosując twierdzenie o liczbie wariacji z powtórzeniami, obliczymy, że:

  1. liczba wszystkich możliwych wyników trzykrotnego rzutu kostką sześcienną to 63=216,

  2. liczba wszystkich możliwych wyników pięciokrotnego rzutu monetą to 25=32,

  3. liczba wszystkich możliwych liczb 4-cyfrowych utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5} to 54=625,

  4. liczba wszystkich możliwych sposobów umieszczenia 10 różnych długopisów w 4 różnych szufladach to 410=1048576,

  5. liczba wszystkich możliwych sposobów umieszczenia 7 różnych kul w 6 różnych pudełkach (zakładamy, że w każdym pudełku zmieści się co najmniej 7 takich kul) to 67=279936.

Przykład 5

Obliczymy sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 (cyfry mogą się powtarzać).
Wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest dokładnie tyle, ile dwuelementowych ciągów c1,c2, gdzie c1 oraz c2 to liczby wybrane ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}, z powtórzeniami. Jest ich zatem 55=25.
Sumę tych wszystkich liczb obliczymy dwoma sposobami.

  • sposób I

Wypisujemy wszystkie liczby w tabeli, przy czym elementy c1, c2 pary c1,c2 to dla konkretnej liczby odpowiednio cyfra dziesiątek oraz cyfra jedności.

Tabela. Dane
 

1

2

3

4

5

1

11

12

13

14

15

2

21

22

23

24

25

3

31

32

33

34

35

4

41

42

43

44

45

5

51

52

53

54

55

Sumujemy liczby dwucyfrowe w kolejnych wierszach. Zauważamy przy tym, że:

  • wszystkie liczby występujące w tym samym wierszu mają tę samą cyfrę dziesiątek,

  • cyfry jedności tych liczb są różnymi liczbami ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.

    Tabela. Dane
     

    1

    2

    3

    4

    5

     

    1

    11

    12

    13

    14

    15

    suma: 510+1+2+3+4+5

    2

    21

    22

    23

    24

    25

    suma: 520+1+2+3+4+5

    3

    31

    32

    33

    34

    35

    suma: 530+1+2+3+4+5

    4

    41

    42

    43

    44

    45

    suma: 540+1+2+3+4+5

    5

    51

    52

    53

    54

    55

    suma: 550+1+2+3+4+5

             

    razem

    510+520+530+540+550+51+2+3+4+5

    Na koniec dodajemy wszystkie otrzymane sumy i otrzymujemy

    Oznacza to, że suma wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest równa

  • sposób II

Oznaczmy przez S sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5.
Podobnie jak poprzednio wypisujemy wszystkie liczby w tabeli, przy czym do każdej z nich dopisujemy teraz drugą liczbę dwucyfrową, w następujący sposób: do liczby opisanej przez parę c1,c2 dopisujemy liczbę opisaną przez parę 6-c1,6-c2.

Tabela. Dane
1
2
3
4
5
1
11, 55
12, 54
13, 53
14, 52
15, 51
2
21, 45
22, 44
23, 43
24, 42
25, 41
3
31, 35
32, 34
33, 33
34, 32
35, 31
4
41, 25
42, 24
43, 23
44, 22
45, 21
5
51, 15
52, 14
53, 13
54, 12
55, 11

Zauważmy, że:

  • istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie: liczby wyznaczonej przez parę c1,c2 do liczby wyznaczonej przez parę 6-c1,6-c2, a ponadto suma takich dwóch liczb jest w każdym przypadku równa 66,

  • każda z liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest przyporządkowana do dokładnie jednej pary 6-c1,6-c2, gdzie c1 oraz c2 to liczby wybrane ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.

Oznacza to, że dodając wszystkie liczby dwucyfrowe wpisane w ten sposób do tabeli:

  • dodamy sumy par liczb wpisanych w 25 komórkach tabeli, czyli 25 razy liczbę 66,

  • dokładnie dwa razy obliczymy każdy składnik sumy S.

Stąd

2S=2566

a więc

S=122566=2533=825
Przykład 6

Obliczymy sumę S wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 (cyfry mogą się powtarzać).
Wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest dokładnie tyle, ile trzyelementowych ciągów c1,c2,c3, gdzie c1, c2 oraz c3 to liczby wybrane ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}, z powtórzeniami. Tych liczb jest zatem 555=125.
Ich sumę obliczymy dwoma sposobami.

  • sposób I

Sumujemy otrzymane liczby trzycyfrowe, dzieląc je na 5 grup ze względu na cyfrę setek. Zauważamy, że jest 25 liczb w każdej takiej grupie. Przy czym dla ustalonej cyfry setek dopisane do niej cyfry tworzą wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe zapisane wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5.
Zatem:

  • sumując wszystkie liczby z cyfrą setek równą 1, otrzymamy

25100+510+20+30+40+50+51+2+3+4+5
  • sumując wszystkie liczby z cyfrą setek równą 2, otrzymamy

25200+510+20+30+40+50+51+2+3+4+5
  • sumując wszystkie liczby z cyfrą setek równą 3, otrzymamy

25300+510+20+30+40+50+51+2+3+4+5
  • sumując wszystkie liczby z cyfrą setek równą 4, otrzymamy

25400+510+20+30+40+50+51+2+3+4+5
  • sumując wszystkie liczby z cyfrą setek równą 5, otrzymamy

25500+510+20+30+40+50+51+2+3+4+5.
Oznacza to, że

S=25100+200+300+400+500+5510+20+30+40+50+551+2+3+4+5=
=251111+2+3+4+5=2511115=41625

Zauważmy, że w tej sumie otrzymaliśmy 25 razy każdą liczbę z ustaloną cyfrą na kolejnych miejscach zapisu dziesiętnego: jako cyfrę setek, jako cyfrę dziesiątek oraz jako cyfrę jedności. Mając to na uwadze, można było od razu zapisać sumę S w postaci
S=25100+200+300+400+500+2510+20+30+40+50+251+2+3+4+5.

  • sposób II

Wypisujemy wszystkie liczby trzycyfrowe zapisane wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 i do każdej z nich dopisujemy teraz drugą liczbę trzycyfrową, w następujący sposób: do liczby opisanej przez trójkę c1,c2,c3 dopisujemy liczbę opisaną przez trójkę 6-c1,6-c2,6-c3.
Zauważmy, że

  • istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie: liczby wyznaczonej przez trójkę c1,c2,c3 do liczby wyznaczonej przez trójkę 6-c1,6-c2,6-c3, a ponadto suma takich dwóch liczb jest w każdym przypadku równa 666,

  • każda z liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest przyporządkowana do dokładnie jednej trójki 6-c1,6-c2,6-c3, gdzie c1, c2 oraz c3 to liczby wybrane ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5}.

Oznacza to, że dodając wszystkie wypisane w ten sposób liczby trzycyfrowe:

  • dodamy sumy par liczb wpisanych w 125 przypadkach, czyli 125 razy liczbę 666,

  • dokładnie dwa razy obliczymy każdy składnik sumy S.

Stąd

2S=125666

a więc

S=12125666=125333=41625

Zastosowanie reguły mnożenia oraz reguły dodawania

Przykład 7

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Obliczymy, ile jest wszystkich wyników doświadczenia, polegającego na tym, że

  1. suma liczb wyrzuconych oczek jest parzysta.
    W poniższej tabeli przedstawiamy wszystkie możliwe wyniki dwukrotnego rzutu kostką. Zaznaczamy te, dla których suma liczb wyrzuconych oczek jest parzysta.

    Tabela. Dane
    1
    2
    3
    4
    5
    6
     
    1
    x
     
    x
     
    x
     

    3 możliwości

    2
     
    x
     
    x
     
    x

    3 możliwości

    3
    x
     
    x
     
    x
     

    3 możliwości

    4
     
    x
     
    x
     
    x

    3 możliwości

    5
    x
     
    x
     
    x
     

    3 możliwości

    6
     
    x
     
    x
     
    x

    3 możliwości

             

    Razem:

    (3+3+3) + (3+3+3) = 33 + 33 = 18

    Zatem wszystkich takich wyników jest 18.
    Zauważmy przy okazji, że warto od razu podzielić wyniki pojedynczego rzutu ze względu na parzystość liczby wyrzuconych oczek:

    Tabela. Dane

    wynik pojedynczego rzutu

    {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    wyniki nieparzyste
    {1, 3, 5}

    wyniki parzyste
    {2, 4, 6}

    6 możliwości

    3 możliwości

    3 możliwości

    Przy zliczaniu konkretnych możliwości skorzystamy z tego podziału oraz zastosujemy dwie poznane zasady: regułę mnożenia i regułę dodawania.
    Zauważmy, że aby suma liczb wyrzuconych oczek była parzysta, musimy w obu rzutach otrzymać liczby oczek tej samej parzystości. Oznacza to, że:

  • do każdej z 3 nieparzystych liczb oczek wyrzuconych za pierwszym razem musimy za drugim razem wyrzucić jedną z 3 nieparzystych liczb oczek, co daje łącznie 33 = 9 możliwości,

  • do każdej z 3 parzystych liczb oczek wyrzuconych za pierwszym razem musimy za drugim razem wyrzucić jedną z 3 parzystych liczb oczek, co daje łącznie 33 = 9 możliwości.
    Wobec tego w sumie otrzymujemy 33 + 33 = 18 wyników, dla których suma liczb wyrzuconych oczek jest parzysta.

  1. Iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą.
    Aby iloczyn liczb wyrzuconych oczek był nieparzysty, w obu rzutach musimy otrzymać liczbę nieparzystą. Zatem do każdej z 3 nieparzystych liczb oczek wyrzuconych za pierwszym razem musimy za drugim razem wyrzucić jedną z 3 nieparzystych liczb oczek, co daje łącznie 33 = 9 możliwości.

  2. Iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest parzysty.
    Aby iloczyn liczb wyrzuconych oczek był parzysty, w co najmniej jednym z rzutów musimy otrzymać parzystą liczbę oczek. Oznacza to, że:

  • do każdej z 3 parzystych liczb oczek wyrzuconych za pierwszym razem możemy za drugim razem wyrzucić dowolną liczbę oczek, co daje łącznie 36=18 możliwości,

  • do każdej z 3 nieparzystych liczb oczek wyrzuconych za pierwszym razem możemy za drugim razem wyrzucić jedną z 3 parzystych liczb oczek, co daje łącznie 33 = 9 możliwości.
    Wobec tego w sumie otrzymujemy 36 + 33 = 27 wyników, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest parzysty.
    Zauważmy przy okazji, że zbiór wszystkich wyników dwukrotnego rzutu kostką można rozbić na dwa podzbiory:
    A – tych wyników, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest nieparzysty,
    B – tych wyników, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest parzysty.
    Wtedy
    AB=A+B
    przy czym AB=66=36 (tyle jest wszystkich możliwych wyników dwukrotnego rzutu kostką) oraz A=33=9 (tyle jest wyników dwukrotnego rzutu kostką, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest nieparzysty). Zatem
    36=9+B
    stąd
    B=36-9=27

  1. Iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest podzielny przez 6.

Tym razem zaznaczamy w tabeli te wyniki, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest podzielny przez 6.

Tabela. Dane
w1/w2
1
2
3
4
5
6
 
1
         
x

1 możliwość

2
   
x
   

2 możliwości

3
 
x
 
x
 
x

3 możliwości

4
   
x
   
x

2 możliwości

5
         
x

1 możliwość

6
x
x
x
x
x
x

6 możliwości

         

Razem:

1+2+3+2+1+6 = 21 + 22 + 13 + 16= 15

Zatem wszystkich takich wyników jest 15.
Podsumowując zauważmy, że można wyniki pojedynczego rzutu podzielić na przypadki ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez 6 daje wyrzucona liczba oczek.
Wtedy:

  • jeżeli za pierwszym razem wyrzucimy 6 oczek, to liczba oczek wyrzuconych za drugim razem jest dowolna , co daje łącznie 16=6 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wyrzucimy 2 lub 4 oczka, to za drugim razem musimy wyrzucić 3 lub 6 oczek (czyli liczbę oczek, która dzieli się przez 3), co daje łącznie 22=4 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wyrzucimy 3 oczka, to za drugim razem musimy wyrzucić 2, 4 lub 6 oczek (czyli liczbę oczek, która dzieli się przez 2), co daje łącznie 13= 3 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wyrzucimy 1 lub 5 oczek, to za drugim razem musimy wyrzucić 6 oczek (czyli liczbę oczek, która dzieli się przez 6), co daje łącznie 21=2 możliwości.

Zatem wszystkich takich wyników jest 16+ 22 + 13 + 21 = 15.

Przykład 8

W pudełku jest 17 kul, ponumerowanych od 1 do 17. Z tego pudełka losujemy dwa razy po jednej kuli, przy czym po losowaniu wrzucamy wylosowaną kulę z powrotem do pudełka.
Inaczej mówiąc: ze zbioru 1,2,3,...,16,17 losujemy dwa razy po jednej liczbie, ze zwracaniem.
Obliczymy, ile jest wszystkich wyników doświadczenia.

  1. Suma wylosowanych liczb jest parzysta.
    Dzielimy wyniki pojedynczego losowania ze względu na parzystość wylosowanej liczby:

    Tabela. Dane

    wynik pojedynczego losowania

    {1, 2, 3,  , 16, 17}

    wyniki nieparzyste
    {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}

    wyniki parzyste
    {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

    17 możliwości

    9 możliwości

    8 możliwości

    Zauważmy, że aby suma wylosowanych liczb była parzysta, musimy w obu rzutach otrzymać liczby tej samej parzystości. Oznacza to, że:

  • do każdej z 9 liczb nieparzystych wylosowanych za pierwszym razem musimy za drugim razem ponownie wylosować jedną z 9 liczb nieparzystych, co daje łącznie 99=81 możliwości,

  • do każdej z 8 liczb nieparzystych wylosowanych za pierwszym razem musimy za drugim razem ponownie wylosować jedną z 8 liczb nieparzystych, co daje łącznie 88=64 możliwości.
    Wobec tego łącznie otrzymujemy 99 + 88 = 81 + 64 = 145 wyników, dla których suma wylosowanych liczb jest parzysta.

  1. Iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.
    Zbiór wszystkich wyników dwukrotnego losowania ze zwracaniem ze zbioru 1,2,3,...,16,17 można rozbić na dwa podzbiory:
    A – tych wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty,
    – tych wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.
    Wtedy
    AB=A+B,
    przy czym AB=1717=289 (tyle jest wszystkich możliwych wyników takiego losowania) oraz A=99=81 (tyle jest wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest nieparzysty).
    Zatem B=289-81=208, co oznacza, że jest 208 wyników tego doświadczenia, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.

  2. Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6?

  • sposób I
    Posłużymy się metodą tabeli.
    Rozpatrzmy najpierw wzorcową tabelę, w której opisane są przypadki odpowiadające wszystkim możliwym wynikom losowania ze względu na resztę z dzielenia przez 6.
    Zaznaczamy w niej te, dla których iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest podzielny przez 6.

    Tabela. Dane
    w1/w2

    reszta 1

    reszta 2

    reszta 3

    reszta 4

    reszta 5

    reszta 0

    reszta 1

             
    x

    reszta 2

       
    x
       
    x

    reszta 3

     
    x
     
    x
     
    x

    reszta 4

       
    x
       
    x

    reszta 5

             
    x

    reszta 0

    x
    x
    x
    x
    x
    x

    Wszystkich takich wyników jest 15.Dzielimy teraz wyniki obu losowań na trzy podzbiory: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10, 11, 12} oraz {13, 14, 15, 16, 17}. W zbiorczej tabeli zliczamy wszystkie możliwości w 9 przypadkach, dla każdego z nich odczytując liczbę możliwości ze wzorcowej tabeli.

    Tabela. Dane
    w1/w2
    {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    {7, 8, 9, 10, 11, 12}
    {13, 14, 15, 16, 17}
    {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    15 możliwości

    15 możliwości

    15  6 = 9 możliwości

    {7, 8, 9, 10, 11, 12}

    15 możliwości

    15 możliwości

    15  6 = 9 możliwości

    {13, 14, 15, 16, 17}

    15  6 = 9 możliwości

    15  6 = 9 możliwości

    4 możliwości

    Mamy więc:

  • 4 przypadki, które dają 15 wyników z iloczynem liczb podzielnym przez 6,

  • 4 przypadki, które dają 9 wyników z iloczynem liczb podzielnym przez 6,

  • oraz 1 przypadek, który daje 4 wyniki z iloczynem liczb podzielnym przez 6.

Łącznie otrzymujemy 415+ 49+ 14= 60 + 36 + 4 = 100 wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6.
Uwaga. Można też było rozbudować zbiorczą tabelę do postaci.

Tabela. Dane
w1/w2
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{7, 8, 9, 10, 11, 12}
{13, 14, 15, 16, 17, 18}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

15 możliwości

15 możliwości

15 możliwości

{7, 8, 9, 10, 11, 12}

15 możliwości

15 możliwości

15 możliwości

{13, 14, 15, 16, 17, 18}

15 możliwości

15 możliwości

15 możliwości

Zauważmy, że wśród wszystkich wyznaczonych w niej 915 = 135 możliwości niepotrzebne nam są wszystkie te, w których przynajmniej raz wylosowano liczbę 18. Tych niepotrzebnych przypadków jest 18+181 = 35, a więc jest 135  35 = 100 wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6.

  • sposób II
    Podzielimy wyniki pojedynczego losowania na przypadki ze względu na to, jaką resztę z dzielenia przez 6 daje wylosowana liczba, przy czym grupujemy je jak poniżej:

    Tabela. Dane

    wynik pojedynczego losowania

    {1, 2, 3,  , 16, 17}

    wyniki podzielne przez 6

    {6, 12}

    wyniki podzielne przez 3 i niepodzielne przez 6
    {3, 9, 15}

    wyniki podzielne przez 2 i niepodzielne przez 6
    {2, 4, 8, 10, 14, 16}

    pozostałe wyniki

    {1, 5, 7, 11, 13, 17}

    17 możliwości

    2 możliwości

    3 możliwości

    6 możliwości

    6 możliwości

    Obliczamy, odwołując się do tych przypadków:

  • jeżeli za pierwszym razem wylosujemy jedną z liczb: 6 lub 12, to liczba wylosowana za drugim razem jest dowolna, co daje łącznie 217=34 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wylosujemy jedną z liczb: 3, 9 lub 15, to za drugim razem musimy wylosować liczbę parzystą, co daje łącznie 3(2+6)=24 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wylosujemy jedną z liczb: 2, 4, 8, 10, 14 lub 16, to za drugim razem musimy wylosować liczbę podzielną przez 3, co daje łącznie 6(2+3)=30 możliwości,

  • jeżeli za pierwszym razem wylosujemy jedną z liczb: 1, 5, 7, 11, 13 lub 17, to za drugim razem musimy wylosować liczbę podzielną przez 6, co daje łącznie 62=12 możliwości.

Łącznie otrzymujemy 217+ 38+ 65+ 62= 34 + 24 + 30 + 12 = 100 wyników, dla których iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6.

Przykład 9

Obliczymy, ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie:

  1. cyfra jedności jest parzysta.
    W zapisie każdej z takich liczb na miejscu cyfry tysięcy może wystąpić dowolna cyfra różna od zera (9 możliwości), na miejscu cyfry setek – dowolna cyfra (10 możliwości), na miejscu cyfry dziesiątek – dowolna cyfra (10 możliwości), a na miejscu cyfry jedności musi wystąpić jedna z cyfr: 0, 2, 4, 6 lub 8 (5 możliwości). Do obliczenia wszystkich możliwości stosujemy regułę mnożenia:
    910105 = 4500.
    Uwaga. Czterocyfrowa liczba naturalna ma na miejscu cyfry jedności cyfrę parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą parzystą. Ponieważ czterocyfrowych liczb parzystych jest 129000=4500, więc dokładnie tyle jest czterocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie cyfra jedności jest parzysta.

  2. cyfra tysięcy jest parzysta.
    W zapisie każdej z takich liczb na miejscu cyfry tysięcy może wystąpić jedna z cyfr: 2, 4, 6 lub 8 (4 możliwości), a na każdym z miejsc: cyfry setek, cyfry dziesiątek oraz cyfry jedności należy wstawić dowolnie wybraną cyfrę (za każdym razem mamy 10 możliwości).
    Do obliczenia wszystkich możliwości stosujemy regułę mnożenia:
    4101010 = 4000.

  3. dokładnie jedna cyfra jest parzysta.
    Rozpatrujemy przypadki:

  • parzysta jest jedynie cyfra tysięcy:
    wtedy na miejscu cyfry tysięcy musi wystąpić jedna z cyfr: 2, 4, 6 lub 8 (4 możliwości), a na każdym z pozostałych miejsc musi wystąpić cyfra nieparzysta (za każdym razem mamy 5 możliwości).
    Zatem wszystkich możliwości jest 4555 = 500,

  • parzysta jest jedynie cyfra setek:
    wtedy na miejscu cyfry setek musi wystąpić cyfra parzysta (5 możliwości), a na każdym z pozostałych miejsc musi wystąpić cyfra nieparzysta (za każdym razem mamy 5 możliwości). Oznacza to, że wszystkich możliwości jest 5555 = 625,

  • parzysta jest jedynie cyfra dziesiątek:
    wtedy na miejscu cyfry dziesiątek musi wystąpić cyfra parzysta (5 możliwości), a na każdym z pozostałych miejsc musi wystąpić cyfra nieparzysta (za każdym razem mamy 5 możliwości). Oznacza to, że wszystkich możliwości jest 5555 = 625,

  • parzysta jest jedynie cyfra jedności:
    wtedy na miejscu cyfry jedności musi wystąpić cyfra parzysta (5 możliwości), a na każdym z pozostałych miejsc musi wystąpić cyfra nieparzysta (za każdym razem mamy 5 możliwości). Oznacza to, że wszystkich możliwości jest 5555 = 625.
    Ostatecznie stwierdzamy, że jest 500+3625=2375 czterocyfrowych liczb naturalnych, w których dokładnie jedna cyfra jest parzysta.

  1. cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry setek.
    W zapisie każdej z szukanych liczb na miejscu cyfry tysięcy może wystąpić dowolna cyfra różna od zera (9 możliwości), a na miejscu cyfr jedności – dowolna cyfra (10 możliwości). Ponieważ cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry setek, więc na miejscu cyfry dziesiątek może wystąpić jedna z cyfr: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 i wtedy na miejscu cyfry setek wystąpi cyfra odpowiednio 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, tzn. możliwych jest 8 liczb dwucyfrowych utworzonych przez cyfrę setek i cyfrę dziesiątek: 97, 86, 75, 64, 53, 42, 31, 20.

Wynika z tego, że jest 9108 = 720 liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry setek.

Przykład 10

Obliczymy, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje 0, jest dokładnie jedna cyfra 4 i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.
Szkic rozwiązania.
Podzielmy zbiór {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} jak poniżej, zgodnie z warunkami podanymi w zadaniu.

Tabela. Dane

cyfry do wyboru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

cyfra 4

{4}

cyfry nieparzyste (np)

{1, 3, 5, 7, 9}

pozostałe cyfry

{2, 6, 8}

9 elementów

1 element

5 elementów

3 elementy

Najpierw wybierzemy dwa miejsca, na których ustawimy odpowiednio: cyfrę 4 oraz cyfrę nieparzystą.
Możliwe wybory opiszemy, wskazując miejsce w czteroelementowym ciągu, zgodne z przyporządkowaniem do odpowiedniego rzędu. Wybory te ilustruje poniższa tabelka.

Tabela. Dane

Miejsce dla cyfry 4/
miejsce dla cyfry nieparzystej

rząd tysięcy

rząd setek

rząd dziesiątek

rząd jedności

rząd tysięcy

 

(np , 4 , _ , _ )

(np , _ , 4 , _ )

(np , _ , _ , 4 )

rząd setek

(4 , np , _ , _ )

 

( _ , np , 4 , _ )

( _ , np , _ , 4 )

rząd dziesiątek

(4 , _ , np , _ )

( _ , 4 , np , _ )

 

( _ , _ , np , 4 )

rząd jedności

(4 , _ , _ , np)

( _ , 4 , _ , np )

( _ , _ , 4 , np )

 

Takich możliwości jest więc 43, bo wybieramy te dwa miejsca bez powtórzeń (nie jest, oczywiście, możliwe, żeby na tym samym miejscu zapisana była cyfra 4 i jednocześnie cyfra nieparzysta).
W każdym z tych 12 przypadków pozostaje nam wstawić konkretne cyfry w trzy miejsca (cyfra 4 swoje miejsce już zajęła):

  • jedno dla cyfry nieparzystej – jest 5 takich możliwości,

  • dwa pozostałe miejsca; w każde z nich musimy wstawić cyfrę parzystą ze zbioru {2, 6, 8} – jest 33 = 9 takich możliwości.

Zatem w sumie mamy 34 = 12 rozłącznych przypadków wyboru miejsc dla cyfr wyróżnionych w treści zadania (jak w tabelce), a w każdym z nich mamy 533 możliwości wstawienia odpowiednich cyfr.
Korzystając z reguły mnożenia, ostatecznie otrzymujemy

(34)(533) = 12  45 = 540

liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje 0, jest dokładnie jedna cyfra 4 i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.
Uwaga. Powyższe zliczanie możemy też rozłożyć na trzy etapy:
(1) wybór miejsca dla cyfry 4 i zapisanie tej cyfry (4 możliwości),
(2) wybór miejsca dla cyfry nieparzystej i zapisanie tej cyfry (35 możliwości),
(3) zapisanie cyfr na pozostałych dwóch miejsc (33 możliwości).
Ponieważ wyborów tych dokonujemy niezależnie, to korzystając z reguły mnożenia, obliczamy, że szukanych liczb jest

43533=540

Zliczając w poprzednim przykładzie wszystkie możliwości wyboru miejsc, na których należało ustawić cyfrę 4 oraz cyfrę nieparzystą, opisywaliśmy wybór dwóch miejsc z czterech dostępnych, bez powtórzeń.
W kolejnych przykładach zajmiemy się obliczaniem wszystkich możliwych wyborów dokonywanych w pewnych sytuacjach, przy czym za każdym razem bez powtórzeń.

Przykład 11

Obliczymy, ile jest:

  1. liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje cyfra 0.
    Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:
    (1) zapisanie cyfry dziesiątek (9 możliwości),
    (2) zapisanie cyfry jedności, różnej od cyfry dziesiątek (8 możliwości).
    Zatem szukanych liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje cyfra 0, jest
    98=72. Wybory i wszystkie utworzone w ich wyniku liczby można przedstawić w tabeli.

    Tabela. Dane
    c1/c2
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    1
     
    12
    13
    14
    15
    16
    17
    18
    19
    2
    21
     
    23
    24
    25
    26
    27
    28
    29
    3
    31
    32
     
    34
    35
    36
    37
    38
    39
    4
    41
    42
    43
     
    45
    46
    47
    48
    49
    5
    51
    52
    53
    54
     
    56
    57
    58
    59
    6
    61
    62
    63
    64
    65
     
    67
    68
    69
    7
    71
    72
    73
    74
    75
    76
     
    78
    79
    8
    81
    82
    83
    84
    85
    86
    87
     
    89
    9
    91
    92
    93
    94
    95
    96
    97
    98
     
  2. liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje ani cyfra 0, ani cyfra 5.
    Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:
    (1) zapisanie cyfry setek (8 możliwości),
    (2) zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od cyfry setek (7 możliwości),
    (3) zapisanie cyfry jedności, różnej od cyfry setek i od cyfry dziesiątek (6 możliwości).
    Zatem szukanych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach, w których nie występuje ani cyfra 0, ani cyfra 5, jest
    876=336

  3. liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których nie występuje żadna z cyfr: 0, 2, 4.
    Zliczanie rozkładamy na cztery etapy:
    (1) zapisanie cyfry tysięcy (7 możliwości),
    (2) zapisanie cyfry setek, różnej od cyfry tysięcy (6 możliwości),
    (3) zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od cyfry tysięcy i od cyfry setek (5 możliwości),
    (4) zapisanie cyfry jedności, różnej od każdej z trzech cyfr zapisanych wcześniej (4 możliwości),
    Zatem szukanych liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których nie występuje żadna z cyfr: 0, 2, 4, jest
    7654=840

  4. liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Zliczanie rozkładamy na pięć etapów:
(1) zapisanie cyfry dziesiątek tysięcy (7 możliwości),
(2) zapisanie cyfry tysięcy, różnej od cyfry dziesiątek tysięcy (6 możliwości),
(3) zapisanie cyfry setek, różnej od cyfr: tysięcy oraz dziesiątek tysięcy (5 możliwości),
(4) zapisanie cyfry dziesiątek, różnej od każdej z trzech cyfr zapisanych wcześniej (4 możliwości),
(5) zapisanie cyfry jedności, różnej od każdej z czterech cyfr zapisanych wcześniej (3 możliwości).
Zatem szukanych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, w zapisie których występują wyłącznie cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, jest

76543=2520
Przykład 12

Flagę, taką jak pokazana na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowych pasów kolorowej tkaniny. Kolory pasów górnego, środkowego i dolnego mają być parami różne. Obliczymy, ile takich różnych flag można utworzyć, mając do dyspozycji tkaniny w sześciu różnych kolorach.

Zliczanie liczby flag rozkładamy na trzy etapy:
(1) wybór koloru dla górnego pasa (6 możliwości),
(2) wybór koloru dla środkowego pasa (5 możliwości),
(3) wybór koloru dla dolnego pasa (4 możliwości).
Zatem liczba wszystkich możliwych takich flag jest równa

654=120

Wariacje bez powtórzeń

W ostatnich przykładach mieliśmy do czynienia z doświadczeniami polegającymi na wyborze kolejno pewnej liczby elementów z ustalonego zbioru, przy czym wybierane elementy nie mogły się powtarzać.
Załóżmy, że mamy do czynienia z doświadczeniem polegającym na wyborze kolejno k elementów ze zbioru n-elementowego, bez powtórzeń (k jest liczbą całkowitą spełniającą układ nierówności 1kn).
Rozumując podobnie jak w tych przykładach, rozłóżmy doświadczenie na k etapów. Wtedy w kolejnych etapach od pierwszego do ostatniego (o numerze k) liczby możliwości będą równe odpowiednio n, n-1, n-2 aż do n-k-1. Stosując regułę mnożenia, stwierdzamy, że wszystkich możliwych wyników takiego doświadczenia jest
nn-1n-2...n-k+1k czynników.
Doświadczenie polegające na wyborze kolejno kelementów ze zbioru n-elementowego, bez powtórzeń, gdzie k jest liczbą całkowitą spełniającą warunek 1kn, nazywa się zwyczajowo k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego.
Modelem dla tego typu doświadczenia jest k–wyrazowy ciąg o elementach wybranych ze zbioru nelementowego bez powtórzeń.

Na podstawie spostrzeżenia poczynionego powyżej formułujemy twierdzenie.

editor.block.RuleProperty: liczba k‑wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego jest równa

nn-1n-2n-k+1k czynników
Ważne!

Uwaga. Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n

123...n

nazywa się silnią liczby n i oznacza się symbolem n!, co czytamy „ n silnia”.
Zauważmy, że jeśli liczbę

nn-1n-2...n-k+1k czynników

pomnożymy i jednocześnie podzielimy przez iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n-k, czyli przez liczbę n-k !, to stwierdzimy, że liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa
nn-1n-2...n-k+1n-k!n-k!=nn-1n-2...n-k+1n-kn-k-1...1n-k!=n!n-k!.

Przykład 13

Korzystając z twierdzenia o liczbie wszystkich wariacji bez powtórzeń, obliczymy, że

  1. liczba wszystkich sposobów, na jakie Jaś i Małgosia mogą usiąść na dwóch spośród siedmiu wolnych miejsc w kinie, jest równa 76=42, co można też zapisać jako 7!5!.

  2. liczba wszystkich możliwych trzyliterowych napisów o różnych literach wybranych ze zbioru {a, e, j, k, m} jest równa 543=60. Tę liczbę można też zapisać jako 5!2!.

  3. liczba wszystkich możliwych sposobów rozmieszczenia 4 różnych kul w 6 różnych pudełkach tak, żeby w każdym pudełku znalazła się co najwyżej jedna kula, jest równa 6543=360, co można też zapisać jako 6!2!.

  4. liczba wszystkich możliwych wyborów 3 osób: przewodniczącego, zastępcy i skarbnika do samorządu 32-osobowej klasy to 323130=29760. Otrzymany wynik można też zapisać w postaci 32!29!.

  5. liczba wszystkich możliwych sposobów wylosowania kolejno 5 kart (jedna po drugiej) z brydżowej talii 52 kart to 5251504948=311875200. Otrzymany wynik można też zapisać jako 52!47!.

  6. liczba wszystkich możliwych sposobów, na które grupa 6 dziewczynek może zająć miejsca w sześcioosobowym rzędzie, to 654321=720. Ten wynik można też zapisać w postaci 6!.

  7. liczba wszystkich możliwych napisów otrzymanych z przestawiania liter wyrazu „płot” to 4321=24. Otrzymany wynik można też zapisać jako 4!.

Permutacje

W poprzednim przykładzie
– w podpunkcie f) rozpatrywaliśmy sześciowyrazową wariację bez powtórzeń zbioru sześcioelementowego,
– w podpunkcie g) rozpatrywaliśmy czterowyrazową wariację bez powtórzeń zbioru czteroelementowego.

W przypadku k=n wariację bez powtórzeń nazywamy permutacją zbioru n-elementowego.
Zatem permutacją zbioru n‑elementowego nazywamy każdy ciąg utworzony ze wszystkich wyrazów tego zbioru, a liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa
nn-1n-2...1=n!.

Przykład 14

Obliczymy, ile jest wszystkich takich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w których zapisie

  1. cyfra 1 zapisana jest na pierwszym miejscu od lewej.
    Zapisujemy cyfrę 1 na pierwszym miejscu od lewej. Pozostaje nam rozmieścić pozostałe 4 cyfry na 4 miejscach, co można zrobić na 4321=24 sposoby. Oznacza to, że są 24 takie liczby.

  2. między cyframi 1 oraz 2 zapisane są trzy inne cyfry.
    Z treści zadania wynika, że cyfry 1 oraz 2 muszą zająć dwa skrajne miejsca, a pozostałe trzy cyfry trzeba wpisać na trzech miejscach między nimi. Wobec tego cyfry 12 zapiszemy na dwa sposoby, a w każdym z tych przypadków cyfry 3, 4, 5 zapiszemy na 321=6 sposobów. Zatem wszystkich takich liczb jest 26=12.

  3. cyfry 1 oraz 2 nie są zapisane obok siebie.

  • sposób I

Zliczanie rozkładamy na trzy etapy:

  • wybór miejsca dla cyfry 1 i zapisanie tej cyfry,

  • wybór miejsca dla cyfry 2 i zapisanie tej cyfry,

  • zapisanie pozostałych trzech cyfr.

Mamy dwa istotnie różne przypadki:

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na jednym z dwóch skrajnych miejsc, to cyfrę 2 będziemy mogli zapisać na jednym z trzech miejsc, a wtedy pozostałe trzy cyfry rozmieszczamy na trzech dostępnych miejscach na 3! sposobów. W tym przypadku mamy więc 233!=36 sposobów zapisu takich liczb.

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na miejscu drugim, trzecim lub czwartym, to cyfrę 2 będziemy mogli zapisać na jednym z dwóch miejsc, a wtedy pozostałe trzy cyfry rozmieszczamy na trzech dostępnych miejscach na 3! sposobów. W tym przypadku mamy więc 323!=36 sposobów zapisu takich liczb.

Wobec tego wszystkich takich liczb jest 36+36=72.

  • sposób II
    Zauważamy, że wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest 54321=120. W zapisie każdej z tych liczb cyfry 1, 2 są zapisane obok siebie albo nie są zapisane obok siebie. Dla ustalenia, ile jest liczb w drugim przypadku, wystarczy więc obliczyć, ile jest takich liczb, w których cyfry 1, 2 są zapisane obok siebie.
    Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:
    - wybór dwóch miejsc dla cyfr 1, 2 oraz zapisanie tych cyfr,
    - zapisanie pozostałych trzech cyfr.
    Mamy cztery możliwości wyboru sąsiednich miejsc dla cyfr 1, 2: pierwsze i drugie lub drugie i trzecie, lub trzecie i czwarte, lub czwarte i piąte. W każdym z tych czterech przypadków cyfry 1, 2 możemy zapisać na wybranych miejscach na dwa sposoby. W drugim etapie zapisujemy pozostałe trzy cyfry na trzech dostępnych miejscach, co można zrobić na 3! sposobów. Oznacza to, że wszystkich takich liczb pięciocyfrowych, w których cyfry 1, 2 są zapisane obok siebie, jest 423!=48. Stąd wszystkich takich liczb pięciocyfrowych, w których cyfry 1, 2 nie są zapisane obok siebie, jest 120-48=72.
    Uwaga. Zliczanie wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w których cyfry 1, 2 są zapisane obok siebie, można przeprowadzić w następujący sposób:
    Dwie sąsiadujące cyfry 1, 2 zapisujemy jako jeden nowy obiekt, który oznaczamy jako np. x. Następnie obliczamy liczbę możliwych rozmieszczeń 4 elementów: bloku x oraz cyfr 3, 4, 5 – takich rozmieszczeń jest 4! = 24. W każdym z nich trzeba jeszcze zamienić x na zapisane obok siebie cyfry 1, 2, co można zrobić na 2 sposoby. Ostatecznie stwierdzamy, że wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w których cyfry 1, 2 są zapisane obok siebie, jest 224=48.

  1. cyfra 1 jest zapisana przed cyfrą 2 (patrząc od lewej).

  • sposób I

Numerujemy od lewej miejsca, na których można zapisać cyfry takiej liczby pięciocyfrowej: (1), (2), (3), (4), (5) .
Zliczanie rozkładamy na dwa etapy:

  • wybór miejsc dla cyfr 1, 2 oraz zapisanie tych cyfr,

  • zapisanie pozostałych trzech cyfr.

Ponieważ numer miejsca dla cyfry 1 musi być mniejszy od numeru miejsca dla cyfry 2, więc:

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na miejscu (1), to dla cyfry 2 zostają do wyboru 4 miejsca,

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na miejscu (2), to dla cyfry 2 zostają do wyboru 3 miejsca,

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na miejscu (3), to dla cyfry 2 zostają do wyboru 2 miejsca,

  • jeżeli cyfrę 1 zapiszemy na miejscu (4), to dla cyfry 2 zostaje do wyboru 1 miejsce,

  • cyfry 1 nie można zapisać na miejscu (5).

Oznacza to, że jest dokładnie 4+3+2+1=10 możliwości wyboru miejsc i zapisania cyfr 1, 2. W każdym z tych przypadków pozostaje nam zapisać cyfry 3, 4, 5 na pozostałych trzech miejscach, co można zrobić na 3! = 6 sposobów. Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w których cyfra 1 jest zapisana przed cyfrą 2 (patrząc od lewej) jest 106=60.

  • sposób II

Rozbijemy zbiór liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 na dwa podzbiory:
A – tych liczb, w których cyfra 1 jest zapisana przed cyfrą 2,
B – tych liczb, w których cyfra 2 jest zapisana przed cyfrą 1.
Ponieważ:

  • zbiory te są rozłączne, więc AB=A+B,

  • wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5 jest 54321=120, więc AB=A+B=120.

Zauważmy, że:

  • wybierając dowolną liczbę ze zbioru A i zamieniając w jej zapisie miejscami cyfry 1, 2, otrzymamy pewną (dokładnie jedną) liczbę ze zbioru B,

  • wybierając dowolną liczbę ze zbioru B i zamieniając w jej zapisie miejscami cyfry 1, 2, otrzymamy pewną (dokładnie jedną) liczbę ze zbioru A.

Wobec tego zbiory AB są równoliczne, co oznacza, że A=12120=60.
Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w których cyfra 1 jest zapisana przed cyfrą 2 (patrząc od lewej), jest 12120=60.

Ćwiczenie 1

W karcie dań jest 6 zup i 7 drugich dań. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?

Ćwiczenie 2

Wybieramy liczbę a ze zbioru A=1,2,3,4,5 oraz liczbę b ze zbioru B=6,7,8,9,10. Ile jest takich par a,b, że iloczyn ab jest liczbą nieparzystą?

Ćwiczenie 3

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których jedynie cyfra setek jest nieparzysta, a cyfra dziesiątek i cyfra jedności są równe?

Ćwiczenie 4

Liczba wszystkich możliwych wyników trzykrotnego rzutu monetą jest równa

Ćwiczenie 5

Ile dodatnich dzielników całkowitych ma liczba 2453?

Ćwiczenie 6

Liczba wszystkich sposobów, na jakie Adaś, Basia i Celinka mogą usiąść na trzech spośród pięciu wolnych miejsc w kinie, jest równa

Ćwiczenie 7

Suma wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3 (cyfry mogą się powtarzać) jest równa

Ćwiczenie 8

Siedmioosobowa grupa, czworo dorosłych i troje dzieci, wykupiła bilety na ten sam seans do kina, przy czym wybrali miejsca od 10 do 16 w dwudziestym rzędzie. Liczba wszystkich sposobów, na jakie mogą oni zająć miejsca tak, aby każde z dzieci siedziało pomiędzy dorosłymi, jest równa

Ćwiczenie 9

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Ile jest wszystkich takich wyników tego losowania, że pierwsza wylosowana liczba jest podzielna przez 3 i druga wylosowana liczba jest parzysta?

Ćwiczenie 10

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, wiedząc, że:

  1. cyfry mogą się powtarzać.

  2. cyfry są różne

Ćwiczenie 11

W każdym z dwóch różnych pojemników znajdują się trzy kule, z których jedna jest biała, druga – czarna, a trzecia - zielona. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego losowania, w których uzyskamy:

  1. kule różnych kolorów?

  2. co najmniej jedną kulę białą?

Ćwiczenie 12

Oblicz, na ile sposobów Ewa i Ola mogą zająć miejsca w kinie, jeżeli wybierają spośród

  1. 8 wolnych miejsc.

  2. 12 wolnych miejsc.

Ćwiczenie 13

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, wiedząc, że:

  1. cyfry mogą się powtarzać,

  2. cyfry są różne.

Ćwiczenie 14

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty, których boki zawierają się w liniach siatki dzielącej prostokąt o wymiarach 48 na kwadraty jednostkowe.

Oblicz, ile jest wśród nich

  1. wszystkich kwadratów o boku 1.

  2. wszystkich kwadratów o boku 2.

  3. wszystkich kwadratów o boku 3.

  4. wszystkich kwadratów o boku 4.

Ćwiczenie 15

Oblicz, ile dzielników naturalnych ma liczba:

  1. 25114

  2. 36173

  3. 3969

  4. 4000

Ćwiczenie 16

Wybieramy liczbę a ze zbioru A=1,2,3,4,5,6,7 oraz liczbę b ze zbioru B=2,3,4,5,6,7,8. Ile jest takich par a,b, że:

  1. suma a+b jest liczbą parzystą?

  2. iloczyn ab jest liczbą parzystą?

Ćwiczenie 17

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Ile jest wszystkich takich wyników tego losowania, że pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej i różnica między nimi jest mniejsza niż 3?

Ćwiczenie 18

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że

  1. największa wyrzucona liczba oczek nie jest większa od 4?

  2. największa wyrzucona liczba oczek jest równa 4?

Ćwiczenie 19

Z pojemnika, w którym jest 10 losów: trzy wygrywające i siedem pustych, losujemy dwa razy po jednym losie, bez zwracania. Oblicz, na ile sposobów możemy wylosować:

  1. dwa losy wygrywające

  2. dokładnie jeden los wygrywający

  3. co najmniej jeden los wygrywający

Ćwiczenie 20

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Załóżmy, że liczba wylosowana za pierwszym razem to x, a za drugim – y. Ile jest wszystkich takich wyników tego losowania, że y-x<2?

Ćwiczenie 21

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz, ile jest wszystkich wyników tego doświadczenia, takich że

  1. co najmniej raz wypadła liczba oczek równa 5 i suma liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3.

  2. co najmniej raz wypadła liczba oczek równa 5 lub suma liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3.

Ćwiczenie 22

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Ile jest wszystkich wyników tego losowania, takich że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6?

Ćwiczenie 23

Oblicz sumę S wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr

  1. 1, 2, 3 (cyfry mogą się powtarzać).

  2. 1, 2, 3, 4, 5, 6 (cyfry mogą się powtarzać).

  3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (cyfry mogą się powtarzać).

  4. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (cyfry mogą się powtarzać).

Ćwiczenie 24

W pudełku jest 17 kul, ponumerowanych od 1 do 17. Z tego pudełka losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz, ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że:

  1. suma wylosowanych liczb jest parzysta.

  2. iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty.

  3. iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6.

Ćwiczenie 25

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych:

  1. trzycyfrowych o różnych cyfrach, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 4, 5, 6, 7, 8, 9.

  2. czterocyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 4, 8, wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać.

  3. pięciocyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3.

Ćwiczenie 26

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 0, 1, 2, 3, 4, wiedząc, że:

  1. cyfry mogą się powtarzać

  2. cyfry muszą być różne

Ćwiczenie 27

Oblicz, ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy:

  1. 6

  2. 9

  3. 10

  4. 12

Ćwiczenie 28

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których

  1. cyfra jedności jest o 4 mniejsza od cyfry dziesiątek.

  2. cyfra setek jest o 2 większa od cyfry jedności.

  3. cyfry dziesiątek i setek są równe.

Ćwiczenie 29

Oblicz, ile jest wszystkich nieparzystych liczb pięciocyfrowych, których suma cyfr jest równa 4.

Ćwiczenie 30

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, które można zapisać przy użyciu cyfr 2, 3, 4. Ile jest wśród nich takich liczb, których:

  1. tylko pierwsza i ostatnia cyfra są nieparzyste?

  2. każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o 2?

  3. każde dwie sąsiednie cyfry różnią się o 1?

Ćwiczenie 31

Oblicz, ile dzielników naturalnych ma liczba

  1. 23325

  2. 541121933

  3. 1620

  4. 6468

Ćwiczenie 32

Mamy do dyspozycji trzy pudełka: białe, czarne i żółte. W białym jest 7 kul, ponumerowanych od 1 do 7, w czarnym jest 5 kul, ponumerowanych od 1 do 5, a w żółtym są 4 kule, ponumerowane od 1 do 4. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Ile jest wszystkich możliwości wylosowania w ten sposób trójki liczb, których iloczyn jest podzielny przez 5?

Ćwiczenie 33

Rozpatrzmy trzykrotny rzut sześcienną kostką do gry. Oblicz, ile jest wszystkich takich wyników tego doświadczenia, że

  1. w każdym rzucie otrzymamy inną liczbę oczek

  2. otrzymamy parzysty iloczyn liczb wyrzuconych oczek

  3. dokładnie raz wypadnie liczba oczek podzielna przez 3

Ćwiczenie 34

Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o różnych cyfrach, które są większe od 642 i dzielą się przez 5?

Ćwiczenie 35

Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje 0, jest dokładnie jedna cyfra 9 i dokładnie jedna cyfra parzysta.

Ćwiczenie 36

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, w których

  1. cyfry 1, 2, 3 oraz 4 stoją obok siebie, zapisane w kolejności rosnącej

  2. suma cyfr zapisanych na miejscach pierwszym i ostatnim jest równa 11

  3. suma każdych dwóch sąsiednich cyfr jest nieparzysta

Ćwiczenie 37

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych siedmiocyfrowych o różnych cyfrach zapisanych za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, w których zapisie

  1. żadne dwie cyfry nieparzyste nie stoją obok siebie.

  2. cyfra 5 jest zapisana przed cyfrą 6 i cyfra 6 jest zapisana przed cyfrą 7.

Ćwiczenie 38

Oblicz sumę S wszystkich liczb naturalnych

  1. czterocyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (cyfry mogą się powtarzać).

  2. trzycyfrowych, zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (cyfry mogą się powtarzać).