Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku
Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

Przykład 1
Ważne!

Podstawą graniastosłupa może być trójkąt, czworokąt i sześciokąt.

Ważne!

Jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny (trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt foremny itd.), to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy.

Graniastosłup, którego podstawą jest prostokąt, nazywać będziemy prostopadłościanem.

Odcinki w prostopadłościanie

Kąty w prostopadłościanie

Przekroje w prostopadłościanie

Ważne!

Sześcian to taki prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Przykład 2

Krawędź sześcianu jest równa 6 cm. Obliczymy długość przekątnej sześcianu.

Zauważ, że jeśli podobne obliczenia wykonamy dla dowolnego sześcianu o krawędzi a, to otrzymamy wzór na przekątne sześcianu.

Zapamiętaj!

Przekątna sześcianu o krawędzi a jest równa

d=a3

Siatka sześcianu

Siatka sześcianu

Siatka prostopadłościanu

Siatka prostopadłościanu

Siatka graniastosłupa

Siatka graniastosłupa

Przykład 3

Punkty MK są środkami krawędzi sześcianu. Obliczymy pole powierzchni czworokąta ABKM.

Odcinki ABMK leżą na płaszczyznach równoległych i są sobie równe. Podobnie odcinki AMBK  oraz AM=BK. Ponadto odcinek BK leży na płaszczyźnie prostopadłej do podstawy sześcianu i jest prostopadły do krawędzi AB. Wynika z tego, że czworokąt ABKM jest prostokątem. Obliczymy długości boków prostokąta ABKM.

Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

Zapamiętaj!

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe

Pc=2Pp+Pb

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a Pb – pole powierzchni bocznej.
W szczególności pole całkowite

  • prostopadłościanu o krawędziach a, b, c jest równe

Pc=2(ab+ac+bc)
  • sześcianu o krawędzi a jest równe

Pc=6a2
  • graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równe

Pc=2a2+4aH
Zapamiętaj!

Objętość graniastosłupa jest równa

V=PpH

gdzie Pp oznacza pole podstawy graniastosłupa, a  – wysokość bryły.
W szczególności objętość

  • prostopadłościanu o krawędziach a, b, c jest równa V=abc

  • sześcianu o krawędzi a jest równa

V=a3
  • graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a i wysokości H jest równa

V=a2H
Przykład 4

Przekątna podstawy sześcianu ma długość 12. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

Przekątna kwadratu jest równa a2, zatem otrzymujemy równanie a2=12, czyli a=62.
Wynika z tego, że objętość sześcianu jest równa

V=a3=623=4322

a pole powierzchni całkowitej

Pc=6a2=6622=432
Przykład 5

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 6 cm, a przekątna ściany bocznej 10 cm. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Przykład 6

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 62 cm, a przekątna graniastosłupa jest 2 razy dłuższa od przekątnej podstawy.

Przykład 7

Przekątna prostopadłościanu ma długość 6 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30°. Pole podstawy prostopadłościanu jest równe 24 cm2 . Oblicz objętość bryły.

Przykład 8

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny o polu 123 . Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.

Przykład 9

Objętość graniastosłupa o podstawie kwadratu jest równa 723. Przekątna ściany bocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Obliczymy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe Pc=2a2+4aH - zatem do jego obliczenia będzie potrzebna długość krawędzi podstawy i wysokość bryły.
W trójkącie prostokątnym ABA1 mamy:

tg 30°=Ha

zatem

33=Ha

czyli

H=a33

Objętość graniastosłupa jest równa V=a2H, czyli 723=a2H .
Wstawiając wyznaczoną wcześniej wartość H, otrzymamy
723=a333, czyli a3=216 .Wynika z tego, że a=6 oraz

H=a33=633=23

Zatem pole powierzchni całkowitej jest równe:

Pc=2a2+4aH=262+4623=72+483
Przykład 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 75 dm3 . Przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 5 dm. Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Ćwiczenie 1

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 286 cm2. Przekątna podstawy jest równa 42 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa

Ćwiczenie 2

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 144 cm2, a suma długości wszystkich krawędzi jest równa  60 cm . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Ćwiczenie 3

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 273 , a przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 45°. Oblicz objętość graniastosłupa.

Ćwiczenie 4

Jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu jest 3 razy większa od drugiej. Przekątna prostopadłościanu ma długość 25 cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 60°. Oblicz objętość prostopadłościanu.

Ćwiczenie 5

Przekątna podstawy sześcianu ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

Ćwiczenie 6

Pole powierzchni całkowitej sześcianu ABCDA1B1C1D1 jest równe 432 cm2. Oblicz pole trójkąta A1BC1.

Ćwiczenie 7

Przekątna sześcianu jest o 5 cm dłuższa od jego krawędzi. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu.

Ćwiczenie 8

Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do płaszczyzny podstawy.