Zadania. Część II

Ćwiczenie 1

Na rysunku podane są długości boków trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie jest równy $α$ .

RmROaSAfVo0xi1

Rysunek trójkąta równoramiennego ABC o ramionach długości 6 i podstawie długości 4. kąt ostry alfa to kąt przy podstawie trójkąta A B C.

Wtedy

R5jvcBqV3PKWY

$sinα = \frac{1}{3}$
$sinα = \frac{\sqrt{2}}{3}$
$sinα = \frac{2}{3}$
$sinα = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Ćwiczenie 2

Długość boku rombu jest równa $7$ . Pole rombu jest równe $28$ . Wówczas cosinus kąta ostrego tego rombu jest równy

Rx7QFoaDJBenV

$\frac{4}{\sqrt{65}}$
$\frac{4}{7}$
$\frac{\sqrt{33}}{7}$
$\frac{7}{\sqrt{65}}$

Ćwiczenie 3

W trapezie $ABCD$ , o podstawach $AB$ i $CD$ , dane są długości boków $|AB| = 12$ i $|AD| = |BC| = |CD| = 6$ . Wynika z tego, że sinus kąta $BAC$ jest równy

R50p7iErYwK3i

$\frac{1}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$

Ćwiczenie 4

Wskaż liczbę równą $1$ .

RMLMppeAXGmCw

$tg 40 ° ∙ \sin 50 °$
$tg 40 ° ∙ \cos 50 °$
$tg 40 ° ∙ tg 50 °$
$tg 40 ° ∙ \sin 50 ° ∙ \cos 50 °$

Ćwiczenie 5

O kątach ostrych: $α$ , $β$ , $γ$ wiadomo, że: $tgα = \frac{3}{2}$ , $cosβ = \frac{9}{10}$ , $sinγ = \frac{7}{8}$ . Wynika z tego, że

R2VS73wxAFdsi

$α > β > γ$
$γ > α > β$
$β > γ > α$
$β > α > γ$

Ćwiczenie 6

Podaj sinus, cosinus i tangens kąta ostrego $α$ .

R1Ni7k7tUvGti1
R1ZsGlyus3x3c1
Rc9UY5RJ2dtaT1
R1TBgJ2oQlTjW1

$sinα = \frac{5}{13}$ , $cosα = \frac{12}{13}$ , $tgα = \frac{5}{12}$
Zauważmy, że przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $α$ ma długość $5$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $12$ , a przeciwprostokątna ma długość $13$ . Stąd
$sinα = \frac{5}{13}, cosα = \frac{12}{13}, tgα = \frac{5}{12} .$
$sinα = \frac{40}{41}$ , $cosα = \frac{9}{41}$ , $tgα = \frac{40}{9}$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $40$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $9$ , a przeciwprostokątna ma długość $41$ . Stąd
$sinα = \frac{40}{41}, cosα = \frac{9}{41}, tgα = \frac{40}{9} .$
$sinα = \frac{15}{17}$ , $cosα = \frac{8}{17}$ , $tgα = \frac{15}{8}$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $15$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $8$ , a przeciwprostokątna ma długość $17$ . Stąd
$sinα = \frac{15}{17}, cosα = \frac{8}{17}, tgα = \frac{15}{8} .$
$sinα = \frac{7}{25}$ , $cosα = \frac{24}{25}$ , $tgα = \frac{7}{24}$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $7$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $24$ , a przeciwprostokątna ma długość $25$ . Stąd
$sinα = \frac{7}{25}, cosα = \frac{24}{25}, tgα = \frac{7}{24} .$

Ćwiczenie 7

Dane są długości przyprostokątnych $a$ i $b$ trójkąta prostokątnego. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego $α$ , leżącego naprzeciw przyprostokątnej $a$ , jeżeli

$a = 1$ , $b = 7$
$a = \sqrt{7}$ , $b = 3$
$a = 3$ , $b = 6 \sqrt{2}$
$a = \sqrt{41,}$ $b = 2$

$sinα = \frac{\sqrt{2}}{10}$ , $c os α = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ , $t g α = \frac{1}{7}$
$a = 1$ , $b = 7$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $1$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $7$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{1^{2} + 7^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ . Stąd
$sinα = \frac{1}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}, cosα = \frac{7}{5 \sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{10}, tgα = \frac{1}{7} .$
$sinα = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $cosα = \frac{3}{4}$ , $tgα = \frac{\sqrt{7}}{3}$
$a = \sqrt{7}$ , $b = 3$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $\sqrt{7}$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $3$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$ . Stąd
$sinα = \frac{\sqrt{7}}{4}, cosα = \frac{3}{4}, tgα = \frac{\sqrt{7}}{3} .$
$sinα = \frac{1}{3}$ , $c os α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $tgα = \frac{\sqrt{2}}{4}$
$a = 3$ , $b = 6 \sqrt{2}$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $3$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $6 \sqrt{2}$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{9 + 72} = \sqrt{81} = 9$ . Stąd
$sinα = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, cosα = \frac{6 \sqrt{2}}{9} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, tgα = \frac{3}{6 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} .$
$sinα = \frac{\sqrt{205}}{15}$ , $cosα = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ , $tgα = \frac{\sqrt{41}}{2}$
$a = \sqrt{41,}$ $b = 2$
Zauważmy, że przyprostokątna przeciwległa do kąta $α$ ma długość $\sqrt{41}$ , przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość $2$ , a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{41 + 4} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ . Stąd
$sinα = \frac{\sqrt{41}}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{205}}{15}, cosα = \frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}, tgα = \frac{\sqrt{41}}{2} .$

Ćwiczenie 8

W trójkącie prostokątnym dana jest długość przyprostokątnej $a$ i długość przeciwprostokątnej $c$ . Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta ostrego $β$ , leżącego przy przyprostokątnej $a$ , jeśli

$a = 1$ , $c = 7$
$a = \sqrt{7}$ , $c = 5$
$a = 3$ , $c = 2 \sqrt{5}$
$a = 7$ , $c = \sqrt{74}$

$sinβ = \frac{4 \sqrt{3}}{7}$ , $cosβ = \frac{1}{7}$ , $tgβ = 4 \sqrt{3}$
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $1$ , przeciwprostokątna ma długość $7$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{7^{2} - 1^{2}} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$ . Stąd
$sinβ = \frac{4 \sqrt{3}}{7}, cosβ = \frac{1}{7}, tgβ = \frac{sinβ}{cosβ} = \frac{4 \sqrt{3}}{7} \cdot 7 = 4 \sqrt{3} .$
$sinβ = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ , $cosβ = \frac{\sqrt{7}}{5}$ , $tgβ = \frac{3 \sqrt{14}}{7}$
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $\sqrt{7}$ , przeciwprostokątna ma długość $5$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{25 - 7} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ . Stąd
$sinβ = \frac{3 \sqrt{2}}{5}, cosβ = \frac{\sqrt{7}}{5}, tgβ = \frac{sinβ}{cosβ} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{14}}{7} .$
$sinβ = \frac{\sqrt{55}}{10}$ , $cosβ = \frac{3 \sqrt{5}}{10}$ , $tgβ = \frac{\sqrt{11}}{3}$
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $3$ , przeciwprostokątna ma długość $2 \sqrt{5}$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{20 - 9} = \sqrt{11}$ . Stąd
$sinβ = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{55}}{10}, cosβ = \frac{3}{2 \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{10}, tgβ = \frac{sinβ}{cosβ} = \frac{\sqrt{11}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{10}{3 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{11}}{3} .$
$sinβ = \frac{5 \sqrt{74}}{74}$ , $cosβ = \frac{7 \sqrt{74}}{74}$ , $tgβ = \frac{5}{7}$
Zauważmy, że przyprostokątna przyległa do kąta $β$ ma długość $7$ , przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{74}$ , a przyprostokątna przeciwległa do tego kąta ma długość $\sqrt{74 - 49} = 5$ . Stąd
$sinβ = \frac{5}{\sqrt{74}} = \frac{5 \sqrt{74}}{74}, cosβ = \frac{7}{\sqrt{74}} = \frac{7 \sqrt{74}}{74}, tgβ = \frac{sinβ}{cosβ} = \frac{5 \sqrt{74}}{74} \cdot \frac{74}{7 \sqrt{74}} = \frac{5}{7} .$

Ćwiczenie 9

Oblicz.

${(\sin 30 ° + \sin 60 °)}^{2} - 2 \sin 60 ° \cdot \cos 30 °$
${(\sin 60 ° \cdot tg 30 ° + \cos 30 °)}^{2} - \sin 60 °$
$(tg 30 ° + tg 60 °) \cdot \sin 30 ° \cdot \sin 60 °$

Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości $1$ . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów o miarach $60 °$ i $30 °$ .

RW1jHzoAl3wUH1

Rysunek trójkąta prostokątnego, którego kąt 30 stopni leży naprzeciw przyprostokątnej długości jedna druga a kąt 60 stopni leży naprzeciw przyprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z trzech. Przeciwprostokątna ma długość 1. Podany trójkąt i trójkąt do niego symetryczny, względem przyprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z trzech, utworzyły trójkąt równoboczny o bokach długości 1 i wysokości jedna druga pierwiastka z trzech. Rozwiązanie zadania.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
Zauważmy, że
${(\sin 30 ° + \sin 60 °)}^{2} - 2 \sin 60 ° \cdot \cos 30 ° = {(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{3}{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4} - \frac{6}{4} - \frac{2 \sqrt{3} - 2}{4} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
$1$
Zauważmy, że
${(\sin 60 ° \cdot tg 30 ° + \cos 30 °)}^{2} - \sin 60 ° = {(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 .$
$1$
Zauważmy, że
$(tg 30 ° + tg 60 °) \cdot \sin 30 ° \cdot \sin 60 ° = (\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 1 .$

Ćwiczenie 10

Wykaż, że

$16 ∙ (\sin 30 ° + \sin^{2} 45 ° + \sin^{4} 60 °) = 25$
$8 ∙ (\cos^{2} 30 ° ∙ \cos^{2} 45 ° + \cos 60 °) = 7$
$tg 30 ° ∙ tg 45 ° ∙ tg 60 ° = 1$

Rozważmy kwadrat o boku długości $1$ . Patrząc na rysunek, łatwo można odczytać wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kąta o mierze $45 °$ .

R2bYdFReFTxtl1

Rysunek trójkąta prostokątnego równoramienny o przyprostokątnych długości 1 i przeciwprostokątnej długości jedna druga pierwiastka z dwóch oraz kątach ostrych 45 stopni. Podany trójkąt i trójkąt do niego symetryczny względem przeciwprostokątnej utworzyły kwadrat o boku długości 1 i przekątnej długości jedna druga pierwiastka z dwóch. Rozwiązanie zadania.

Zauważmy, że
$16 \cdot (\sin 30 ° + si n^{2} 45 ° + si n^{4} 60 °) = 16 (\frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{4}) = 16 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{9}{16}) = 25 .$
Zauważmy, że
$8 \cdot (co s^{2} 30 ° \cdot co s^{2} 45 ° + \cos 60 °) = 8 ({(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{1}{2}) = 8 (\frac{6}{16} + \frac{1}{2}) = 7 .$
Zauważmy, że
$tg 30 ° \cdot tg 45 ° \cdot tg 60 ° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 1 .$

Ćwiczenie 11

Oblicz.

$\frac{5 \cos 18 ° + 7 \sin 72 °}{17 \sin 72 ° - 11 \cos 18 °}$
$tg 22 ° ∙ tg 44 ° ∙ tg 46 ° ∙ tg 68 °$

$\frac{5 \cos 18 ° + 7 \sin 72 °}{17 \sin 72 ° - 11 \cos 18 °} = \frac{5 \cos 18 ° + 7 \sin (90 ° - 18 °)}{17 \sin (90 ° - 18 °) - 11 \cos 18 °} = \frac{5 \cos 18 ° + 7 \cos (18 °)}{17 \cos (18 °) - 11 \cos 18 °} = \frac{12 \cos 18 °}{6 \cos 18 °} = 2 .$
$tg 22 ° \cdot tg 44 ° \cdot tg 46 ° \cdot tg 68 ° = tg 22 ° \cdot tg 44 ° ∙ tg (90 ° - 44 °) ∙ tg (90 ° - 22 °) = \frac{tg 22 ° ∙ tg 44 °}{tg 44 ° ∙ tg 22 °} \cdot = 1 .$

Ćwiczenie 12

Wykaż, że

$\cos 72 ° \cdot \cos 28 ° = \sin 62 ° \cdot \sin 18 °$
$\frac{tg 18 °}{tg 54 °} = \frac{tg 36 °}{tg 72 °}$
$(3 \sin 19 ° + 2 \cos 71 °) (\sin 44 ° + 7 \cos 46 °) = 40 \cos 71 ° \sin 44 °$

Zauważmy, że
$\cos 72 ° \cdot \cos 28 ° = \cos (90 ° - 18 °) \cdot \cos (90 ° - 62 °) = \sin 62 ° \cdot \sin 18 ° .$
Zauważmy, że
$\frac{tg 18 °}{tg 54 °} = \frac{\frac{1}{tg 72 °}}{\frac{1}{tg 36 °}} = \frac{tg 36 °}{tg 72 °}$
Zauważmy, że
$(3 \sin 19 ° + 2 \cos 71 °) (\sin 44 ° + 7 \cos 46 °) = (3 \sin (90 ° - 71 °) + 2 \cos 71 °) \cdot (\sin 44 ° + 7 \cos (90 ° - 44 °)) =$

= (3 \cos 71 ° + 2 \cos 71 °) \cdot (\sin 44 ° + 7 \sin 44 °) = 5 \cos 71 ° \cdot 8 \sin 44 ° = 40 \cos 71 ° \sin 44 ° .

Ćwiczenie 13

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $|AC| = |BC| = \sqrt{29}$ i $|AB| = 4$ . Oblicz sinus każdego z kątów tego trójkąta.

$\sin (∡ ABC) = \sin (∡BAC) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$
$\sin (∡BCA) = \frac{20}{29}$

Ćwiczenie 14

W trapezie prostokątnym $ABCD$ ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw $AB$ i $CD .$ Boki trapezu mają długości: $|AB| = 21$ , $|AD| = 12$ , $|CD| = 16$ . Oblicz.

$s in (∡ BAC)$
$tg (∡ B D C)$
$\cos (∡ A B C)$

$s in (∡BAC) = \frac{3}{5}$
$tg (∡ B D C) = \frac{4}{7}$
$\cos (∡ ABC) = \frac{5}{13}$

Ćwiczenie 15

Długości przekątnych rombu $ABCD$ są równe $|AC| = 48$ i $|BD| = 14$ . Oblicz.

$tg (∡CAB)$
$\cos (∡CDB)$
$s in (∡BAD)$

$tg (∡ CAB) = \frac{7}{24}$
$\cos (∡ CDB) = \frac{7}{25}$
$\sin (∡ BAD) = \frac{336}{625}$

Ćwiczenie 16

W trapezie równoramiennym $ABCD$ długości podstaw są równe $|AB| = 11$ i $|CD| = 7$ , a każde z ramion ma długość $6$ . Oblicz.

$\cos (∡ BAD)$
$tg (∡ CAB)$
$s in (∡ ACD)$

$\cos (∡BA D) = \frac{1}{3}$
$tg (∡ CAB) = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$
$\sin (∡ ACD) = \frac{4 \sqrt{226}}{113}$

Ćwiczenie 17

W równoległoboku $ABCD$ dane są długości boków $|AB| = 28$ i $|AD| = 17$ . Pole tego równoległoboku jest równe $420$ , a kąt przy wierzchołku $A$ jest ostry. Oblicz.

$s in (∡ BAD)$
$tg (∡ DBA)$
$\cos (∡ CAB)$

$\sin (∡ BA D) = \frac{15}{17}$
$tg (∡ DBA) = \frac{3}{4}$
$\cos (∡ CAB) = \frac{12}{13}$

Ćwiczenie 18

Pole trójkąta ostrokątnego jest równe $780 .$ Boki tego trójkąta mają długości $|AB| = 39$ i $|AC| = 41$ . Oblicz.

$s in (∡ BAC)$
$\cos (∡ ABC)$
$tg (∡ ACB)$

$\sin (∡ BA C) = \frac{40}{41}$
$\cos (∡ ABC) = \frac{3}{5}$
$tg (∡ ACB) = \frac{156}{133}$

Ćwiczenie 19

W rombie $ABCD$ krótsza przekątna ma długość $|BD| = 30$ , a bok $25$ . Wykaż, że $\sin (∡ BAD) = 2 ∙ \sin (∡ CAD) ∙ \cos (∡ CAB)$ .

$\sin (∡ BAD) = \frac{24}{25}, \sin (∡ CAD) = \frac{3}{5}, \cos (∡CAB) = \frac{4}{5}$
$\sin (∡BAD) = \frac{24}{25} = 2 ∙ \frac{3}{5} ∙ \frac{4}{5} = 2 ∙ \sin (∡CAD) ∙ \cos (∡CAB)$

Zadania. Część I

Tożsamości trygonometryczne