Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku

Obraz przestrzeni, zgodny z tym, jaki tworzy oko ludzkie, jest przedstawiany w malarstwie lub rysunku za pomocą zasad perspektywy. Dzięki temu sposobowi płaskiego odwzorowania jesteśmy w stanie wyobrazić sobie rzeczywisty kształt i wzajemne położenie przedstawianych obiektów przestrzennych.

Takie kompleksowe podejście do związków między obiektami w przestrzeni nie będzie nam potrzebne. W kilku kolejnych rozdziałach będziemy badać jedynie wybrane własności pewnych figur geometrycznych umieszczonych w przestrzeni trójwymiarowej.

W przedstawionych przykładach będziemy się starali przeprowadzić rozumowanie stosowne do zadanej sytuacji przestrzennej.
Wprowadzimy też niezbędne definicje, a kluczowe zależności między omawianymi obiektami podamy jako twierdzenia.

Związki miarowe w figurach przestrzennych będziemy analizować za pomocą rysunków przedstawionych na płaszczyźnie. Przyjmujemy znaną i stosowaną w praktyce szkolnej umowę, że modele figur przestrzennych (które inaczej nazywamy bryłami) będziemy odwzorowywać na płaszczyźnie według zasad rzutu równoległego.
W ten sposób figury równoległe do kartki będą przystające do ich obrazów narysowanych na kartce, a figury nierównoległe do kartki zmienią kształt.
Poniżej przedstawiony jest model sześcianu ABCDEFGH narysowany według powyższych zasad.

Jego ściany ABEFCDHG leżą w płaszczyźnie równoległej do kartki, więc są narysowane jako kwadraty, a w przypadku pozostałych ścian narysowane są równoległoboki.

Punkty i proste w przestrzeni

W poniższych przykładach będziemy ilustrowali płaszczyznę w przestrzeni, prezentując jej wybraną część, istotną dla prezentowanych rozważań. Zazwyczaj będzie to prostokąt wycięty z tej płaszczyzny.
Na rysunku przedstawiona jest płaszczyzna p1 i leżące w niej dwa punkty AB.

Przykład 1

Rozpatrzmy prostą AB na płaszczyźnie p1.

Zauważmy, że oprócz płaszczyzny p1 są jeszcze inne, w których leży prosta AB.

Rozpatrzmy teraz płaszczyznę p2 różną od p1, w której leży punkt A, ale nie leży w niej punkt B.
Wtedy poza punktem A nie ma na prostej AB takiego punktu, który leży też w płaszczyźnie p2.
Natomiast jeżeli punkt C leżący w płaszczyźnie p1 leży również w płaszczyźnie p2, to wszystkie punkty prostej AC leżą zarówno w płaszczyźnie p1, jak i w płaszczyźnie p2.

Zauważmy, że:

  • p1 jest jedyną płaszczyzną, do której należą wszystkie trzy punkty A, BC,

  • p1 jest jedyną płaszczyzną, do której należy prosta AB oraz punkt C,

  • p1 jest jedyną płaszczyzną, do której należą proste ABAC.

Uogólniając to spostrzeżenie, stwierdzimy, że płaszczyzna jest wyznaczona jednoznacznie przez:

  • trzy różne punkty niewspółliniowe (zatem stolik na trzech nogach postawiony na podłodze jest stabilny - nie będzie się chwiał),

  • prostą i punkt, który do niej nie należy,

  • dwie proste przecinające się.

Dwie płaszczyzny

Twierdzenie: o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Jeżeli dwie różne płaszczyzny p1p2 mają wspólne dwa różne punkty AB, to prosta AB leży zarówno w płaszczyźnie p1, jak i w płaszczyźnie p2. Mówimy wtedy, że prosta AB jest krawędzią przecięcia tych płaszczyzn.
W przestrzeni istnieją również pary płaszczyzn, które nie mają punktów wspólnych.

Definicja: Różne płaszczyzny równoległe

Dwie różne płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych, nazywamy płaszczyznami równoległymi.

Możliwe są zatem trzy przypadki, opisujące wzajemne położenie dwóch płaszczyzn:

  • dwie płaszczyzny pokrywają się (każdy punkt jednej płaszczyzny należy również do drugiej płaszczyzny),

  • dwie płaszczyzny przecinają się (ich częścią wspólną jest wtedy prosta),

  • dwie płaszczyzny nie mają punktów wspólnych (są równoległe).

Uwaga. Rozpatrzmy dwie płaszczyzny równoległe p1 i p2 oraz płaszczyznę p3, która nie jest do nich równoległa. Wówczas płaszczyzna p3 przecina każdą z płaszczyzn p1 oraz p2 wzdłuż prostej - odpowiednio k lub l.

Te proste leżą w jednej płaszczyźnie p3, ale nie mają punktów wspólnych, ponieważ leżą w płaszczyznach równoległych p1 oraz p2. Oznacza to, że proste ksą także równoległe.
 
Z drugiej strony: jeżeli w każdej z dwóch płaszczyzn równoległych p1 oraz p2 wybierzemy proste równoległe odpowiednio kl, to przez te proste przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Zatem płaszczyzna jest wyznaczona jednoznacznie również przez dwie proste równoległe.

Prosta i płaszczyzna

Definicja: prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie ma z tą płaszczyzną punktów wspólnych, jest równoległa do tej płaszczyzny.

Uwaga. Przyjmujemy, że każda prosta leżąca w płaszczyźnie jest także równoległa do tej płaszczyzny (jak np. prosta AB z poprzedniego przykładu, która leży w płaszczyźnie p1).

Definicja: prosta przebijająca płaszczyznę

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie jest do tej płaszczyzny równoległa, ma dokładnie jeden punkt wspólny z tą płaszczyzną. Mówimy, że prosta przebija płaszczyznę w tym punkcie.

Możliwe są zatem trzy przypadki, opisujące wzajemne położenie prostej i płaszczyzny:

  • prosta leży na płaszczyźnie (każdy punkt prostej jest również punktem płaszczyzny),

  • prosta przebija płaszczyznę (prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną),

  • prosta jest równoległa do płaszczyzny (prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych).

Przykład 2

Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup trójkątny ABCDEF o podstawach ABCDEF.

  1. Rozpatrzmy płaszczyznę p1, w której leży podstawa ABC. Prosta AB leży w tej płaszczyźnie, prosta DE jest do niej równoległa, a prosta DC przebija płaszczyznę p1 w punkcie C.

  2. Rozpatrzmy płaszczyznę p2, w której leży ściana boczna BCFE. Prosta FC leży w tej płaszczyźnie, prosta DA jest do niej równoległa, a prosta DB przebija płaszczyznę p2 w punkcie B.

  3. Rozpatrzmy płaszczyznę p3, w której leżą punkty A, B oraz F. Trójkąt ABF jest płaskim przekrojem graniastosłupa ABCDEF płaszczyzną p3. Prosta AB leży w tej płaszczyźnie, prosta CF przebija ją w punkcie F, a prosta DE jest do płaszczyzny p3 równoległa.

Dwie proste w przestrzeni

Przypomnijmy, że dwie proste przecinające się oraz dwie różne proste równoległe leżą w jednej płaszczyźnie.
Istnieją w przestrzeni pary prostych, które nie mają punktów wspólnych i nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przykład 3

Wybierzmy w przestrzeni punkty AB oraz taki trzeci punkt C, który nie leży na prostej AB.
Płaszczyznę, którą wyznaczyły punkty A, B, C, oznaczmy przez p.
Rozpatrzmy teraz prostą k, która przebija płaszczyznę p w punkcie C i wybierzmy na prostej k punkt D różny od C.

Pokażemy, że proste ABCD nie mają punktów wspólnych.
Gdyby proste ABCD miały punkt wspólny, to te dwie proste wyznaczałyby płaszczyznę. Ponieważ punkty A, B oraz C leżą w płaszczyźnie p, więc to właśnie p byłaby płaszczyzną wyznaczoną przez proste ABCD. Jednakże punkt D nie leży w płaszczyźnie p, co oznacza, że proste ABCD nie mają punktów wspólnych i nie leżą w jednej płaszczyźnie. Proste ABCD są tak zwanymi prostymi skośnymi.

Definicja: proste skośne w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy prostymi skośnymi.

Przykład 4

Na rysunku przedstawiony jest prostopadłościan ABCDEFGH.

Wykażemy, że:

  1. proste ABDH są skośne
    Rozpatrzmy płaszczyznę ściany ADHE. W tej płaszczyźnie leżą punkty A, DH, natomiast punkt B w niej nie leży.
    Zatem proste ABDH są skośne.

  2. proste AEBH są skośne
    Rozpatrzmy płaszczyznę ściany ABFE. W tej płaszczyźnie leżą punkty A, BE, natomiast punkt H w niej nie leży. Zatem proste AEBH są skośne.

  3. proste BHDG są skośne
    Rozpatrzmy płaszczyznę ściany DCGH, w której leżą punkty D, GH. Punkt B nie leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty D, GH. Zatem proste BHDG są skośne.

Możliwe są zatem cztery następujące przypadki opisujące wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni:

  • proste pokrywają się (każdy punkt jednej prostej należy również do drugiej),

  • proste leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się w jednym punkcie,

  • proste leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są równoległe),

  • proste nie leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych (są skośne).

Prosta prostopadła do płaszczyzny. Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Omówimy teraz pojęcie prostej prostopadłej do płaszczyzny.

W wielu sytuacjach praktycznych użytkujemy sprzęty, w których działaniu widać zastosowanie modelu pojęcia prostej prostopadłej do płaszczyzny. Każde skrzydła drzwi, okna (o ile nie są uchylne), bramy czy furtki muszą być zamocowane na zawiasach do pionowego, nieruchomego słupka ościeżnicy (nazywanej też futryną). Fachowiec, który montuje taką ościeżnicę, musi sprawdzić, czy słupek jest umocowany w pionie. Za pomocą odpowiednich narzędzi (np. poziomicy) weryfikuje ustawienie słupka, korzystając z następującej zasady: słupek jest ustawiony pionowo, gdy zostało ustalone, że jest on prostopadły do poziomu w dwóch różnych kierunkach.
Kiedy słupek ościeżnicy jest zamocowany pionowo, to niezależnie od tego, jak odchylimy zamocowane do niego skrzydła drzwi, zawsze będziemy mieli pewność, że są one ustawione właściwie (czyli prostopadle do poziomu).

Formalnie pojęcie prostej prostopadłej do płaszczyzny wprowadzamy za pomocą następującej definicji.

Definicja: prostej prostopadłej do płaszczyzny

Prostą k, przebijającą płaszczyznę p w punkcie O nazywamy prostopadłą do tej płaszczyzny, gdy prosta k jest prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie p i przechodzącej przez punkt O.

Twierdzenie: o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz dwie zawarte w tej płaszczyźnie proste lm, które przecinają się w punkcie O. Jeżeli prosta k przebija płaszczyznę p w punkcie O tak, że jest prostopadła zarówno do prostej m, jak i do prostej l, to jest ona prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie p i przechodzącej przez punkt O.

Przykład 5

Wybierzmy na prostej k punkt K różny od O. Przez K’ oznaczmy punkt symetryczny do K względem O.
Rozpatrzmy w płaszczyźnie p dwie proste:

  • dowolną prostą n, która przechodzi przez punkt O i jest różna od każdej z prostych kl,

  • dowolną prostą s, która leży w płaszczyźnie p i nie przechodzi przez punkt O.

Przez L, M oraz N oznaczmy punkty, w których prosta s przecina proste odpowiednio l, mn.

Wtedy:

  • w trójkącie KK’M prosta OM jest prostopadła do KK’ i przechodzi przez środek O tego boku, zatem jest symetralną boku KK’. Oznacza to, że MK=MK'.

  • w trójkącie KK’L prosta OL jest prostopadła do KK’ i przechodzi przez środek O tego boku, zatem jest symetralną boku KK’. Oznacza to, że LK=LK'.

Ponieważ MK=MK' oraz LK=LK', więc na mocy cechy bok‑bok‑bok stwierdzamy, że trójkąty MKLMK’L są przystające. Stąd wynikają równości kątów: KML=K'ML oraz KLM=K'LM.
Ponieważ MK=MK' oraz KMN=K'MN, więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok stwierdzamy, że trójkąty MKNMK’N są przystające. Stąd NK=NK', co oznacza, że trójkąt KNK’ jest równoramienny. W tym trójkącie środkowa ON poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest prostopadła do podstawy KK’. Oznacza to, że prosta n jest prostopadła do prostej k. To spostrzeżenie kończy dowód.

Uwaga. Ponieważ prosta KK’ jest prostopadła do płaszczyzny p, więc każda z płaszczyzn przechodzących przez prostą KK’:

  • płaszczyzna wyznaczona przez punkty K, K’ oraz M,

  • płaszczyzna wyznaczona przez punkty K, K’ oraz N,

  • płaszczyzna wyznaczona przez punkty K, K’ oraz L

jest prostopadła do płaszczyzny p.
Zatem dwie płaszczyzny nazywamy prostopadłymi, jeśli jedna przechodzi przez prostą prostopadłą do drugiej.

Prowadząc prostopadłą na płaszczyznę p z punktu A leżącego poza tą płaszczyzną, przebijamy płaszczyznę p w punkcie B. Długość odcinka AB wyznacza odległość punktu A od płaszczyzny p. Jeżeli wybierzemy na płaszczyźnie p dowolny punkt P różny od B, to jego odległość od A jest większa od długości odcinka AB, co natychmiast wynika z zastosowania twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABP.

Punkt B nazywamy też rzutem prostokątnym punktu A na płaszczyznę p.
Równie oczywiste jest spostrzeżenie, że wszystkie punkty prostej równoległej do danej płaszczyzny są równoodległe od tej płaszczyzny.

Jeżeli natomiast dla pewnych dwóch punktów prostej odległości od płaszczyzny są różne, to ta prosta przebija płaszczyznę.

Zauważmy, że rzutem prostokątnym dowolnej prostej k na płaszczyznę p jest prosta l, którą niekiedy nazywa się śladem prostej k na płaszczyźnie p.

Przykład 6

Przy montażu terenowego masztu antenowego stosuje się tzw. odciągi. Są to zazwyczaj linki stalowe o odpowiedniej wytrzymałości. Jeden koniec odciągu jest połączony z konstrukcją masztu, a drugi – z podłożem. Do mocowania odciągu w praktyce stosuje się regulowane połączenia przegubowe zarówno od strony podłoża, jak i masztu. Odciągi rozmieszcza się równomiernie wokół osi masztu, w grupach po trzy lub cztery.
Żeby odciągi te jednakowo przenosiły obciążenia poziome, należy zadbać również o to, aby były nachylone do płaszczyzny podłoża pod takim samym kątem.

Pokażemy, że wszystkie te warunki są zrealizowane, gdy miejsca połączeń odciągów z fundamentem znajdują się w wierzchołkach wielokąta foremnego, wpisanego w okrąg o środku znajdującym się w punkcie mocowania masztu do podłoża.
Rozpatrzmy model masztu z trzema odciągami (jak na rysunku).

Spójrzmy na płaszczyznę p, w której leżą punkty A, B, CO. Punkty A, B, C znajdują się w wierzchołkach trójkąta równobocznego, wpisanego w okręg o środku O.

Każdy z odcinków: OA, OB, OC jest rzutem prostokątnym odcinka odpowiednio: AW, BW oraz CW na płaszczyznę p.

Ponieważ AO=BO=CO, więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok trójkąty prostokątne: AOW, BOW, COW są przystające. Oznacza to, że odcinki AW, BW oraz CW są równe, a także równe są kąty: OAW, OBW, OCW.

Każdy z kątów: OAW, OBW, OCW uznajemy za kąt nachylenia prostej odpowiednio: AW, BW oraz CW do płaszczyzny p.

Przyjmujemy bowiem następującą umowę.

Definicja: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz prostą k, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny p. Kątem nachylenia prostej k do płaszczyzny p nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym l na płaszczyznę p.

Przykład 7

Rozpatrzmy model masztu OW z czterema odciągami AW, BW, CW oraz DW. Przy opisanych wcześniej założeniach: czworokąt ABCD jest kwadratem, którego przekątne przecinają się w punkcie O.

Ponieważ AO=BO=CO=DO, więc na mocy cechy bok‑kąt‑bok trójkąty prostokątne: AOW, BOW, COW oraz DOW są przystające. Oznacza to, że równe są kąty nachylenia odcinków AW, BW, CW oraz DW do płaszczyzny, w której leży kwadrat ABCD.

Przykład 8

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ABCDEF podstawami są trójkąty ABCDEF. Zaznaczymy kąt, pod jakim przekątna DB ściany bocznej ABCD jest nachylona do ściany bocznej BCFE.

Wyznaczymy rzut prostokątny prostej BD na ścianę BCFE. Postawmy w tym celu graniastosłup na tej ścianie.
Zauważmy, że prosta BD przebija ścianę BCFE w punkcie B. Dany graniastosłup jest prosty, zatem płaszczyzny ścian DEFBCFE są prostopadłe. Ponadto trójkąt DEF jest równoboczny, więc rzutem prostokątnym punktu D na ścianę BCFE jest punkt G – środek krawędzi EF. Zatem kątem α, pod jakim prosta DB jest nachylona do ściany BCFE, jest kąt DBG.

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych

Reguła: o trzech prostych prostopadłych

Rozpatrzmy płaszczyznę p oraz prostą k, która przebija tę płaszczyznę w punkcie P. Oznaczmy przez  l prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę p.
Wówczas dowolna prosta m leżąca w płaszczyźnie p jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.

Dowód

Rozpatrzmy na prostej k punkt K różny od P. Jego rzutem prostokątnym jest punkt L, który leży na prostej l.

Wtedy prosta KL jest prostopadła do płaszczyzny p, a więc każda płaszczyzna, która zawiera prostą KL, jest prostopadła do p. Jedną z takich płaszczyzn jest ta, którą wyznaczają proste kl. Nazwijmy tę płaszczyznę p’.
Rozpatrzmy prostą n leżącą w płaszczyźnie p’, przechodzącą przez punkt P i równoległą do KL.

Ponieważ prosta n jest prostopadła do płaszczyzny p, więc jest również prostopadła do prostej m.
Zatem:

  • jeżeli m jest także prostopadła do k, to jest prostopadła do płaszczyzny p’ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: n oraz k), zatem i do prostej l,

  • jeżeli m jest także prostopadła do l, to jest prostopadła do płaszczyzny p’ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: n oraz l), zatem i do prostej k.

Oznacza to, że prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.
To spostrzeżenie kończy dowód.

Przykład 9

Podstawą ostrosłupa ABCDW jest prostokąt ABCD. Krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa. Wykażemy, że wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi.
Ponieważ krawędź boczna DW jest wysokością tego ostrosłupa, więc prosta DW jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABCD danego ostrosłupa. W szczególności DW jest prostopadła do prostych DA oraz DC, zatem trójkąty ADWCDW są prostokątne.

Zauważmy ponadto, że:

  • prosta AW przebija płaszczyznę podstawy ostrosłupa w punkcie A, a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę jest prosta DA,

  • prosta CW przebija płaszczyznę podstawy ostrosłupa w punkcie C, a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę jest prosta DC.

Ponieważ ABCD jest prostokątem, więc prosta DA jest prostopadła do prostej AB, a prosta DC jest prostopadła do prostej CB. Korzystając zatem z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych, stwierdzamy, że:

  • prosta AW jest prostopadła do prostej AB, co oznacza, że trójkąt ABW jest prostokątny,

  • prosta CW jest prostopadła do prostej CB, co oznacza, że trójkąt BCW jest prostokątny.

    W ten sposób wykazaliśmy, że wszystkie ściany boczne ostrosłupa ABCDW są trójkątami prostokątnymi.

Kąt między dwiema płaszczyznami

Podamy teraz sposób, według którego mierzymy kąt nachylenia płaszczyzny q do płaszczyzny p, gdy te płaszczyzny nie są ani równoległe, ani prostopadłe.

W tym celu z dowolnego punktu P wybranego na krawędzi k tych płaszczyzn (czyli na prostej, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny pq) prowadzimy w każdej z tych płaszczyzn prostą prostopadłą do krawędzi k – oznaczmy te proste przez lm. Mniejszy z kątów utworzonych przez proste lm nazywamy kątem nachylenia płaszczyzny p do płaszczyzny q.

Praktycznie dla zmierzenia takiego kąta nachylenia wystarczy zatem zaznaczyć dwie prostopadłe do krawędzi półproste w stosownych do sytuacji półpłaszczyznach i zmierzyć kąt między nimi.

W tej sytuacji warto przypomnieć pomysł z wcześniejszego przykładu – po otwarciu drzwi zamocowanych do pionowego słupka ościeżnicy możemy, stosując powyższy przepis, bez kłopotu zmierzyć kąt, o jaki skrzydła tych drzwi odchyliły się od płaszczyzny, w której zamocowana jest ościeżnica.

Przykład 10

Wróćmy do modelu, rozpatrywanego w przykładzie 7. Wykażemy, że każda z czterech płaszczyzn ścian bocznych ostrosłupa ABCDW jest nachylona pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy ABCD.

  • sposób I

Rozpatrzmy dwie płaszczyzny: płaszczyznę p, w której leży kwadrat ABCD, oraz płaszczyznę q1, w której leżą punkty B, CW. Oznaczmy przez E środek odcinka BC.
Narysujmy trójkąt BCW na płaszczyźnie, na której leży kwadrat ABCD.

Zauważmy, że

  • ponieważ punkty BC są równo oddalone od punktu O, więc O leży na symetralnej odcinka BC,

  • ponieważ punkty BC są równo oddalone od punktu W, więc W leży na symetralnej odcinka BC.

Zatem w punkcie E, symetralna OW przecina pod kątem prostym odcinek BC.
Oznacza to, że mierząc kąt OEW (oznaczony na rysunku jako α), dowiemy się, pod jakim kątem płaszczyzna q1 jest nachylona do płaszczyzny p.

Rozpatrzmy z kolei płaszczyzny:

  • q2 – w której leżą punkty C, DW,

  • q3 – w której leżą punkty D, AW,

  • q4 – w której leżą punkty A, BW.

Oznaczmy też środki odcinków CD, DA oraz AB przez odpowiednio F, G oraz H.
Narysujmy teraz każdy z trójkątów: ABW, BCW, CDWDAW na płaszczyźnie, na której leży kwadrat ABCD.

Rozumując podobnie jak w przypadku płaszczyzn pq1, stwierdzamy, że:

  • kąt nachylenia płaszczyzny q2 do płaszczyzny p ma miarę taką, jak kąt OFW,

  • kąt nachylenia płaszczyzny q3 do płaszczyzny p ma miarę taką, jak kąt OGW,

  • kąt nachylenia płaszczyzny q4 do płaszczyzny p ma miarę taką, jak kąt OHW.

Ponieważ trójkąty OEW, OFW, OGW oraz OHW mają równe przyprostokątne (są to wysokości przystających trójkątów równoramiennych ABW, BCW, CDW oraz DAW), a także równe są odcinki OE, OF, OG oraz OH, to te trójkąty są przystające. Zatem kąty OEW, OFW, OGWOHW są równe. Stąd równe są kąty nachylenia płaszczyzn q1q2q3 oraz q4 do płaszczyzny p.

  • sposób II

Tym razem pokażemy, że przy ustalaniu miar omawianych kątów dwuściennych można skorzystać z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych.
Zauważmy, że prosta OW jest prostopadła do płaszczyzny p, w której leży kwadrat ABCD. Prosta WE przebija płaszczyznę p w punkcie E. Rzutem prostokątnym prostej WE na płaszczyznę p jest prosta OE. Ponieważ prosta WE jest prostopadła do prostej BC (bo WE jest wysokością w trójkącie równoramiennym BCW), więc na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych jest również prostopadła do prostej OE. Zatem kąt OEW opisuje kąt nachylenia płaszczyzny q1 do płaszczyzny p.

Korzystając z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych, opisujemy kąty nachylenia płaszczyzn q2, q3, q4 do płaszczyzny p jako kąty OFW, OGWOHW. W trójkątach OEW, OFW, OGWOHW przyprostokątna OW jest wspólna, a przeciwprostokątne EW, FW, GWHW są równe, więc te trójkąty są przystające. Stąd równe są kąty nachylenia płaszczyzn q1q2q3 oraz q4 do płaszczyzny p.
Uwaga.
Podobne rozumowanie pozwala stwierdzić, że w dowolnym ostrosłupie prawidłowym równe są kąty, pod jakimi każda ze ścian bocznych jest nachylona do płaszczyzny podstawy. W każdym takim ostrosłupie spodek O wysokości poprowadzonej z wierzchołka W ostrosłupa na podstawę jest bowiem środkiem okręgu opisanego na tej podstawie. Równe są także wysokości ścian bocznych takiego ostrosłupa. Zatem z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych otrzymujemy przystawanie trójkątów, w których jeden z kątow ostrych ma miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. Stąd te kąty nachylenia są równe.

Przykład 11

Podstawą ostrosłupa ABCDW jest kwadrat ABCD. Punkt E jest środkiem krawędzi AD, odcinek EW jest wysokością ostrosłupa.

Zaznaczymy kąty nachylenia ścian bocznych: ABW, BCW, CDW oraz DAW tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy ABCD.

Ponieważ prosta WE jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABCD, więc ściana DAW jest również prostopadła do tej płaszczyzny.
Prosta EA jest rzutem prostokątnym prostej WA na płaszczyznę podstawy ABCD. Ponieważ podstawą jest kwadrat ABCD, więc prosta EA jest prostopadła do prostej AB. Zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych także prosta WA jest prostopadła do prostej AB. Oznacza to, że kąt WAE jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany WAB do płaszczyzny podstawy ABCD.

Prosta ED jest rzutem prostokątnym prostej WD na płaszczyznę podstawy ABCD. Proste EDDC są prostopadłe, zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również prosta WD jest prostopadła do prostej DC. Oznacza to, że kąt WDE jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany WDC do płaszczyzny podstawy ABCD.

Zauważmy, że w przypadku tego ostrosłupa kąty nachylenia dwóch ścian: ABW oraz CDW do płaszczyzny podstawy ABCD zmierzyliśmy za pomocą kątów płaskich odpowiednio: WADWDA w ścianie DAW.

Oznaczmy środek krawędzi BC przez F. Wtedy prosta EF jest rzutem prostokątnym prostej WF na płaszczyznę podstawy ABCD. Proste EFBC są prostopadłe, zatem na podstawie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych również prosta WF jest prostopadła do prostej BC. Oznacza to, że kąt WFE jest kątem nachylenia płaszczyzny ściany WBC do płaszczyzny podstawy ABCD.

Odkładając każdy z trójkątów: ABW, BCW, CDW oraz DAW na płaszczyznę kwadratu ABCD, otrzymamy następującą siatkę ostrosłupa ABCDW.

Przykład 12

Rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW.

Płaszczyzny ścian ABW oraz CDW mają punkt wspólny W, zatem przecinają się wzdłuż pewnej prostej przechodzącej przez W. Zaznaczymy krawędź k przecięcia tych płaszczyzn.
Zauważmy, że proste ABCD są równoległe. Zatem prosta k przechodząca przez W i równoległa do jednej z nich jest równoległa także do drugiej.
Oznacza to, że prosta k

  • jest równoległa do prostej AB i przechodzi przez punkt W, zatem leży w płaszczyźnie ściany ABW,

  • jest równoległa do prostej CD i przechodzi przez punkt W, zatem leży w płaszczyźnie ściany CDW.

Płaszczyzny tych ścian nie są, oczywiście, równoległe, zatem prosta k jest szukaną krawędzią przecięcia płaszczyzn ścian ABWCDW.

Przykład 13

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDW jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa AB jest krótsza od podstawy CD.

Płaszczyzny ścian ADW oraz BCW mają punkt wspólny W, zatem przecinają się wzdłuż pewnej prostej przechodzącej przez W. Zaznaczymy krawędź przecięcia tych płaszczyzn.

Zauważmy, że proste ADBC nie są równoległe. Zatem punkt E, w którym te proste się przecinają, leży jednocześnie w płaszczyźnie ściany ADW (bo każdy punkt prostej AD leży w tej płaszczyźnie) oraz w płaszczyźnie ściany BCW (bo każdy punkt prostej BC leży w tej płaszczyźnie).

Mamy zatem dwa punkty EW, które należą jednocześnie do płaszczyzny każdej ze ścian: ADW oraz BCW. Punkty te leżą więc na krawędzi, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny tych ścian. Oznacza to, że prosta WE jest szukaną krawędzią.

Przykład 14

Na krawędziach CG oraz HE sześcianu ABCDEFGH wybrano punkty odpowiednio KL.

Zaznaczymy płaski przekrój tego sześcianu płaszczyzną p, do której należą punkty B, K oraz L.

Do płaszczyzny tego przekroju należy prosta BK. Oznaczmy przez M punkt przecięcia tej prostej z krawędzią FG, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ścian BCGF oraz EHGF. Zatem punkt M należy do płaszczyzny p, a także leży w płaszczyźnie ściany EHGF. W tej płaszczyźnie leży też punkt L, który należy do płaszczyzny przekroju. Oznacza to, że prosta ML należy do płaszczyzny p. Oznaczmy przez P punkt, w którym prosta ML przecina krawędź EF między płaszczyznami GHEF oraz BAEF. Punkt P należy do płaszczyzny przekroju, a także leży w płaszczyźnie ściany ABFE. W tej płaszczyźnie leży również punkt B, który należy do płaszczyzny p. Zatem prosta PB należy do płaszczyzny przekroju.
Oznaczmy przez N punkt, w którym prosta PM przecina krawędź GH, a przez Q – punkt, w którym prosta PB przecina krawędź AE.

Wobec tego płaskim przekrojem sześcianu płaszczyzną p, do której należą punkty B, K oraz L jest pięciokąt BKNLQ.

Zauważmy, że proste BKQL leżą w płaszczyznach równoległych ścian odpowiednio BCGFADHE danego sześcianu. Zatem te proste nie mają punktów wspólnych, a więc są skośne lub równoległe. Jednocześnie obie te proste leżą w płaszczyźnie p, co oznacza że, są to proste równoległe.

Rozumując podobnie, można uzasadnić twierdzenie o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną.

Twierdzenie: o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Jeżeli płaszczyzna przecina każdą z dwóch płaszczyzn równoległych, to otrzymane krawędzie przecięcia są prostymi równoległymi.

Przykład 15

Na podstawie tego twierdzenia stwierdzamy, że również proste BQNK są równoległe – otrzymujemy je w wyniku przecięcia płaszczyzną p dwóch równoległych płaszczyzn: płaszczyzny ściany ABFE oraz płaszczyzny ściany CDHG.
Zatem pięciokąt BKNLQ ma dwie pary boków równoległych: BQ||NK oraz BK||QL.

Przykład 16

Rozpatrzmy sześcian ABCDEFGH, którego krawędź ma długość a. Wykorzystując spostrzeżenia poczynione w poprzednim przykładzie, można wykazać, że płaski przekrój sześcianu płaszczyzną p, do której należą środki K, L, M krawędzi, odpowiednio EH, HG oraz GC (zobacz rysunek), jest sześciokątem foremnym.

Do tego przekroju należy bowiem prosta równoległa do prostej KL i przechodząca przez punkt M. Ta prosta przecina krawędź AE w jej środku N.

Ponieważ ściany ADHEBCGF są równoległe, więc płaszczyzna p przecina ścianę BCGF wzdłuż prostej równoległej do KN i przechodzącej przez punkt M. Ta prosta przecina krawędź BC w jej środku P.

Rozumując podobnie, pokazujemy, że do płaszczyzny przekroju należy prosta równoległa do prostej KL i przechodząca przez punkt P. Ta prosta przecina krawędź AB w jej środku Q.

Zatem przekrojem danego sześcianu jest sześciokąt KLMPQN.

Jego wierzchołki są środkami sześciu krawędzi sześcianu, więc każdy z boków tego sześciokąta ma długość a22. Zauważmy też, że każda z przekątnych PK, QLNM sześciokąta KLMPQN jest odcinkiem łączącym środki przeciwległych (nieskośnych) krawędzi sześcianu, zatem jest równa przekątnej ściany sześcianu. Stąd każda z tych przekątnych ma długość a2. Oznaczmy przez S punkt, w którym przecinają się przekątne PKQL. Ponieważ czworokąt KLPQ jest równoległobokiem (KL||PQ oraz KL=PQ=a22), więc S jest środkiem każdego z odcinków PK, QL. Rozumując podobnie, pokazujemy, że czworokąt LMQN również jest równoległobokiem, co oznacza, że S jest także środkiem odcinka NM. Wobec tego przekątne PK, QLNM dzielą sześciokąt KLMPQN na sześć trójkątów równobocznych o boku a22. To spostrzeżenie kończy dowód - sześciokąt KLMPQN jest foremny.

Podamy jeszcze jeden sposób uzasadnienia, że sześciokąt KLMPQN jest foremny.
Rozpatrzmy proste KL, MP oraz NQ. Ponieważ leżą one w jednej płaszczyźnie, więc:

  • proste KLMP przecinają się w punkcie X, leżącym na krawędzi FG między płaszczyznami ścian BCGF oraz EHGF,

  • proste MPQN przecinają się w punkcie Y, leżącym na krawędzi FB między płaszczyznami ścian CGFB oraz AEFB,

  • proste QNKL przecinają się w punkcie Z, leżącym na krawędzi FE między płaszczyznami ścian GHEF oraz BAEF.

    W płaszczyźnie ściany EFGH, na prostej KL leżą punkty X oraz Z.

    Ponieważ KL są środkami krawędzi odpowiednio HGHE, więc trójkąt HKL jest trójkątem prostokątnym i równoramiennym. Zatem w trójkątach prostokątnych KGXLEZ kąty ELZ oraz XKG są równe 45°, co oznacza, że są to trójkąty równoramienne. Wobec tego każdy z nich jest przystający do trójkąta HKL. Stąd wynika, że XK=KL=LZ=22a, a więc XZ=3KL=322a.
    Rozumując podobnie pokazujemy, że:

  • XM=MP=PY=22a, stąd XY=322a,

  • YQ=QN=NZ=22a, stąd YZ=322a.

Trójkąt XYZ jest więc równoboczny i ma bok długości 322a. Każdy z trójkątów XML, YPQ oraz ZKN jest też równoboczny i ma bok długości 22a. To oznacza, że w sześciokącie KLMPQN każdy z boków jest równy 22a i każdy z kątów wewnętrznych ma miarę 120° Zatem sześciokąt KLMPQN jest foremny.
 
Zauważmy przy okazji, że jeżeli płaski przekrój sześcianu jest czworokątem, to płaszczyzna tego przekroju przecina pewne cztery ściany sześcianu. Ponieważ w sześcianie są trzy pary ścian równoległych, więc wśród tych czterech ścian sześcianu pewne dwie są równoległe. Zatem przekrój ten jest trapezem. W szczególności może być rombem, a także może być prostokątem.