Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się uważnie z animacją, a następnie wykonaj polecenie.

RGPufExecFVVn

Film nawiązujący do treści materiału na temat rozwiązywania nierówności z funkcją tangens.

Polecenie 2

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby $x \neq \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ zachodzi nierówność ${tg}^{2} x + \frac{1}{{tg}^{2} x} \geq 2$ .

Ponieważ dla dowolnej liczby z dziedziny ${tg}^{2} x > 0$ , zatem możemy nierówność

${tg}^{2} x + \frac{1}{{tg}^{2} x} \geq 2$

pomnożyć stronami przez ${tg}^{2} x$ . Otrzymujemy wówczas

${tg}^{4} x + 1 \geq 2 {tg}^{2} x$ .

Przenosząc wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności otrzymujemy

${tg}^{4} x - 2 {tg}^{2} x + 1 \geq 0$ .

Zauważamy, że lewą stronę możemy zamienić na kwadrat różnicy wyrażeń

${({tg}^{2} x - 1)}^{2} \geq 0$ ,

co jest prawdą dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq \frac{k π}{2}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, udowodniliśmy tezę zadania.

Przeczytaj