Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązania zadań dotyczących własności współczynników dwumianowych.
RmffDqX2PQgFa
Polecenie 2
Korzystając z przykładów omówionych w powyższej animacji, rozwiąż samodzielnie następujące zadania.
a) Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej prawdziwa jest równość .
b) Korzystając z otrzymanej równości udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej prawdziwa jest równość .
a) Na podstawie reguły sumowania współczynników dwumianowych po górnym indeksie otrzymujemy równość: , a to jest właśnie równość, którą mieliśmy udowodnić: .
b) Przekształcamy równość otrzymaną w poprzednim podpunkcie.
Wykorzystamy teraz dwie tożsamości, które zostały omówione w prezentacji: (1) , (2) .
Stąd otrzymujemy
, a to właśnie mieliśmy udowodnić.
Uwaga. Wyrażenie otrzymane po prawej stronie można następująco przekształcić