Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją, w której prezentowane są metody obliczania wartości funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem wzorów redukcyjnych dla kątów: $\frac{π}{2} + α, \frac{3 π}{2} - α$ i $\frac{3 π}{2} + α$ . Wykorzystaj te metody w zadaniach, swoje rozwiązania porównaj z odpowiedziami.

RdwgJCV5BUNSy

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DpLL4Rwo0

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący obliczania wartości funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem wzorów redukcyjnych.

Polecenie 2

Wykorzystując wzory redukcyjne dla kątów $\frac{π}{2} + α$ , $\frac{3 π}{2} - α$ i $\frac{3 π}{2} + α$ , oblicz wartość wyrażenia: ${(\sin \frac{3 π}{4} + \cos \frac{7 π}{4})}^{2} - 2 \sin \frac{7 π}{6} \cdot \cos \frac{4 π}{3}$ .

Obliczamy.

$\sin \frac{3 π}{4} = \sin \frac{2 π + π}{4} = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos \frac{7 π}{4} = \cos \frac{6 π + π}{4} = \cos (\frac{6 π}{4} + \frac{π}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin \frac{7 π}{6} = \sin \frac{9 π - 2 π}{6} = \sin (\frac{9 π}{6} - \frac{2 π}{6}) = \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ $\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{8 π}{6} = \cos \frac{9 π - π}{6} = \cos (\frac{9 π}{6} - \frac{π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$

Podstawiając wyliczone wartości, otrzymujemy:

${(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $\frac{3}{2}$ .

Polecenie 3

Wiedząc, że $\sin α = 0, 4$ i $α$ jest kątem ostrym, oblicz wartość wyrażenia: $(\sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α) + \frac{1}{tg (\frac{3 π}{2} - α)}) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} + α)$ .

Zanim przejdziemy do wyliczenia wartości wyrażenia, przekształcimy je do prostszej postaci, wykorzystując wzory redukcyjne i związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

$(\sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α) + \frac{1}{tg (\frac{3 π}{2} - α)}) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} + α) =$

$= (\cos α - \sin α + tg α) \cdot (- \cos α) =$

$= (\cos α - \sin α + \frac{\sin α}{\cos α}) \cdot (- \cos α) =$ >

$= - \cos^{2} α + \sin α \cdot \cos α - \sin α$ .

Cosinus kąta $α$ wyznaczymy, wykorzystując trójkąt prostokątny o przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ długości $2$ i przeciwprostokątnej długości $5$ , gdyż:

$\sin α = 0, 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

RaipWrXAfVp1A

Długość drugiej przyprostokątnej wyliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

$b^{2} = c^{2} - a^{2}$ , $b^{2} = 5^{2} - 2^{2} = 25 - 4 = 21$ .

Istnieją dwie liczby, których kwadrat jest równy $21$ . To $\sqrt{21}$ i $- \sqrt{21}$ .

Długości boków są zawsze dodatnie, stąd $b = \sqrt{21}$ i $\cos α = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ .

Obliczmy teraz wartość wyrażenia:

$- \cos^{2} α + \sin α \cdot \cos α - \sin α =$

$= - {(\frac{\sqrt{21}}{5})}^{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} - \frac{2}{5} =$

$= - \frac{21}{25} + \frac{2 \sqrt{21}}{25} - \frac{10}{25} = - \frac{31}{25} + \frac{2 \sqrt{21}}{25}$ .

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $- \frac{31}{25} + \frac{2 \sqrt{21}}{25}$ .

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny A B C. Przy wierzchołku B zaznaczono kąt prosty, przy wierzchołku A zaznaczono kąt alfa. Podstawa A B opisana jest małą literą b, pionowy bok B C ma długość 2, natomiast przekątna A C ma długość pięć.

Przeczytaj

Sprawdź się