Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższymi apletami Geogebry. Zauważ jak zmienia się kształt przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Przesuwaj w tym celu punktem $A$ .

Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli krawędź podstawy wynosi $a$ , natomiast wysokość bryły wynosi $H$ .

RJY18N36nQrkm

RoxoVZC5N9yBs

R8CBc2ECNLbqe

Polecenie 2

Ustaw punkt $A$ w pierwszym aplecie dokładnie w miejscu przecięcia przekątnych podstawy. Oblicz pole powstałego przekroju, zakładając, że krawędź podstawy ma długość $a$ , a wysokość ostrosłupa $H$ ,

Oblicz pole trójkątnego przekroju ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, które oparte jest na przekątnej podstawy. Przekrój jest pionowy. Krawędź jego podstawy wynosi $a$ , natomiast wysokość wynosi $H$ .

Przekrojem jest trójkąt równoramienny o podstawie długości $a \sqrt{2}$ i wysokości $H$ .

RUjl1WgQevL51

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem pionowym. Przekrój jest trójkątem rozpiętym na przekątnej podstawy, a jego wysokość pokrywa się z wysokością bryły, która upuszczona jest na podstawę w punkcie A. Wysokość oznaczona jest jako H, krawędź podstawy oznaczona jest jako a.

$P = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot H = \frac{a H \sqrt{2}}{2}$

Polecenie 3

a) Ustaw punkt $A$ w drugim aplecie w dowolnym miejscu poza przecięciem przekątnych podstawy. Jaką figurą jest powstały przekrój?

b) Jaka figura powstanie przy ustawieniu punktu $A$ dokładnie w miejscu przecięcia się przekątnych podstawy?
Oblicz wysokość ostrosłupa, jeśli pole jego przekroju który powstanie, wynosi $2 S$ .

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem pionowym. Przekrój jest trójkątem rozpiętym na przekątnej kwadratowej podstawy, a jego wysokość pokrywa się z wysokością bryły. Wiemy, że podstawa przekroju ma długość $6$ , a długość krawędzi ma bocznej bryły ma długość $5$ . Oblicz objętość ostrosłupa.

a) Jeśli ustawimy punkt $A$ w dowolnym miejscu poza punktem przecięcia się przekątnych podstawy to przekrojem będzie trapez.

R1UVgfLVjcWTx

b) Jeśli ustawimy punkt $A$ dokładnie w miejscu przecięcia się przekątnych podstawy przekrojem jest trójkąt równoramienny o podstawie długości $a$ i wysokości równej $H$ . Ramiona trójkąta są wysokościami przeciwległych ścian bocznych naszego ostrosłupa.

R14yPG58foWqW

Wykorzystajmy wzór na pole trójkąta:

$2 S = \frac{a \cdot H}{2}$ .

Przekształćmy nasze równanie, tak, aby wyznaczyć wysokość $H$ .

$4 S = a \cdot H$

$H = \frac{4 S}{a}$

Zacznijmy od zapisania wzoru na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

$V = P_{p} \cdot H$ , gdzie $P_{p}$ to pole podstawy były, a $H$ to jej wysokość.

Alternatywnie możemy zapisać ten sam wzór, rozwijając wzór na pole podstawy.

$V = a^{2} \cdot H$ , gdzie $a$ to długość krawędzi podstawy.

Zatem do obliczenia objętości, musimy znaleźć długość krawędzi podstawy oraz wysokości bryły.

Wiemy, że wysokość bryły dzieli przekrój na dwa identyczne trójkąty prostokątne. Aby znaleźć długość wysokości bryły, bierzemy więc jeden z powstałych trójkątów prostokątnych. Skoro przekątna podstawy ostrosłupa ma długość $6$ , to w trójkącie prostokątnym podstawa będąca poziomą przyprostokątną wyniesie $3$ , czyli połowę przekątnej. Przeciwprostokątna ma długość $5$ , co wiemy z treści zadania. Zatem z twierdzenia Pitagorasa obliczmy wysokość bryły, którą oznaczymy w obliczeniach jako $H$ .

$H^{2} + 3^{2} = 5^{2}$

$H^{2} = 5^{2} - 3^{2}$

$H = \sqrt{5^{2} - 3^{2}}$

$H = \sqrt{25 - 9}$

$H = \sqrt{16}$

$H = 4$

Teraz wyznaczymy długość krawędzi podstawy. Przypomnijmy, że kwadrat o boku $a$ ,ma przekątną o długości równej $a \sqrt{2}$ . Możemy więc obliczyć długość krawędzi, używając proporcji. Jeżeli przekątna wynosi $a \sqrt{2}$ dla kwadratu o boku $a$ , to przekątna równa $6$ jest przekątną kwadratu o boku o długości $x$ . Z proporcji na krzyż otrzymujemy równanie.

$x = \frac{6 a}{a \sqrt{2}}$

Po skróceniu $a$ , otrzymujemy długość krawędzi podstawy.

$x = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$

Zatem otrzymujemy ostatecznie objętość bryły, podstawiając wyliczone długości do wzoru ustalonego na początku rozwiązania.

$V = {(3 \sqrt{2})}^{2} \cdot 4 = 9 \cdot 2 \cdot 4 = 72$

Odpowiedź:

$V = 72$

Przeczytaj

Sprawdź się