Aplet

Polecenie 1

Uruchom Aplet.

Naciśnij przycisk: „TWIERDZENIE O STYCZNYCH”. Ustal suwakiem wielkość $r$ promienia okręgu, a następnie ustaw położenie punktu $P$ na zewnątrz okręgu. Gdy dokonasz ustaleń, to naciśnij przycisk „KONSTRUKCJA”. Obserwuj kolejne etapy konstrukcji stycznych i zależności między długościami powstałych odcinków. Naciśnij przycisk: „ZASTOSOWANIE”. Zmieniaj położenie wyróżnionych punktów i obserwuj zależności między długościami odpowiednich odcinków stycznych i długościami boków sześciokąta.

RhNVPRTPpxA58

Aplet ilustruje twierdzenie o stycznych oraz jego zastosowanie, które tu opiszemy.

1. Twierdzenie o stycznych.

Po lewej stronie umieszczono okrąg o śroku w punkcie $O$ i promieniu $r$ . Po prawej stronie umieszczono punkt $P$ . Przez punkt $P$ poprowadzono linią przerywaną dwie styczne do okręgu. Styczne te przecinają się w punkcie $P$ . Górna styczna ma z okręgiem punkt styczności opisany jako $A$ , natomiast dolna styczna w ma punkt styczności z okręgiem w punkcie opisanym jako $B$ . Pogrubioną linią zaznaczono tak powstałe odcinki o równej długości: $A P$ oraz $B P$ . Następnie trzy punkty: $A, P, B$ połączono ze środkiem okręgu, dzięki czemu powstały odcinki: $A O, P O, B O$ . Dzięki wykreśleniu tych trzech nowych odcinków, mamy dwa trójkąty prostokątne: $O P A$ oraz $O P B$ , w których kąt prosty znajduje się przy punktach styczności odcinków z okręgiem, czyli przy wierzchołkach $A$ i $B$ . Jako, że powstałe trójkąty są trójkątami prostokątnymi, możemy zapisać: ${|P A|}^{2} = {|O P|}^{2} - {|O A|}^{2} = {|O P|}^{2} - {|O B|}^{2} = {|P B|}^{2}$ . Trójkąty $O P A$ oraz $O P B$ są więc przystające na mocy cechy bok bok bok.

2. Zastosowanie. Rysunek przedstawia wielokąt opisany na okręgu o środku w punkcie $O$ i promieniu $r$ równym początkowo $2$ . Razem figury przypominają kształtem migdałowate oko. Na jego skrajnych krańcach znajdują się punkty: po lewo jest to punkt $A_{4}$ oraz po prawo znajduje się punkt $A_{1}$ . Na górnej części okręgu znajdują się blisko siebie pukty kolejno od lewej: $P_{3}$ , $A_{3}$ , $P_{2}$ , $A_{2}$ , $P_{1}$ . Punkty te są w bliskiej odległości. Na dolnej części okręgu osadzono również w bliskiej odległości od siebie punkty kolejno od lewej: $P_{4}$ , $A_{5}$ , $P_{5}$ , $A_{6}$ , $P_{6}$ . Pewne boki powstałego wielokąta są równe. Ich relacje i długości są następujące:

$|A_{1} P_{1}| = |A_{1} P_{6}| = 4, 39$

$|A_{2} P_{1}| = |A_{2} P_{2}| = 0, 37$

$|A_{3} P_{2}| = |A_{3} P_{3}| = 0, 35$

$|A_{4} P_{3}| = |A_{4} P_{4}| = 4, 3$

$|A_{5} P_{4}| = |A_{5} P_{5}| = 0, 53$

$|A_{6} P_{5}| = |A_{6} P_{1}| = 0, 5$ .

Jeśli będziemy zwiększać promień okręgu, długości odcinków na brzegu okręgu będą rosnąć, natomiast odcinki o końcach nie leżących na okręgu, czyli $A_{1}$ oraz $A_{4}$ będą się skracać, przy czym sama relacja równości między poszczególnymi odcinkami będzie niezmienna. Dla przykładu, jeśli promień okręgu zwiększymy z liczby $2$ do $4$ , to długości odcinków będą następujące:

$|A_{1} P_{1}| = |A_{1} P_{6}| = 2, 7$

$|A_{2} P_{1}| = |A_{2} P_{2}| = 2, 02$

$|A_{3} P_{2}| = |A_{3} P_{3}| = 1, 92$

$|A_{4} P_{3}| = |A_{4} P_{4}| = 2, 54$

$|A_{5} P_{4}| = |A_{5} P_{5}| = 2, 43$

$|A_{6} P_{5}| = |A_{6} P_{1}| = 2, 29$ .

Polecenie 2

Wciśnij przycisk „TWIERDZENIE O STYCZNYCH”. Na podstawie obserwacji zależności między długościami promienia okręgu, odcinka stycznej i odległości środka okręgu $O$ od punktu $P$ , z którego poprowadzono styczne, wyznacz odcinek stycznej, który jest dwa razy krótszy niż odległość $|O P|$ i o $2$ dłuższy od promienia.

Polecenie 3

Wciśnij przycisk „ZASTOSOWANIE”. Dla wybranego położenia wierzchołków, zapisz długości kolejnych boków sześciokąta, sumując odpowiednie odcinki stycznych. Sformułuj hipotezę ustalającą warunek, który charakteryzuje sześciokąty opisane na okręgu.

Przeczytaj

Sprawdź się