Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Przykład 1

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi OX, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (o takiej prostej mówimy, że ma równanie y=w). Jeżeli taka dorysowana prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

RuJYMFY5jBFLz1
Przykład 2

Odczytaj z wykresu funkcji f liczbę rozwiązań równania f(x)=m.

R1RJ9ys6Aw57r1
Animacja pokazuje jak z wykresu odczytać liczbę rozwiązań równania dla zadanej wartości m.
Przykład 3

Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji

  • p(x)=8-7x

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie p(x)=0, a zatem 8-7x=0, skąd 7x=8, czyli x=87.
Funkcja p ma jedno miejsce zerowe x=87.

  • kx=(3x-2)(x+1)

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie kx=0, a zatem 3x-2x+1=0. Ponieważ iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0, więc 3x-2=0 lub x+1=0. Stąd x=23 lub x=-1.
Funkcja k ma dwa miejsca zerowe: x1=23 oraz x2=-1.

  • fx=x2-4

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie fx=0, a zatem x2-4=0. Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, zapisujemy równanie w postaci (x-2)(x+2)=0, a więc x-2=0 lub x+2=0. Wynika z tego, że x=2 lub x=-2.
Funkcja f ma dwa miejsca zerowe: x1=2 oraz x2=-2.
Fragment wykresu funkcji fx=x2-4 przedstawiony jest na rysunku.

RtrFc2ks8lYos1
  • gx=(x-1)(x+1)(x-2)

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie gx=0, a zatem x-1x+1x-2=0, skąd x-1=0 lub x+1=0 lub x-2=0. Wynika z tego, że funkcja g ma 3 miejsca zerowe: x1=1, x2=-1 oraz x3=2.
Fragment wykresu funkcji gx=(x-1)(x+1)(x-2) przedstawiony jest na rysunku.

RgNBxTiBIc73T1
  • tx=x2-1x+1

Dziedziną funkcji t jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczby 1. Zauważmy, że dla x-1 funkcję t można zapisać w postaci
tx=(x-1)(x+1)x+1=x-1. Jedynym miejscem zerowym funkcji t jest zatem x=1.
Fragment wykresu funkcji tx=x2-1x+1 przedstawiony jest na rysunku.

RBf7ylEZ2SCUc1
  • mx=-2x-2dla-2x<-10dla-1x12x-2dla1<x2

Dziedziną tej funkcji jest przedział -2, 2.
Zauważmy, że:

  1. Jeżeli x-2, -1), to mx=-2x-2. Rozwiązujemy równanie mx=0, a zatem -2x-2=0, skąd x=-1. Ale 1 nie należy do przedziału -2, -1), zatem w tym przypadku funkcja m nie ma miejsc zerowych;

  2. Ponieważ dla x-1, 1 funkcja m dana jest wzorem mx=0, to każda liczba z przedziału -1, 1 jest miejscem zerowym tej funkcji;

  3. Jeżeli x(1, 2, to mx=2x-2. Rozwiązujemy równanie mx=0, a więc 2x-2=0, skąd x=1. Ale 1 nie należy do przedziału (1, 2, zatem w tym przypadku funkcja m nie ma miejsc zerowych.

A zatem każda liczba rzeczywista z przedziału -1, 1 jest miejscem zerowym funkcji m. Funkcja m ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Cały wykres funkcji m przedstawiony jest na rysunku.

RQcgmUCJGGWBd1
Przykład 4

Funkcja f każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę o 30% od niej mniejszą. Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcja f przyjmuje wartość 14.
Oznaczmy taką liczbę rzeczywistą przez x. Przyporządkowanie opisane w treści zadania zapisujemy wzorem fx=x-30% x=x-0,3x=0,7x. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Szukamy argumentu, dla którego fx=14, a więc 0,7=14, skąd x=140,7=20.
Jedynym argumentem, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 14 jest x=20.

Przykład 5

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja gx=x2-4x2 przyjmuje wartość 2.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie g(x)=-2.
x2-4x2=-2 
x2-4x=-4 
x2-4x+4=0 
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wtedy x-22=0,
czyli x-2=0, a zatem x=2.
Wobec tego funkcja gx=x2-4x2 przyjmuje wartość 2 tylko wtedy, gdy x=2.

Przykład 6

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja kx=2x+1 przyjmuje wartość 13.
Najpierw ustalimy dziedzinę funkcji k. Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 1.
Rozwiązujemy równanie kx=13.
2x+1=13 
Z własności proporcji x+1=23,
czyli x=5.
A zatem funkcja kx=2x+1 przyjmuje wartość 13 tylko wtedy, gdy x=5.

Przykład 7

Funkcja P każdej dodatniej liczbie rzeczywistej a przyporządkowuje pole trójkąta równobocznego o boku a. Obliczymy a, dla którego funkcja P osiąga wartość 3.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, ustalamy wzór funkcji P:Pa=34a2, dla a>0.
Rozwiązujemy równanie Pa=3

34a2=343
a2=4

Ponieważ a jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd a=4=2.
A zatem P osiąga wartość 3 dla a=2.

Przykład 8

Funkcje: an=n(2n-3)(n-4)bn=-3n2+1 określone są na zbiorze dodatnich liczb całkowitych.

  • Obliczymy miejsce zerowe funkcji a.

Rozwiązujemy równanie an=0, a więc n(2n-3)(n-4)=0, skąd n=0 lub 2n-3=0 lub n-4=0, czyli n=0 lub n=32 lub n=4. Spośród tych trzech liczb jedynie 4 jest liczbą całkowitą dodatnią, a zatem funkcja a ma tylko jedno miejsce zerowe, n=4.

  • Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja b przyjmuje wartość -26.

Rozwiązujemy równanie b(n)=-26.

-3n2+1=-26
-3n2=-26-1
-3n2=-27:-3 
n2=9

Ponieważ n jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd

n=9=3

Wynika z tego, że funkcja b przyjmuje wartość 26 tylko wtedy, gdy n=3.

Przykład 9

Dana jest funkcja fx=4dlax-12-7xdla-1<x3x2dlax>3.
Wyznaczymy wartości funkcji f dla argumentów: x=-5, x=-1, x=157, x=4.

R1bXzKxkmOb3k1
Animacja pokazuje jak obliczyć wartości funkcji f(x) dla podanych argumentów.
classicmobile
Ćwiczenie 1

Funkcję f przedstawiono za pomocą grafu.

R1O0LsJFEy2G71

Wskaż, która równość jest poprawna.

R3yfKHTF0kPJ1
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Funkcję g przedstawiono za pomocą tabelki.

Funkcja g
x

-2

-1
0
1
2
3
g(x)
2
4
-1

0

-2
2

Wynika z tego, że funkcja g

RgQKunKUqAs8K
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Funkcja i każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę jej cyfr. Wynika z tego, że

R1dcCQYnuG3DO
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Rozpatrzmy funkcję gx=3-2x5. Funkcja g

R1WHXXEEZp9Dl
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Funkcja z każdej dodatniej liczbie całkowitej n przyporządkowuje liczbę o 1 mniejszą od dwukrotności liczby n. Wtedy

R1ZrTpuU3GK2m
static
B
Ćwiczenie 6

Oznaczmy przez P(a) pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości a.

  1. Oblicz P12.

  2. Wykaż, że P2>10.

  3. Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 6.

  4. Wyznacz a, dla którego P(a) przyjmuje wartość 30.

A
Ćwiczenie 7
RVdYA7F0nH4CF1
Zadanie interaktywne.
classicmobile
Ćwiczenie 8

Dziedziną funkcji an=7n-2 jest zbiór liczb naturalnych. Sprawdź, czy do zbioru wartości funkcji a należy liczba

RysnQRl98rklJ
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Miejscem zerowym funkcji fx=m+2x2-mx+8 jest liczba 1. Wynika stąd, że

RjQiQrcTg5KMv
static
B
Ćwiczenie 10

Funkcja f jest określona wzorem

fx=x+1dlax27-2xdla2<x<5

Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość 5?

B
Ćwiczenie 11

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n przez s(n) oznaczamy sumę n początkowych liczb całkowitych dodatnich, to znaczy sn=1+2++n.

  1. Oblicz s(10).

  2. Znajdź n, dla którego sn=66.

  3. Wykaż, że nie istnieje n, dla którego sn=60.

C
Ćwiczenie 12

Długość boku kwadratu ABCD jest równa 4. Punkt E leży na przekątnej AC kwadratu, przy czym AE=x. Dla jakiej wartości x pole P trójkąta ABE jest równe 32?