Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Bryły obrotowe

Oś obrotu
Definicja: Oś obrotu

Obracając figurę płaską dookoła prostej p, zawartej w tej samej płaszczyźnie, otrzymujemy powierzchnię, która ogranicza figurę, zwaną bryłą obrotową. Prostą p nazywamy osią obrotu. Jest ona osią symetrii bryły obrotowej.

RulOviL2Szwnw1
Animacja przedstawia konstrukcję różnych brył obrotowych. Tworzymy w przestrzeni płaszczyznę alfa. Wybieramy na niej punkt O i prowadzimy przez ten punkt odcinek OW prostopadły do płaszczyzny alfa. Na płaszczyźnie alfa kreślimy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu. Na okręgu wybieramy punkt P, który przesuwając po okręgu. Przez odcinek OW i punkt P przeprowadzamy płaszczyznę beta, którą można obracać wokół odcinka OW. Na płaszczyźnie beta umieszczamy trzy odcinki różnie położone względem osi obrotu OW. Jeden u równoległy do osi obrotu, drugi v prostopadły do osi obrotu i trzeci w nachylony pod pewnym kątem do osi OW. Obracając płaszczyzną beta odcinki zakreślają w przestrzeni ślad, każdy z nich inny. W wyniku obracania tych odcinków otrzymujemy trzy różne figury obrotowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RuN9ETU59mdhi1
Animacja przedstawia konstrukcję, która pozwala na tworzenie dowolnych brył obrotowych, tak zwaną maszynkę do tworzenia brył obrotowych. Jej działanie jest podobne do tworzenia rozmaitych kształtów obrotowych na kole garncarskim. Garncarz w wyniku obrotu wokół pionowej osi kształtuje kawałek gliny w różne kształty obrotowe, np.: doniczki, dzbanki. Kreślimy na płaszczyźnie XY okrąg o środku w punkcie O i współrzędnych (0, 0), który przechodzi przez punkt na osi OX Na okręgu obieramy dowolny punkt P i przesuwamy go po okręgu. Prowadzimy płaszczyznę przez oś OZ i punkt P. Kreślimy w płaszczyźnie łamaną dowolnego kształtu. Łamana tworzy ślady, otrzymujemy różne bryły obrotowe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 1
ReI7unuxwcu301
Animacja

Przykłady brył obrotowych

R13DKRlhAgfox1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1bHEGdFysoqV1
Animacja przedstawia konstrukcję stożka przy wykorzystaniu maszynki do robienia brył obrotowych. Na płaszczyźnie układamy trzy odcinki w kształcie trójkąta, którego najdłuższy bok zawarty jest w osi obrotu. Obracając wokół osi obrotu otrzymujemy stożek. Następnie tworzymy prostokąt. Obracając go wokół dłuższego boku otrzymujemy walec.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Przez całą noc padał deszcz i beczka na deszczówkę została napełniona w połowie. Beczka ma wysokość 1,4 m. Jej średnica w najszerszym miejscu wynosi 1 m, a w najwęższym 80 cm.
Ile litrów wody znajduje się w beczce ? Przyjmij, że π=227. Skorzystaj z podanego wzoru na pojemność beczki.
Wzór na pojemność beczki.

V=112πH2D2+d2
  • V – pojemność

  • H – wysokość beczki

  • D – średnica w najszerszym miejscu

  • d - średnica w najwęższym miejscu

Mamy podać pojemność beczki w litrach.
Jeden litr to jeden decymetr sześcienny. Zapisujemy więc wymiary beczki w decymetrach.

 H= 1, 4 m = 14 dm
D= 1 m = 10 dm
d=80 cm = 8 dm

Beczka napełniona jest w połowie, zatem obliczamy połowę jej pojemności.

12V=12112πH2D2+d2
12V=124227142102+82
12V=4424264
12V=484

W beczce jest 484 l wody.

Przykład 3

Bryła G powstaje w wyniku obrotu figury F wokół prostej p.

R1Ma5Tvl2dl1F1
Animacja
Przykład 4
R1LHBrZQhImVR1
Animacja
Ciekawostka

Nasza planeta nie ma kształtu idealnej kuli. Na skutek ruchu wirowego (czyli ruchu wokół własnej osi) Ziemia uległa spłaszczeniu przy biegunach. W wyniku tego powstała bryła zwana geoidą ( z greckiego: gea Ziemia, eidos kształt).
Bryłą najbardziej zbliżoną kształtem do Ziemi jest elipsoida obrotowa.

RTvB1gLHvBTwt1
Animacja przedstawia konstrukcję elipsoidy obrotowej. Na płaszczyźnie kreślimy elipsę. Obracając elipsę wokół osi obrotu otrzymujemy elipsoidę obrotową.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iYhF5bshk2_d5e242

Przekroje brył obrotowych

Figurę płaską, która powstanie po przecięciu bryły płaszczyzną, nazywamy przekrojem tej bryły.

Ważne!

Przekrój osiowy bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.
Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

Przykład 5
R2NxbxpxzQXyb1
Animacja przedstawia walec, przecięty płaszczyzną osiową i płaszczyzną poprzeczną. Każdą bryłę obrotową można przeciąć płaszczyzną zawierającą oś obrotu oraz płaszczyzną prostopadłą do tej osi.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 6

Określ, jaki kształt mają przekroje narysowanych brył. Jeśli nie wiesz, jak nazywa się dana figura, sprawdź w internecie jej nazwę.

RRxZPpCqBmsjI1
Animacja 3D pokazuje baterię elektryczną. Kreślone są krawędzie – powstaje walec. Następnie przekroje skośne i poprzeczne dzielą walce na dwie bryły.
Przykład 7

Arbuz przekrojono na pół. Otrzymany przekrój jest w kształcie koła o polu 452, 16 cm2. Oblicz średnicę tego koła. Przyjmij π=3,14.
Korzystamy ze wzoru na pole koła o promieniu r.

P=πr2
452,16=3,14r2
r2=144
r=144=12

bo

r>0

Obliczamy średnicę koła.

212 cm = 24 cm

Średnica koła, będąca przekrojem arbuza, jest równa 24 cm.

Przykład 8
RrTu4blcQIL771
Animacja przedstawia różne bryły obrotowe z zaznaczonymi płaszczyznami poprzecznymi i osiowymi. Otrzymujemy przekroje osiowe i poprzeczne. W wyniku przecięcia walca otrzymujemy koło i prostokąt. W wyniku przecięcia stożka – trójkąt i koło.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iYhF5bshk2_d5e374
A
Ćwiczenie 1

Narysuj bryłę, która powstanie w wyniku obrotu danej figury wokół prostej p.

R1DRbGu85WMTd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2

Narysuj bryłę, która powstała w wyniku obrotu prostokąta wokół prostej

  1. na której leży jeden z boków

  2. równoległej do dłuższego boku

  3. równoległej do krótszego boku

A
Ćwiczenie 3

Bryła na rysunku powstała w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej dookoła prostej.
Narysuj tę figurę i tę prostą.

RACyvS5EPYftg1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Naszkicuj przekrój osiowy przedstawionych figur.

Ron3ueGoRcZ2E1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. trójkątem równoramiennym

  2. trójkątem równobocznym

A
Ćwiczenie 6

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój osiowy jest

  1. prostokątem

  2. kwadratem

iYhF5bshk2_d5e494
A
Ćwiczenie 7

Narysuj bryłę obrotową, której przekrój poprzeczny jest kołem.

A
Ćwiczenie 8

Bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta P wokół jednego z jego boków. Przekątna prostokąta P ma długość 5 cm i jest nachylona do jego boku pod kątem 60°. Jaką długość ma promień r podstawy tej bryły? Znajdź wszystkie rozwiązania.

classicmobile
Ćwiczenie 9

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R8aa48cVdd5Iv
static
A
Ćwiczenie 10

Uzupełnij zdania.

  1. Część wspólna bryły obrotowej z płaszczyzną zawierającą oś obrotu to przekrój … bryły.

  2. Przekrój poprzeczny bryły obrotowej to część wspólna tej bryły z płaszczyzną … do osi obrotu.

A
Ćwiczenie 11

Arbuz przekrojono na pół. Pole tak otrzymanego przekroju jest w kształcie koła o polu 530,66 cm2. Skóra arbuza ma grubość 2 cm. Oblicz, ile procent przekroju stanowi miąższ arbuza. Przyjmij π=3.14. Odpowiedź zaokrąglij do jednej cyfry po przecinku.

A
Ćwiczenie 12

Narysuj bryłę obrotową powstałą w wyniku obrotu

  1. trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia

  2. trapezu równoramiennego wokół dłuższej podstawy