Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Przykład 1
REpUnPGgUs9be1

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Cechy podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
  • Cecha bok‑bok‑bok (bbb)

Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.

R1bafCpt9XUKL1
Animacja pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym można zmieniać długości boków zachowując ich proporcję. Trójkąty są nadal podobne i stosunek odpowiednich boków obu trójkątów pozostaje zawsze taki sam. Jest to cecha bbb.
RSPcg6BAdXahw1
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
RaEcXctIppHWB1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego, na których zaznaczono długości boków 12, 10, 8 oraz 6, 5, 4. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe. Trójkąty są podobne.
R1ROQgwiTBV2z1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. W jednym trójkącie zaznaczono boki o długości 12 i 10 oraz między nimi kąt alfa, w drugim boki o długościach 6 i 5 oraz między nimi kąt alfa. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe, a więc trójkąty są podobne.
Skala podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A,B,C odpowiadają wierzchołkom odpowiednio A',B',C', to

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA

oraz

A=A', B=B',C=C'.

Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=k
Rcuo7CPrRW0Dr1