Wydrukuj Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Pierwsza cecha przystawania trójkątów

Przykład 1

Wiemy już, że jeśli dwie figury są przystające, to można je tak przekształcić (wykorzystując np. symetrię), aby pokryły się.

Z warunku przystawania odcinków (dwa odcinki są przystające, gdy mają równe długości) wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie boki równe. Z warunku przystawania kątów wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie kąty równe.
Chcąc sprawdzić, czy trójkąty są przystające, nie musimy porównywać ich wszystkich boków i wszystkich kątów. Możemy skorzystać z własności przystawania, zwanych cechami przystawania trójkątów.

I cecha przystawania trójkątów bok – bok – bok (bbb)
Twierdzenie: I cecha przystawania trójkątów bok – bok – bok (bbb)

Jeżeli dwa trójkąty mają odpowiadające sobie boki równe, to te trójkąty są przystające.

Rh59rNAjrG2AE1

Jeżeli AB=DE,AC=DF,CB=FE, to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.
Zapisujemy symbolicznie

ABCDEF
Przykład 2

Skonstruujemy trójkąt A’B’C’ przystający do trójkąta ABC, korzystając z I cechy przystawania trójkątów.
Rysujemy trójkąt ABC, a następnie kolejno konstruujemy odpowiednie boki trójkąta A’B’C’.

Przykład 3
RapleWMrcxC641
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne dzielą kwadrat ABCD na 4 trójkąty. Trójkąty te mają odpowiednie boki równe, zatem na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty ABE, BCE, CDE, DAE są przystające.
Podobnie można uzasadnić, że trójkąty otrzymane w wyniku podzielenia sześciokąta foremnego przekątnymi – są przystające, tak jak na rysunku.

R1bFcla0ccwYV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 1

Narysuj dwa przystające trójkąty, korzystając z pierwszej cechy przystawania trójkątów.

iVDE27AxgL_d5e182

Druga cecha przystawania trójkątów

Trójkąt A'B'C' przystający do danego trójkąta ABC można skonstruować również innym sposobem.

Konstruujemy najpierw kąt przystający do jednego z kątów trójkąta, np. kąta CAB. Na ramionach otrzymanego kąta odkładamy odcinki A’C’B’C’, równe odpowiednio odcinkom ACBC.
Łącząc punkty A’B’,otrzymujemy odcinek A'B'. Można wykazać, że A'B'=AB. Trójkąty ABCA’B’C’ mają zatem odpowiednie boki równe. Na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty ABCA’B’C’ są przystające.

Z  przeprowadzonego eksperymentu wynika kolejna cecha przystawania trójkątów.

II cecha przystawania trójkątów bok - kąt - bok (bkb)
Twierdzenie: II cecha przystawania trójkątów bok - kąt - bok (bkb)

Jeżeli dwa boki i kąt zawarty pomiędzy nimi w jednym trójkącie, są równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

R1DNusYOOPlhg1

Jeżeli AB=DE,AC=DF,BAC=EDF to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.

Przykład 4

W trapezie równoramiennym ABCD wysokości poprowadzone z  wierzchołka D oraz z wierzchołka C odcięły dwa trójkąty, tak jak na rysunku. Wykażemy, że trójkąty te są przystające.

R1MmMsykUM0Lz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy z II cechy przystawania trójkątów. Odczytujemy, że

AE=FB = 2 cm
ED=CF =5 cm

bo CFED są wysokościami trapezu. Ponadto

AED=BFC=90°

Zatem w trójkątach AEDBFC dwa boki i kąt między nimi są odpowiednio równe. Na podstawie II cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty te są przystające.

iVDE27AxgL_d5e268

Trzecia cecha przystawania trójkątów

RcANAo6L0ZSkr1
Animacja.
Przykład 5

Utwórzmy trójkąt A’B’C’ przystający do trójkąta ABC.

Sformułujmy teraz trzecią cechę przystawania trójkątów.

III cecha przystawania trójkątów kąt - bok - kąt (kbk)
Twierdzenie: III cecha przystawania trójkątów kąt - bok - kąt (kbk)

Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

R2eaIS7Kc87VQ1

Jeżeli AB=DE,BAC=EDFABC=DEF, to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.

Przykład 6

Punkt E jest środkiem odcinka AB. Proste DABC są równoległe. Wykażemy, że trójkąty ADEBCE są przystające.

Rq1SD89Yd0yGa1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

|AE|=|EB|

gdyż punkt E jest środkiem odcinka AB.
AED=BEC - jako kąty wierzchołkowe
DAE=CBE - jako kąty naprzemianległe przy prostych równoległych

R15wXOAcgOtXD1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że bok AE i dwa leżące przy nim kąty w trójkącie ADE są równe bokowi EB i odpowiednim kątom w trójkącie CBE. Na podstawie III cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty ADECBE są przystające, co należało wykazać.

Z przystawania trójkątów wynikają cechy przystawania trójkątów prostokątnych.

Ważne!

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli mają odpowiednio równe

  • przyprostokątne

  • jedną z przyprostokątnych i przeciwprostokątną

  • przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej

  • przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych

iVDE27AxgL_d5e390

Zastosowania cech przystawania trójkątów

Wiemy już, że każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta. Jeśli dwa wielokąty podzielimy w ten sposób na tę samą liczbę przystających trójkątów, to na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że wielokąty te mają boki i kąty odpowiednio równe. Są więc przystające.

Już wiesz

Dwa wielokąty są przystające, gdy odpowiadające sobie boki tych wielokątów są równe oraz odpowiadające sobie kąty są równe.

R1KdgnlOt7pjS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nie zawsze równość boków i równość kątów jest niezbędna do stwierdzenia przystawania wielokątów.

Przykład 7

Dla przykładu rozważmy dwa kwadraty.

R7jzNeoDgKd2d1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna DB dzieli kwadrat ABCD na dwa przystające trójkąty prostokątne równoramienne ABDBCD.
Podobnie przekątna HF dzieli kwadrat EFGH na dwa przystające trójkąty prostokątne równoramienne EFH i FGH. Jeśli więc przystające są trójkąty ABDEFH lub ABDFGH, to i kwadraty są przystające. Do przystawania trójkątów prostokątnych równoramiennych wystarcza równość ich przeciwprostokątnych. Zatem kwadraty ABCDEFGH są przystające, gdy mają boki równe lub gdy mają równe przekątne.

Przystawanie kwadratów
Twierdzenie: Przystawanie kwadratów

Dwa kwadraty są przystające, jeżeli ich boki są równe lub równe są ich przekątne.

Rl8C00jzWnvdd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Kwadraty, które nie są przystające.

RhViOg2UVIzfA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

Równość miar kątów i przekątnych nie wystarcza do stwierdzenia przystawania dwóch prostokątów.

RC4xJ2y9TgQEY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1ehKTmLDsOja1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poprowadźmy w  każdym z dwóch prostokątów przekątną. Przekątna ta dzieli każdy prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Aby prostokąty te były przystające, wystarczy, by wszystkie otrzymane tak trójkąty były przystające.
Możemy zatem na podstawie cech przystawania trójkątów określić warunki, jakie muszą spełniać dwa prostokąty, aby były przystające.

Dwa prostokąty są przystające, gdy

  • boki jednego prostokąta są równe bokom drugiego prostokąta

  • przekątna i jeden z boków jednego prostokąta są równe przekątnej i jednemu z boków drugiego prostokąta

  • przekątna i kąty przez nią utworzone z bokami w jednym prostokącie są odpowiednio równe przekątnej i kątom przez nią utworzonym z bokami w drugim prostokącie

Przykład 10

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia dzieli każdą z nich na połowę.
Do przystawania dwóch rombów wystarczy zatem stwierdzenie równości ich przekątnych (II cecha przystawania trójkątów).

Zapamiętaj!

Dwa romby są przystające, gdy mają równe przekątne.

R1eLoAxK3jKZ01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iVDE27AxgL_d5e521
A
Ćwiczenie 2

Wskaż pary trójkątów przystających.

R1Hjb4EvFNJVE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Dwa boki trójkąta ABC mają długości 8 cm13 cm. Dwa boki trójkąta DEF mają długości 8 cm5 cm.
Uzasadnij, że trójkąty te nie są przystające.

A
Ćwiczenie 4

Czy trójkąty na rysunku mogą być przystające? Jeśli tak – jaki warunek musi być jeszcze spełniony?

RQzoEGeoVmi4S1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5

Rabatkę kwiatową w kształcie kwadratu o boku długości 2 m podzielono przekątnymi na 4 części. Na każdej z  części posadzono inny rodzaj kwiatów. Oblicz pole powierzchni, jaką zajmuje każdy rodzaj kwiatów.

B
Ćwiczenie 6

Wysokość podzieliła trójkąt równoboczny na dwa trójkąty. Wykaż, że trójkąty są przystające. Podaj miary kątów każdego z tych trójkątów.

B
Ćwiczenie 7

Punkt S jest środkiem okręgu. Uzasadnij, że trójkąty ABCACE są przystające.

RXwrxmdad82mr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8

Trójkąty ABCDEF są przystające. Zapisz, które boki i które kąty są równe.

R1cjWEmiESzk11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Trójkąty przedstawione na rysunku są przystające.

RDGtczcPmxVvd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Która z podanych równości jest prawdziwa?

RxjQSB5X6OyrR
static
iVDE27AxgL_d5e741
A
Ćwiczenie 10

Trójkąt ABC taki, że AB=BC podzielono wysokością poprowadzoną z wierzchołka B na dwa trójkąty przystające. Podaj miary kątów każdego z  tak otrzymanych trójkątów.

RMj1MVOamuwDx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 11

Czy trójkąty ABCDEF są przystające?

R5uPoDUtxBSEY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15zshIExUxT2
static
C
Ćwiczenie 12

W równoległoboku ABCD poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie E. Uzasadnij, że przystające są trójkąty

  1. AEBDEC

  2. AEDCEB

A
Ćwiczenie 13

Narysuj dowolny odcinek a i kąt ostry α.
Skonstruuj trójkąt

  1. w którym dwa boki są równe a, natomiast kąt między nimi jest równy α

  2. prostokątny, w którym jeden z kątów ma miarę α , natomiast przyprostokątna leżąca przy tym kącie jest równa a

  3. w  którym jeden z kątów jest równy α , drugi 12α , natomiast bok leżący między nimi jest równy a

A
Ćwiczenie 14

Narysuj dwa dowolne odcinki ab oraz kąt α. Skonstruuj

  1. trójkąt o bokach a, b i kącie między nimi α

  2. równoległobok o bokach a, b i kącie między nimi α

  3. trapez prostokątny, w którym dwa boki są równe a, b i kąt między nimi jest równy α

C
Ćwiczenie 15

Wykaż, że pole trapezu ABCD jest równe polu trójkąta ADF.

RDsElssqsYfaE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
C
Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że pole równoległoboku ABCD jest czterokrotnie większe od pola trójkąta AOB.

R1JZylCaBO0b31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 17

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RXTUYeXmeKzwb
static
iVDE27AxgL_d5e999
A
Ćwiczenie 18

Wykaż, że trapez ABCD jest równoramienny.

RZ4QgvtLytRyQ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
B
Ćwiczenie 19

Wykaż, że jeśli dwa trójkąty równoboczne mają równe wysokości, to są przystające.

B
Ćwiczenie 20

Sprawdź, czy jeśli w równoległoboku dwie wysokości są równe to jest on rombem.

A
Ćwiczenie 21

Podaj cechę przystawania trójkątów równobocznych.

B
Ćwiczenie 22

Sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa równoległoboki, aby były przystające.

B
Ćwiczenie 23

W jakim przypadku trapezy przedstawione na rysunku będą przystające?

RuaaJq9hKAyCi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 24

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1ZaIVyRDca7Z
static