Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał Wydrukuj
i80wLmpN3X_d5e82

Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zastosowanie

Przykład 1

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) dane są wyrazy a5=-7a9=13. Ile wyrazów tego ciągu to dodatnie liczby całkowite dwucyfrowe?
Liczby całkowite dwucyfrowe są mniejsze od 100 i większe od 9. Z tego wynika, że musimy rozwiązać nierówność an<100an>9.
Wyznaczymy wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązaniem układu równań

-7=a1+4r13=a1+8r

otrzymanego po wstawieniu piątego i dziewiątego wyrazu do wzoru na ty wyraz ciągu są a1=-27r=5. Z tego wynika, że wzór ogólny tego ciągu ma postać

 an=5n-32

Mamy zatem nierówność

9<5n-32<100

czyli 815<n<2625. Oznacza, że warunki zadania spełnia 18 wyrazów ciągu. Są to wyrazy a9,a10, , a26.

Przykład 2

Ciąg 4,x,916 jest malejącym ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg (-5,x+72, y) jest arytmetyczny. Wyznacz wyrazy obu ciągów.
Z własności ciągu geometrycznego 4,x,916 wynika równanie x2=4916, czyli x2=94.
Zatem x=32 lub x=-32. Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ ciąg geometryczny jest malejący.
Po podstawieniu otrzymanej wartości x otrzymamy ciąg arytmetyczny (-5,32+72 , y), czyli (-5,5,y). Różnica w tym ciągu jest równa r=10 . Z tego wynika, że y=15.
Zatem liczby 4,32 ,916 tworzą ciąg geometryczny, a liczby -5,5, 15  tworzą ciąg arytmetyczny.

RYiclOuDoTZaV1
E-podręczniki z matematyki
A
Ćwiczenie 1

Ciąg (x,9,x+4) jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, a ciąg (x+1, 12, y-7) jest ciągiem geometrycznym. Oblicz xy.

Przykład 3

Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 34°. Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie.
Wprowadźmy oznaczenia wykorzystujące fakt, że miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 34° .

RqWp3qHHvXBr91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma miar kątów trójkąta jest równa α+α+34°+α+234°=180°. Z tego wynika, że =26°.
Największy kąt w tym trójkącie ma miarę 26°+68°=94°.

A
Ćwiczenie 2
  1. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 5. Oblicz pole tego prostokąta.

  2. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 48 cm, a jego pole 96 cm2. Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Wyznacz długości boków trójkąta.

A
Ćwiczenie 3

Boki trójkątów równobocznych tworzą ciąg arytmetyczny, w którym r>0.

  1. Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

  2. Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

    RSdvDwiXenEql1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Punkty S1, S2, S3, S4 są środkami półokręgów. Promień największego z półokręgów jest równy 8. Oblicz długość spirali przestawionej na rysunku.

R1MOgrV3X2FfV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z faktu, że każdy kolejny półokrąg tworzący spiralę przechodzi przez środek poprzedniego półokręgu, wynika, że każdy kolejny promień jest połową promienia poprzedniego półokręgu.
Zatem kolejne promienie półokręgów tworzą malejący ciąg geometryczny, którego iloraz q=12.
Długości kolejnych półokręgów są równe
L1=8π , L2=128π=4π, L3=124π=2π…,
I również tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q=12.
Długość spirali jest sumą pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Zatem

L=S5=8π1-12 51-12=8π3116=312π
Przykład 5

W pierwszym miesiącu pracy w pizzerii Kamil zarobił 650 zł. W każdym następnym miesiącu zarabiał o 20 zł więcej niż w miesiącu poprzednim. Jaką kwotę zarobił Kamil, pracując w ten sposób przez pół roku?
Zauważmy, że zarobione przez Kamila kwoty są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym a1=650 złr=20 zł.
Zarobiona przez pół roku kwota będzie sumą sześciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Wstawiając wartości do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy

S6=2650+520 26=4200 zł
i80wLmpN3X_d5e332
A
Ćwiczenie 4

Ciąg (3,2x,y-3) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg 64,y,x jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz x i y.

A
Ćwiczenie 5

Liczby 30 ,x,y w podanej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Oblicz xy, wiedząc, że ciąg (x,y,2) jest geometryczny.

A
Ćwiczenie 6

Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego an są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1: a1=1, a2=5. Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego bn są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2: b1=2, b2=7. Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe, które występują w obu tych ciągach.

A
Ćwiczenie 7

Oblicz sumę

  1. wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które są dwucyfrowe i dzielą się przez 3

  2. parzystych liczb dwucyfrowych

  3. wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 8

  4. wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2

A
Ćwiczenie 8

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz różnicę tego ciągu.

A
Ćwiczenie 9

Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najmniejszy kąt ma miarę 51°. Oblicz miarę największego kąta tego trójkąta.

A
Ćwiczenie 10

Pierwszy odcinek łamanej ma długość 4 cm, a każdy kolejny jest dłuższy od poprzedniego o 2 cm. Z ilu odcinków składa się ta łamana, jeśli jej całkowita długość jest równa 270 cm?

i80wLmpN3X_d5e507
A
Ćwiczenie 11

Prostokąt o polu powierzchni równym 128 cm2 podzielono na dwa takie prostokąty, że pole większego jest trzy razy większe od pola mniejszego. Długości odcinków a,b są długościami boków mniejszego prostokąta, b,c są długościami boków większego z prostokątów, które powstały z podziału. Wiedząc, że a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, wyznacz długości boków tego prostokąta.

R1UC5u1abM7QY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 12

Dany jest kwadrat o boku a i prostokąt o bokach xy. Ciąg x, a, y jest geometryczny. Która z tych figur ma większe pole?

RDFoAS0b6eKyO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13

Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny, a suma długości tych krawędzi jest równa 12. Objętość tego prostopadłościanu jest równa 64. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

RtbLHuPTWP4FK1
Animacja
A
Ćwiczenie 14

Na kolejnych rysunkach zaznaczono sposób tworzenia tzw. dywanu Sierpińskiego.

R1qL0XNDSj8sX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Za każdym razem z kwadratu jest usuwana pewna liczba kwadratów.

  1. Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po 4 kroku?

  2. Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po n krokach?

A
Ćwiczenie 15

Pole trójkąta prostokątnego ABC jest równe 24, a długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz obwód tego trójkąta.

R14Mrw24hSumI1
Animacja przedstawia układ współrzędnych. Dany są różne wzory ogólne ciągu i wzory funkcji (np. a z indeksem dolnym n =2n -1 i f(x) = 2x -1). Należy wybrać ciąg lub funkcję, by zilustrować pojęcie wykresem o dziedzinie rzeczywistej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.