Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
iaKE2NFytN_d5e82

Ciąg arytmetyczny

Przykład 1
RD16vXn0cCaHS1
Animacja pokazuje chłopca uczącego się języka angielskiego. Pierwszego dnia nauki powtórzył wszystkie znane mu słowa, które znał i okazało się, że łącznie pamięta 370 słów. Postanowił, że każdego następnego dnia nauczy się 12 nowych słów. Ile słów Tomek będzie znał po 3 dniach, a ile po 15 dniach nauki? Po pierwszym dniu nauki Tomek znał 370 słów. Po drugim dniu będzie znał 370 +12= 382 słowa, po trzecim 370 +12 +12 =370 +2 razy 12 =394 słowa, po czwartym 370 +3 razy 12 =406 słów, i tak dalej. Jeżeli przez (a z indeksem dolnym n) oznaczymy liczbę słów, które Tomek będzie znał po n dniach nauki, to otrzymujemy: a z indeksem dolnym jeden =370, a z indeksem dolnym dwa =382, a z indeksem dolnym trzy =394, a z indeksem dolnym cztery =406, … . Zastanówmy się, ile słów będzie znał Tomek po 15 dniach nauki. Każdego dnia (poza pierwszym) Tomek poznaje 12 nowych słów, więc przez 14 dni (od drugiego do piętnastego włącznie) pozna 14 razy 12 nowych słów, a więc po 15 dniach nauki będzie znał a z indeksem dolnym piętnaście =370 +14 razy12 =538 słów. W ogólnym przypadku, po n dniach nauki Tomek będzie znał (a z indeksem dolnym n) =370 +(n?1) razy12 słów. Otrzymaliśmy ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 370, a każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego o 12. Zatem ciąg ten możemy opisać za pomocą dwóch równości: a z indeksem dolnym jeden =370 i a z indeksem dolnym n +1 = a z indeksem dolnym n +12 dla n większe lub równe 1. Rozpatrywany przez nas ciąg, to przykład ciągu arytmetycznego.
Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg an nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej 3 wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją r.
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma k3 wyrazów, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej 1nk-1. Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to an+1=an+r dla dowolnej liczby całkowitej n1.

RmjnJ4WX75mzI1
Animacja prezentuje trzy wykresy ciągu arytmetycznego w układach współrzędnych. Przykład 1. Dany jest pierwszy wyraz ciągu a z indeksem dolnym jeden =3, kolejny wyraz ciągu a z indeksem dolnym n +1 = (a z indeksem dolnym n) +r, gdzie r różnica ciągu arytmetycznego. Dla r =2 otrzymano kolejne wyrazy ciągu a z indeksem dolnym dwa =5, a z indeksem dolnym trzy = 7, a z indeksem dolnym cztery =9. Jeżeli r>0, to punkty będące wyrazami ciągu leżą na prostej, która ilustruje funkcję rosnącą. Przykład 2. Dany jest pierwszy wyraz ciągu a z indeksem dolnym jeden =2, kolejny wyraz ciągu a z indeksem dolnym n +1 = (a z indeksem dolnym n) +r, gdzie r różnica ciągu arytmetycznego. Dla r =0 otrzymano kolejne wyrazy ciągu a z indeksem dolnym dwa =2, a z indeksem dolnym trzy =2, a z indeksem dolnym cztery =2. Jeżeli r =0, to punkty będące wyrazami ciągu leżą na prostej, która ilustruje funkcję stałą. Przykład 3. Dany jest pierwszy wyraz ciągu a z indeksem dolnym jeden =1, kolejny wyraz ciągu a z indeksem dolnym n +1 = (a z indeksem dolnym n) +r, gdzie r różnica ciągu arytmetycznego. Dla r =-1,5 otrzymano kolejne wyrazy ciągu a z indeksem dolnym dwa =-0,5, a z indeksem dolnym trzy =-2, a z indeksem dolnym cztery =-3,5. Jeżeli r<0, to punkty będące wyrazami ciągu leżą na prostej, która ilustruje funkcję malejącą.

Zauważmy, że jeżeli znamy a1, czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę r tego ciągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

a2=a1+r
a3=a2+r=a1+2r
a4=a3+r=a1+3r
a5=a4+r=a1+4r

Wystarczy zatem do wyrazu a1dodać n-1 razy różnicę r tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

RcamTfYMfoOkq1
Animacja prezentuje wykres ciągu arytmetycznego w układzie współrzędnych. Zmieniając pierwszy wyraz ciągu i różnice ciągu zauważamy, że zawsze wyrazy ciągu leżą na prostej o równaniu y = a z indeksem dolnym jeden +r razy (x -1). Dla a z indeksem dolnym jeden >0 oraz r>0 jest to ilustracja funkcji rosnącej. Dla a z indeksem dolnym jeden <0 oraz r<0 jest to ilustracja funkcji malejącej. Dla a z indeksem dolnym jeden =0 oraz r =0 jest to ilustracja funkcji stałej.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego an o różnicy r jest równy an=a1+n-1r.
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość an+1=an+r możemy też zapisać w postaci równoważnej an+1-an=r.

R7T27kDryRXEr1
Animacja przedstawia punkty w układzie współrzędnych, które są pewnymi wyrazami ciągu. W pięciu przykładach należy tak zmienić położenie niektórych punktów (inny kolor), aby stały się one wyrazami tego ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RwYwUHKZgXYWn1
Animacja przedstawia pięć przykładów, w których dane są dwa punkty w układzie współrzędnych, będące wyrazami pewnego ciągu. Należy tak zmienić położenie dodatkowego trzeciego punktu, aby stał się trzecim wyrazem tego ciągu. Pierwszym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 3) i (2, 2). W drugim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -3) i (2, -1). W trzecim przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -4) i (2, -1) W czwartym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, 2) i (2, pięć dziesiątych). W piątym przykładzie dane są punkty o współrzędnych (1, -2) i (2, -2).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iaKE2NFytN_d5e197
Przykład 2

Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym an=2-3n jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.
Zbadamy różnicę an+1-an dwóch kolejnych wyrazów ciągu an. Wyznaczmy najpierw

an+1=2-3n+1=2-3n-3=-3n-1

Wtedy

an+1-an=-3n-1-2-3n=-3n-1-2+3n=-3

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od n), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetyczny, a otrzymana liczba -3 to właśnie różnica tego ciągu.
Zauważmy, że

a1=2-31=-1

Wzór na n-ty wyraz to an=-1+n-1-3, co jest zgodne z tym, że an=2-3n.

Przykład 3

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an jest równy 7, a różnica tego ciągu jest równa -2. Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

a10=7+10-1-2=7-18=-11
a32=7+32-1-2=7-62=-55
Przykład 4

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy 523, a siódmy wyraz tego ciągu jest równy 7. Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.
Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

  • sposób I

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy a5 i a7

a5=a1+4r

oraz

a7=a1+6r

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi a1r

a1+4r=523a1+6r=7

Rozwiążmy ten układ:

a1+4r=523a1=7-6r
7-6r+4r=523a1=7-6r
-2r=-7+523a1=7-6r
-2r=-43a1=7-6r
r=23a1=7-623=3

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz jedenasty

a11=a1+10r=3+1023=923
  • sposób II

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o 2r, gdyż a7-a6=r oraz a6-a5=r. Zatem 2r=7-523=43. Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o 4r. Zatem

a11=a7+4r=7+243=923

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.

RWSuXd0Uw0Hp51
Animacja
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe a1.

RJ9s5smdpgUEU1
Animacja przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego an=a1+n-1r leży na prostej o równaniu y=a1+x-1r, czyli y=rx+a1-r, gdzie r oraz a1 (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalone dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc ciągan jest:

  • rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy r tej prostej jest dodatni, czyli r>0;

  • malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy r tej prostej jest ujemny, czyli r<0;

  • stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy r tej prostej jest równy zero, czyli r=0.

Przykład 5

Ciąg an jest arytmetyczny oraz a1+a5=8a2a8=19. Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu an.
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy a2, a5 a8 w zależności od a1r. Możemy wtedy zapisać równanie a1+a5=8, podane w treści zadania, w postaci a1+a1+4r=8. Stąd a1=4-2r. Podobnie możemy zapisać równanie a2a8=19 w postaci a1+ra1+7r=19. W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą r

4-2r+r4-2r+7r=19

Przekształcamy je w sposób równoważny

4-r4+5r=19
16+16r-5r2=19
-5r2+16r-3=0

Obliczamy wyróżnik tego równania =256-60=196>0. Zatem równanie to ma dwa rozwiązania r1=3 oraz r2=15.
To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści zadania warunki. Gdy r=3, to a1=4-2r=4-23=-2, a gdy r=15, to a1=4-2r=4-215=185.

iaKE2NFytN_d5e382
A
Ćwiczenie 1
R5Ai0JMK2OxcA1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 2
RFMJOZP8daLcs1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Wyrazami nieskończonego ciągu an są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 6 dają resztę 2, a trzeci wyraz tego ciągu a3=56. Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu.

classicmobile
Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R18iwwiedvsda
A
Ćwiczenie 5

Liczby a,2,b,c,3,d w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz a, b, cd.

A
Ćwiczenie 6

Pomiędzy liczby 630 wstaw siedem liczb, tak aby razem z liczbami 630 tworzyły ciąg arytmetyczny.

A
Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg arytmetyczny an, w którym a10=102+9 oraz r=2+1. Wyznacz równanie prostej, w której zawarty jest wykres ciągu an.

A
Ćwiczenie 8

Który z rysunków przedstawia wykres ciągu arytmetycznego?

R1WXUPNsXdT6P1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 9

Wyrazy każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego an spełniają warunek

Rk0FbAmd9Jbj9
iaKE2NFytN_d5e646
A
Ćwiczenie 10

Liczby 5, -2, -9  są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla n1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać.

R1UxV7KZRvrg8
A
Ćwiczenie 11

Dany jest ciąg arytmetyczny (an), w którym r=6a10=55. Wtedy pierwszy wyraz ciągu jest równy

R1CS8Uvrv2AgW
A
Ćwiczenie 12

Ciąg arytmetyczny (an) jest określony wzorem an=2n+6 . Wtedy

R1Cv4oRtomWQo
A
Ćwiczenie 13

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem an=4n-21. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

RljWd5YKnLMpl
A
Ćwiczenie 14

Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę.
an=2nn+1 
bn=3-n+25 
cn=n2+5n

A
Ćwiczenie 15
RYHTd8gsbvybc1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 16

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że a3=45 oraz a10=5.

A
Ćwiczenie 17

Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego an, którego różnica jest równa r=-7 oraz ósmy wyraz jest równy a8=23.

iaKE2NFytN_d5e878
A
Ćwiczenie 18

Wyznacz takie liczby a, b, cd, żeby ciąg 3, a, b, c, 8, d był arytmetyczny.

A
Ćwiczenie 19

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego an, w którym a2+a7=-17 oraz a3a5=11.

A
Ćwiczenie 20

Ciąg arytmetyczny składa się z trzech wyrazów. Ich suma jest równa 12, a suma ich kwadratów jest równa 66. Oblicz wyrazy tego ciągu.

A
Ćwiczenie 21

Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę 105°. Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta.

A
Ćwiczenie 22

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

  1. Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

  2. Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

B
Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna przez 3.

B
Ćwiczenie 24

Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa 23, suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa 119, a wyraz jedenasty jest równy 40.

B
Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności an=m oraz am=n dla nm, to różnica tego ciągu jest równa -1.

RK5o9Cxt4xoiz1
Animacja przedstawia różne wykresy ciągów arytmetycznych w układzie współrzędnych. Należy podać wzór ogólny ciągu.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.